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四边形添加辅助线.docx

四边形添加辅助线

一、三角形中常见辅助线的添加

1.与角平分线有关的

ⅰ可向两边作垂线。

ⅱ可作平行线,构造等腰三角形

ⅲ在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形

2.与线段长度相关的

ⅰ截长:

证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

ⅱ补短:

证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

ⅲ倍长中线:

题目中如果出现了三角形的中线,方法是将中线延长一倍,再将端点连结,便可得到全等三角形。

ⅳ遇到中点,考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3.与等腰等边三角形相关的

ⅰ考虑三线合一

ⅱ旋转一定的度数,构造全都三角形,等腰一般旋转顶角的度数,等边旋转

二、四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

1、和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形

ⅱ.利用两组对边平行构造平行四边形

ⅲ.利用对角线互相平分构造平行四边形

2、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

ⅰ.作菱形的高;

ⅱ.连结菱形的对角线.

3、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种:

ⅰ.计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;

ⅱ.证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

4、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

5、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:

(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;

(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;

(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;

(4)延长两腰构成三角形;

(5)作两腰的平行线等.

三、圆

1.遇到弦时(解决有关弦的问题时)

常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

作用:

①利用垂径定理;

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。

2.遇到有直径时

常常添加(画)直径所对的圆周角。

作用:

利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

 3.遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用:

利用圆周角的性质,可得到直径。

4.遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用:

①可得等腰三角形;②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5.遇到有切线时

(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)

作用:

利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。

 

(2)常常添加连结圆上一点和切点

作用:

可构成弦切角,从而利用弦切角定理。

6.遇到证明某一直线是圆的切线时

(1)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。

作用:

若OA=r,则l为切线。

(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径)作用:

只需证OA⊥l,则l为切线。

(3)有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

 

7. 遇到两相交切线时(切线长)

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用:

据切线长及其它性质,可得到:

①角、线段的等量关系;

②垂直关系;

③全等、相似三角形。

8.遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。

作用:

利用内心的性质,可得:

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;

② 内心到三角形三条边的距离相等。

9.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点

作用:

外心到三角形各顶点的距离相等。

10.遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。

作用:

①利用切线的性质;②利用解直角三角形的有关知识。

11.遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用:

①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;

②利用圆内接四边形的性质;

③利用两圆公共的圆周的性质;

④ 垂径定理。

12.遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线。

作用:

①利用连心线性质;

②切线性质等。

13. 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线。

作用:

可利用连心线性质。

 14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。

作用:

以便利用圆的性质。

例1如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形.

求证:

OE与AD互相平分.

2.利用两组对边平行构造平行四边形

例2如图2,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:

ED+FG=AC.

3.利用对角线互相平分构造平行四边形

例3如图3,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.

分析:

要证明BF=AC,一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中,利用等边对等角;另一种方法是通过等量代换,寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例4如图5,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证:

四边形CDEF是菱形.

例5如图6,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.

例6如图7,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长.

分析:

要利用已知条件,因为矩形ABCD,可过P分别作两组对边的平行线,构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

例7如图8,过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE.求证:

∠BCF=

∠AEB.

例8已知,如图9,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=AC,∠BAC=90°,BD=BC,BD交AC于点0.求证:

CO=CD.

例9如图10,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E.求DE的长.

分析:

根据本题的已知条件,可通过平移一条对角线,把梯形转化为平行四边形和直角三角形,借助勾股定理解决.

例10如图11,在四边形ABCD中,AC于BD交于点0,AC=BD,E、F分别是AB、CD中点,EF分别交AC、BD于点H、G.求证:

OG=OH.

分析:

欲证0G=OH,而OG、OH为同一个三角形的两边,又E、F分别是AB、CD中点,所以可试想作辅助线,构造三角形中位线解决问题.

例1.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17.求CD的长.

例2如图,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范围。

例3如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。

3、平移对角线:

例4、已知:

梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积.

例5如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD=

,求证:

AC⊥BD。

例7如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5,求CD的长。

例8.如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.

例9如图6,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD于点E,求证:

AD=DE。

例10如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证:

四边形ABFE是等腰梯形。

例11、在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,∠ABC=60°,AD=3cm,BC=5cm,

求:

(1)腰AB的长;

(2)梯形ABCD的面积.

例12如图,在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:

BD>AC。

证:

作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF。

例13如图,在梯形ABCD中,AB//DC,O是BC的中点,∠AOD=90°,求证:

AB+CD=AD。

例14如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:

(1)EF//AD;

(2)

例15、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=900,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。

例16、已知:

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E是CD中点,试问:

线段AE和BE之间有怎样的大小关系?

例17、已知:

梯形ABCD中,AD//BC,E为DC中点,EF⊥AB于F点,AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面积.

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