高中物理选择性必修一第1节 简谐运动.docx
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高中物理选择性必修一第1节简谐运动
第1节 简谐运动
核心素养
物理观念
科学思维
科学探究
1.知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和位移。
2.知道弹簧振子的位移—时间图像，知道简谐运动及其图像。
简谐运动的图像及特点的应用。
通过对简谐运动图像的绘制，认识简谐运动的特点。
知识点一 弹簧振子
[观图助学]
把一小钢球固定在轻弹簧的下端并竖直悬挂，小球静止后位于位置O，如图（a）。
把小球拉到A位置，如图（b），并由静止释放，观察以后小球的运动。
则小球做什么性质的运动？
运动时有无一个中心位置？
提示 小球在竖直方向做变加速直线运动，在小球运动轨迹上有一中心位置，即原静止位置O。
1.机械振动
物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。
2.平衡位置
物体不振动时，保持静止状态的位置。
3.弹簧振子——理想化模型
（1）组成：
小球和弹簧组成的系统。
（2）理想化模型的条件：
①弹簧的质量可以忽略不计，可以认为质量全部集中于振子（小球）。
②小球视为质点。
③忽略一切阻力和摩擦力。
④弹簧的形变在弹性限度内。
[思考判断]
（1）任意的弹簧和任意的小球都可以构成弹簧振子。
（×）
（2）弹簧振子中小球的振动范围不能超出弹簧的弹性限度。
（√）
（3）弹簧振子中小球的体积不能忽略。
（×）
（4）弹簧振子的小球一旦振动起来就不能自动停下。
（√）
弹簧振子有何特点？
质量特点
弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子（小球）上
体积特点
弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点
阻力特点
在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力
弹簧振子的平衡位置，一定在弹簧的原长位置吗？
不一定。
如图所示，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。
知识点二 弹簧振子的位移—时间图像
1.建立坐标系
在图中，以小球的平衡位置为坐标原点O，沿着它的振动方向建立坐标轴，小球在平衡位置的右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负。
纵坐标轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，横坐标轴表示振动运动的时间t。
2.图像绘制
用频闪相机拍摄时，底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，对应小球在各个时刻的位置，得到如图所示的图像，即x－t图像。
3.由图像可以看出，小球的位移随时间按正弦规律变化。
[思考判断]
（1）弹簧振子的x－t图像的曲线就是它的运动轨迹。
（×）
（2）弹簧振子的x－t图像中，x表示小球在某时刻的位置坐标。
（√）
（3）拍摄弹簧振子的频闪照片时，底片只要移动就可以，不一定非要匀速移动。
（×）
（4）若在图像中弹簧振子的位移－5cm要小于1cm。
（×）
振动位移通常以平衡位置为参考点，在x－t图像中，某时刻质点位置在t轴上方，表示位移为正，位置在t轴下方表示位移为负（如图中t2时刻）。
用绘图笔获取图像
在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图像，如图所示。
医院里的心电图仪、地震仪中绘制地震曲线的装置都是用类似方法记录振动情况的。
知识点三 简谐运动
1.定义：
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x－t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2.特点：
简谐运动是最基本的振动。
弹簧振子的运动就是简谐运动。
[思考判断]
（1）简谐运动是机械运动中最简单、最基本的运动。
（×）
（2）简谐运动都是水平方向的运动。
（×）
（3）振动图像表示质点相对平衡位置的位移随时间变化的规律。
（√）
（4）由振动图像可判断任一时刻质点的速度方向。
（√）
（5）由振动图像可知质点在离平衡位置最远处速度最大。
（×）
简谐运动的定义给了我们一种判定某振动是不是简谐运动的依据，即只要质点的振动图像是一条正弦（或余弦）曲线，那么质点的振动就是简谐运动。
核心要点
对弹簧振子的理解
[观察探究]
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
（1）小球的运动具有什么特点？
为什么小球最终停止运动？
（2）在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
（3）猜想：
如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
提示
（1）小球的运动具有往复性。
小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动。
（2）小球往复运动的次数增多，运动时间变长。
（3）小球将持续地做往复运动。
[探究归纳]
1.弹簧振子的运动是最典型的机械振动
振动特征：
①有一个“中心位置”，即平衡位置；②运动具有往复性。
如图所示。
2.弹簧振子是一种理想化模型
（1）弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称，但有时也把这样的小球称作弹簧振子或简称振子。
（2）理想化的弹簧振子：
一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个质点。
（3）弹簧振子理想化条件：
忽略弹簧质量、忽略小球的大小和形状、忽略摩擦及其他阻力。
3.平衡位置
振子不振动时，保持静止状态的位置；振子振动时，速度最大的位置。
平衡位置不一定是中心位置（如图甲所示物体的振动），物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态（如图乙所示物体的振动）。
甲 乙
4.弹簧振子的振动分析
（1）当振子从平衡位置向最大位移处移动时，位移在增大，速度在减小；当振子向平衡位置移动时，位移减小，速度增大，平衡位置处位移为零，速度最大；最大位移处速度为零。
（2）从合力的变化分析加速度的变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力。
不管是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，在平衡位置所受的合力为零，加速度为零，而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大。
[试题案例]
[例1]（多选）
如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是（ ）
A.振子从A点运动到C点时位移大小为
，方向向右
B.振子从C点运动到A点时位移大小为
，方向向右
C.振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小
D.振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大
解析 振子从A点运动到C点时的位移是以O点为起点，C点为终点，故大小为
，方向向右，A正确；振子从C点运动到A点时位移是以O点为起点，A点为终点，故大小为
，方向向右，B错误；振子的合外力为弹簧的弹力，振子从A点运动到C点的过程和从A点运动到O点的过程中，弹力都在减小，故加速度都在减小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大，C正确，D错误。
答案 AC
[针对训练1]（多选）弹簧
上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是（ ）
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置
D.在小球原来静止时的位置
解析 平衡位置是振动系统不振动时，小球（振子）处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，故选项D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。
答案 CD
核心要点
对简谐运动及其图像的理解
[观察探究]
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图像：
如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。
（1）白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
（2）乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
（3）沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？
图线上点的坐标表示什么？
用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线？
提示
（1）是一条垂直于OO′的直线。
（2）轨迹如图所示，类似于正弦曲线。
（3）垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x（如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴），沿O′O方向的轴为时间轴t。
图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移（以O′为出发点）或位置。
一种方法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线可以用什么函数表示。
[探究归纳]
1.简谐运动的位移、速度、加速度
（1）位移：
在振动中，不管振动质点初始时刻的位置在哪，振动中的位移都是从平衡位置指向振子所在的位置。
位移的表示方法是：
以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
且振子通过平衡位置，位移改变方向。
这与一般运动中的位移不同，一般运动中的位移都是由初位置指向末位置。
（2）速度：
跟运动学中的含义相同。
在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示速度方向与坐标轴的正方向相同或相反。
需要说明的是，速度和位移是彼此独立的两个物理量。
如振动物体通过同一个位置，其位移矢量的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能（两个“端点”除外）；指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向。
（3）加速度：
做简谐运动的物体加速度a＝－
，可见简谐运动是变加速运动。
振子在通过平衡位置处加速度改变方向。
特别提醒
（1）位移、加速度（回复力）大小的变化规律是：
向着平衡位置运动时，越来越小，平衡位置处为零，最大位移处最大。
（2）速度（动能）大小的变化规律是：
向着平衡位置运动，越来越大；平衡位置处最大，最大位移处为零。
2.对简谐运动图像（x－t图像）的认识
（1）形状：
正（余）弦曲线
（2）物理意义：
表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
（3）获取信息
①任意时刻质点的位移的大小和方向。
如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
②任意时刻质点的振动方向：
看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动。
③任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：
看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图乙中b，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小，c从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。
特别提醒 振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹。
比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线。
[试题案例]
[例2]一弹簧振子做简谐运动，有以下说法，其中正确的是（ ）
A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B.振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
C.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D.振子在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向
解析 加速度的方向与位移方向相反，位移方向为负时，加速度方向一定为正，但速度方向为物体运动方向，与位移方向无关，可正可负，A错误；振子每次经过平衡位置时，加速度为零且速度大小相等，但方向不一定相同，B错误；每次通过同一位置时，位移相同，故加速度相同，速度大小相同，但方向不一定相同，C正确；同理在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，D错误。
答案 C
方法凝炼
（1）在机械振动中，位移是相对平衡位置而言的，规定平衡位置为位移的起始点。
（2）要注意结合运动学的知识分析简谐运动，矢量相同不仅仅是大小相等，方向也应该相同。
[针对训练2]关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法正确的是（ ）
A.位移减小时，加速度减小，速度也减小
B.位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同
C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
D.物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反
解析 位移减小时，质点靠近平衡位置，加速度减小，速度增大，故A错误；位移方向总跟加速度方向相反，质点经过同一位置，位移方向总是由平衡位置指向质点所在位置，而速度方向可能与位移方向相同，也可能与位移方向相反；加速度的方向可能与速度方向相同或相反，故B、D错误；物体运动方向指向平衡位置时，位移方向由平衡位置指向物体所在位置，所以速度方向跟位移方向相反；背离平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同，故C正确。
答案 C
[试题案例]
[例3]如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M（最右端N）距离平衡位置的距离为l，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法中正确的是（ ）
A.图中x0应为l
B.0～t1时间内振子由M向O运动
C.t1～
时间内振子由M向O运动
D.0～
时间内与
～T时间内振子运动方向相反
解析 由下表分析可知，答案为A。
选项
选项分析
判断
A
结合甲、乙两图可以知道t1时刻振子的位移为正值且最大，振子位于N，x0应为l
√
B
0～t1时间内位移为正值，且逐渐增大，振子由O向N运动
×
C
t1～
时间内位移为正值，且逐渐减小，振子由N向O运动
×
D
0～
时间内振子先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，
～T时间内先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处
×
答案 A
方法凝炼
（1）简谐运动的图像反映的是振动质点的位移随时间的变化规律，而不是质点运动的轨迹。
（2）解决振动问题的技巧之一就是将振动情形和图像结合起来，既要能根据振动情况画出振动的位移—时间图像，又要能将振动图像“翻译”成振动过程。
[针对训练3]质点做简谐运动，其x－t关系如图。
以x轴正向为速度v的正方向，该质点的v－t关系是（ ）
解析 在t＝0时刻，质点的位移最大，速度为0，则下一时刻质点应向x轴负方向运动，故选项A、C错误；在t＝
时刻，质点的位移为0，速率最大，故选项B正确，D错误。
答案 B
1.（弹簧振子）做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是（ ）
A.总是与位移方向相反
B.总是与位移方向相同
C.远离平衡位置时与位移方向相反
D.向平衡位置运动时与位移方向相反
解析 做简谐运动的振子，速度方向与位移方向存在两种可能，因为位移的方向总是背离平衡位置，所以当振子靠近平衡位置时，二者方向相反，远离平衡位置时，二者方向相同，故D正确。
答案 D
2.（简谐运动）如图所示，
一弹性小球被水平抛出，在两个竖直且互相平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动（ ）
A.是机械振动，但不是简谐运动
B.是简谐运动，但不是机械振动
C.是简谐运动，同时也是机械振动
D.不是简谐运动，也不是机械振动
解析 机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动。
答案 D
3.（简谐运动的图像）（多选）如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图像如图乙所示。
则下列说法正确的是（ ）
A.t2时刻振子在A点
B.t2时刻振子在B点
C.在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D.在t3～t4时间内，振子的位移在减小
解析 振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子在A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻振子在A点，t4时刻振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误。
答案 AC
4.（简谐运动的图像）如图
所示为弹簧振子的振动图像，关于振子的振动，下列描述中正确的是（ ）
A.振子沿如图所示的曲线运动
B.图像描述的是振子的位移随时间变化的规律
C.从0.5s到1.5s内振子先加速运动后减速运动
D.从1s到2s内振子先减速运动后加速运动
解析 振动图像表达的是振子的位移随时间变化的规律，不是运动轨迹，选项A错误，B正确；振子运动到平衡位置时速度最大，由图像得出0.5s时振子在平衡位置，1s时在负的最大位移处，1.5s时又回到平衡位置，2s时在正的最大位移处，所以在0.5s到1.5s内振子先减速运动后加速运动，C错误；在1s到2s内振子先加速运动后减速运动，D错误。
答案 B
基础过关
1.关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是（ ）
A.平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
解析 平衡位置是物体可以静止的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关。
如乒乓球竖直落在台上的运动是机械振动，显然其运动过程的平衡位置应在台面上，所以A不正确；振动位移是以平衡位置为初始点，到质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变化，振子偏离平衡位置最远时，振动物体振动位移最大。
所以只有选项B正确。
答案 B
2.如图所示是一弹簧振子，设向右为正方向，O为平衡位置，则（ ）
A.A→O时，位移为负，速度为正
B.O→B时，位移为正，加速度为负
C.B→O时，位移为负，速度为正
D.O→A时，位移为负，加速度为正
解析 位移方向是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，加速度方向总是指向平衡位置，而速度方向要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定，规定向右为正方向，A→O或O→B速度为负，O→A或B→O速度为正，所以本题正确选项为C。
答案 C
3.关于简谐运动，下列说法中正确的是（ ）
A.位移的方向总是指向平衡位置
B.加速度方向总和位移方向相反
C.位移方向总和速度方向相反
D.位移方向总和速度方向相同
解析 由简谐运动的特点可知，位移是指由平衡位置指向振子所在位置的有向线段，由a＝－
可知加速度方向与位移方向相反，速度与位移可能同向，也可能反向，故选B。
答案 B
4.
如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。
以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。
若振子位于N点时开始计时，则其振动图像为（ ）
解析 由题意，向右为x轴的正方向，振子位于N点时开始计时，因此t＝0时，振子的位移为正的最大值，振动图像为余弦函数，选项A正确。
答案 A
5.（多选）关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是（ ）
A.表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线
B.由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C.表示质点的位移随时间变化的规律
D.由图像可判断任一时刻质点的速度方向
解析 简谐运动的图像是描述振动位移随时间变化的规律而不是轨迹，A项错误，C项正确；根据图像可判断当x＞0时，位移为正，当x＜0时，位移为负，B项正确；当曲线向上倾斜，即斜率大于零时，速度为正，当曲线向下倾斜，即斜率小于零时，速度为负，因而D项正确。
答案 BCD
6.
一个质点做简谐运动，它的振动图像如图中的曲线部分所示，则（ ）
A.有向线段OA是质点在t1时刻的位移
B.有向线段OA在t轴上的投影是质点在t1时刻的位移
C.有向线段OA在x轴上的投影是质点在t1时刻的位移
D.有向线段OA的斜率是质点在t1时刻的瞬时速率
解析 质点在t1时刻的位移为A点所对应的x轴坐标值，A、B错误，C正确；位移—时间图像某点切线的斜率绝对值表示图像上该点所对应时刻的瞬时速率，但OA的斜率并不是质点振动图像在t1时刻的瞬时速率，D错误。
答案 C
7.（多选）
如图所示是质点做简谐运动的图像。
由此可知（ ）
A.t＝0时，质点位移、速度均为零
B.t＝2s时，质点位移最大、速度为零
C.t＝4s时，质点位移为零、速度负向最大
D.t＝8s时，质点停止运动
解析 t＝0时，速度最大，位移为零，A错误；t＝2s时，质点位移最大、速度为零，B正确；t＝4s时，质点经过平衡位置，位移为零，速度沿负方向最大，C正确；t＝8s时，质点位移为零，速度最大，D错误。
答案 BC
8.如图所示
为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是（ ）
A.由P→Q位移在增大
B.由P→Q速度在增大
C.由M→N速度是先减小后增大
D.由M→N位移始终减小
解析 简谐运动位移是以平衡位置为初始位置的，P→Q的过程位移在增大，速度在减小，故A项正确，B项错误；由M→N速度先增大后减小，故C项错误；M→N位移先减小后增大，故D项错误。
答案 A
9.（多选）
劲度系数为20N/m的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，则图像上的P点反映出此时刻（ ）
A.弹簧振子的运动方向沿x轴正方向
B.振子所受弹力为0.5N，其方向沿x轴负方向
C.由t＝0到图像上P点所示时刻振子所经过的路程为37.5cm
D.由t＝0到图像上P点所示时刻的这段时间内，振子运动的位移为2.5cm
解析 P点处斜率为正值，故运动方向沿x轴正方向，A正确；此时x＝2.5×10－2m，由F＝kx有F＝0.5N，方向指向平衡位置，即沿x轴负方向，B正确；由图像知，在0～3.5s这段时间内，振子所通过的路程为
×4×5cm＝35cm，3.5s末到tP的这段时间Δt内再通过2.5cm，所以路程s＝37.5cm，C正确；而位移应为负方向2.5cm，D错误。
答案 ABC
10.分析如图所示的弹簧振子在一次振动中的运动情况，填好下表。
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移的方向、大小
速度的方向、大小
答案 如下表所示
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移的方
向、大小
方向：
向右
大小：
减小
方向：
向左
大小：
增大
方向：
向左
大小：
减小
方向：
向右
大小：
增大
速度的方
向、大小
方向：
向左
大小：
增大
方向：
向左
大小：
减小
方向：
向右
大小：
增大
方向：
向右
大小：
减小
能力提升
11.如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。
取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A.t＝0.4s时，振子的速度方向向右
B.t＝0.8s时，振子在O点和B点之间
C.t＝0.6s时刻和t＝1.2s时刻，振子的速度完全相同
D.t＝1.5s到t＝1.8s的时间内，振子的加速度逐渐减小
解析 t＝0.4s时，振子的速度向左，A错误；t＝0.8s时，振子在OA之间，B错误；t＝0.6s和t＝1.2s时刻振子的速度方向相反，C错误；t＝1.5s到t＝1.8s时间
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