32函数模型及其应用教案.docx
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32函数模型及其应用教案
函数模型及其应用
【考点同步解读】
1.本节课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想．
2.对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．
3.教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．
4.本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：
由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中体现为函数与方程的思想．
【核心素养聚焦】
1.结合实例体会不同增长的函数模型的增长差异性发展学生数学抽象的核心素养。
2.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型,解决实际问题。
体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用，培养学生数学建模的核心素养。
【教学目标】
1.知识与技能：
掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力.
2.过程与方法：
经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.
3.情感态度价值观：
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.
【重点难点】
1.教学重点：
指数函数模型、拟合函数模型的应用；
2.教学难点：
依据题设情境，建立函数模型.
【教学策略与方法】
1.教学方法：
合作探究、启发诱导，学生动手尝试相结合.
2.教具准备：
多媒体
【教学过程】
教学流程
教师活动
学生活动
设计意图
环节一：
现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.
问：
对于幂函数、指数函数、对数函数，函数变化的速度有什么不同？
回答问题
复习上节知识，创设情境，引入课题。
环节二：
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数关系式，并作出相应的图象.
探究：
1）你能写出速度v关于时间t的函数解析式吗?
试试看！
2）你能写出汽车行驶路程s关于时间t的函数解析式吗?
试试看！
3）你能作出s关于时间t的函数的图象吗?
试试看
4）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？
5）图中每一个矩形的面积的意义是什么？
6）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？
它们关于时间的函数图象又有何关系？
教师引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.
解：
（1）阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
（2）根据图，有
这个函数的图象如图下所示.
例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国人口数据资料：
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
探究：
1）本例中所涉及的数量有哪些？
2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
3）根据表中数据如何确定函数模型？
4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？
如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？
解：
（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.由55196（1+r1）=56300，
可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.
同理可得，
r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，
r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+…+r9）÷9≈0.0221.
令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象（如下图）.
由上图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t（t∈N），
由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
练习：
课本104页1、2题
例3某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
日均销售量/桶
480
440
400
360
销售单价/元
10
11
12
日均销售量/桶
320
280
240
请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
探究：
1）你能看出表中的数据有什么变化规律？
假设每桶水在进价的基础上增加x元，日均销售量为多少？
2）设日均销售利润为y元，那么y与x的关系如何？
3）上述关系表明，日均销售利润y元是x的函数，那么这个函数的定义域是什么？
4）:
这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
5）
6）
7）
8）
9）
10）
11）
12）
13）解：
根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为
480–40（x–1）=520–40x（桶）
由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得
y=（520–40x）x–200
=–40x2+520x–200，0＜x＜13
易知，当x=6.5时，y有最大值.
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
思考：
你能总结一下用函数解决应用性问题中的最值问题的一般思路吗？
例4某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？
试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
探究;1）上表提供的数据对应的散点图大致如何？
2）根据这些点的分布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？
3）如何求出函数关系式中参数a,b？
解：
（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据（70，7.90），（160，47.25），代入y=a·bx得：
，用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：
y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
所以，这个男生偏胖.
思考4:
这个例题有什么特点？
此类问题由数据不能直接得出确定的函数模型，需要画散点图，通过图象特点选择合适的函数模型，再通过代入点的坐标求出近似模型，再对实际问题作出预测
思考5:
你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的基本过程吗？
学生感悟体验，思考回答。
先让学生尝试着解答本题。
学生互相交流，回答补充
学生独立完成，代表板演。
学生回答问题
学生板演解题步骤
学生独立画图，思考问题，代表回答。
在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例
小组讨论，总结
利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．
问题的引导可以使学生更好的把握问题的关键。
通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.
让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测。
以旧引新激发兴趣，再现应用技能.
通过学生的板演，规范解题步骤。
通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.
总结解题思路，提高解题能力。
环节三：
课堂小结
1.注意培养制表，读表，读图，画图的
能力；
2.分段函数是刻画现实问题的重要模型；
3.用已知的函数模型刻画实际的问题的
重要模型.
学生回顾，总结.
引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。
环节四：
课后作业：
1.课本第107页习题A组5、6。
2.（选做题）习题3.2B组1题
学生通过作业进行课外反思，通过思考发散
作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。
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