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第二章力学

第二章力学

杨丽娜，高炳易.工程力学.华中科技大学出版社.2010年8月

2.1静力学（4课时）

2.1.1静力学基础知识

2.1.1.1刚体概念

1、刚体定义：

实际物体的理想化模型，即在受力后其大小、形状和内部各点相对位置都保持不变的物体。

2、静力学中研究的物体只限于刚体，因此静力学又称为刚体静力学。

2.1.1.2力的概念

1、力的定义：

力是两物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变，同时使物体的形状或尺寸发生改变。

前者称为力的运动效应或外效应；后者称为力的变形效应或内效应。

静力学中主要讨论力的外效应。

2、力的三要素：

力对物体作用的效应，决定于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点；这三个要素称为力的三要素。

●力的大小：

指物体间相互作用的强弱程度。

国际单位制（SI）中，力的单位为牛（N）或千牛（kN）。

●力的方向：

通常包含方位和指向两个含义。

例如：

重力的方向是“铅垂向下”，“铅垂”指力的方位，“向下”指力的方向。

●力的作用点：

指力在物体上作用的位置。

3、力的三要素表明力是一矢量，它可用一有向线段来表示，线段长度表示力的大小，线段方位角和箭头表示力的方向，线段的起点和终点表示力的作用点。

通过力的作用点，沿力的方向画出直线，称为力的作用线。

图2.1力的表示

2.1.2静力学主要公理

2.1.2.1二力平衡公理

1、公理1：

二力平衡公理:

作用于同一刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是：

这两个力大小相等，方向相反，且沿同一直线。

（简称等值、反向、共线）

图2.2二力平衡

2、二力构件

二力构件：

只在两点受力而处于平衡的构件。

如果二力构件是一根直杆，则称为二力杆。

2.1.2.2加减平衡力系公理

1、公理2加减平衡力系公理

在作用于刚体上的力系中，可以加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对该刚体的作用。

2.1.2.3力的平行四边形公理

1、公理3力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用在该点上，合力的大小和方向则由以这两个分力为边所构成的平行四边形的对角线来表示。

亦可只作力三角形，称为力的三角形法则。

图2.3力的平行四边形法则

2.1.2.4作用与反作用公理

1、公理4作用与反作用定律（牛顿第三定律）

两物体间相互作用的力，总是大小相等，方向相反，且沿同一直线。

2、揭示了物体之间相互作用的定量关系，作用力和反作用力必须成对出现，有作用力必有反作用力，但他们是作用在两个物体上，因此不能把他们看成一对平衡力。

5钢化公理

1、公理5刚化原理

如果变形体在已知力系作用下处于平衡状态，则设想将此变形后的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不会改变。

2、该公理指出：

处于平衡状态的变形体，可视为刚体来研究。

换言之，刚体静力学的平衡理论对于已处于平衡状态的变形体同样适用。

但刚体的平衡条件对变形体来说，只是平衡的必要条件，而不是充分条件。

例如软绳平衡。

2.1.3受力及分析

2.1.3.1约束与约束反力

1、基本概念：

●自由体和非自由体

在空间能向一切方向自由运动的物体，称为自由体。

当物体受到了其他物体的限制，因而不能沿某些方向运动时，这种物体为非自由体。

●约束和约束反力

对非自由体的某些方向的位移起限制作用的周围物体称为该非自由体的约束。

约束施加于被约束物体上的力，成为约束反力或简称反力。

约束反力的方向总是和约束所能阻碍的运动方向相反，作用在约束与被约束物体相互接触之处。

●主动力

约束以外的力，即主动地引起物体运动或有运动趋势的力，称为主动力。

例如重力、风力等。

图2.4约束与约束力

2、约束类型

●柔性约束

a）由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束。

由于柔体只能限制物体沿柔体伸长方向运动，故只能承受拉力

b）约束反力特点：

作用点在柔体与被约束物体接触处，柔性体的约束反力沿柔性体轴线背离被约束物体。

柔体.拉力

●光滑接触面约束

c）光滑接触面约束时，不论接触面形状如何，都不能限制物体沿接触面切线方向运动，而只能限制物体沿接触面公法线方向运动

d）约束反力的特点：

通过接触点，沿接触面公法线方向指向被约束物体

●中间铰链约束

e）铰链：

它是工程中常见的约束，有两个钻有圆孔的构件和圆柱形销子所构成，此类约束只能限制物体在垂直于销钉轴线的平面内移动而不能限制绕销钉转动

f）约束反力的特点：

当外力作用在垂直销钉轴线的平面内时，约束反力过铰链的中心，指向不定，可以用正交分解的两个分力来表示，指向任意假定。

对于二力构件，应确定铰链反力方位；

1-销钉　2-构件图1-21　铰链约束

●固定铰链支座

g）用一圆柱销钉将两构件连接，这种约束称为固定铰链支座

●活动铰支座

h）该约束是在铰链支座与光滑支撑面之间，装有几个辊轴而构成的，又称辊轴支座。

i）滚动支座的约束性质与光滑面约束相同，其约束反力必垂直于支撑面，且通过铰链中心

2.1.3.2物体的受力分析与受力图

1.受力分析方法

设想将所研究的物体从周围物体中单独隔离出来，将约束对它的作用代以相应的约束力，除可以略去不计的以外，将所有主动力、约束力画在隔离体上，即取隔离体，画受力图

2.画受力图的步骤

（1）明确（选择）研究对象，并将研究对象从它周围的约束中分离出来，单独画出其简图。

（2）画出分离体所受的全部主动力

（3）正确画出约束反力。

（4）考虑平衡条件，判断某些约束力的方向。

（5）两物体间的相互作用力要符合作用力与反作用力的定律。

3例题

例题1：

如图梁AB，AB两端用固定铰链支座和活动铰链支座支撑，且受到力F的作用，梁自重不计，分析AB梁的受力

情况并作出它的受力图。

图2.5例题1的分析

2.1.4平面力系

2.1.4.1平面力系的合成

1、基本概念

a）所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。

b）在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力系（图2.6）；

c）若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系（图2.7）；

d）若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系（图2.8）。

图2.6平面汇交力系

图2.7平面平行力系

图2.8平面一般力系

2、平面汇交力系

平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。

●平面汇交力系的几何法：

力三角形法、力多边形法。

力三角形法FR=F1+F2（式2.1）

力多边形法FR=F1+F2+……Fn=∑Fi（式2.2）

（1）力是矢量，矢量模量为力值，靠量尺测量；

（2）分力首尾相接，合力是第一力矢尾指向最后一力矢头。

合力矢过汇交点。

（3）矢量加法满足交换律，故画力多边形时，各分力矢先后秩序可变；改变力的次序，只影响力多边形的形状，不影响所得合力的大小和方向。

（4）平面汇交力系平衡的几何条件FR=0或∑Fi=0（式2.3）

图2.9力三角形法

图2.10力多边形法

●平面汇交力系合成的解析法

（1）力在坐标轴上的投影

设力F作用于物体的A点，如图2.4所示。

若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算

（（式2.4）

Fx=±Fcosα

Fy=±Fsinα

　　力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：

　　当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零；当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。

如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则力F的大小和方向可由下式确定

（式2.5）

如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。

【例2.1】试分别求出下图中各力在x轴和y轴上的投影。

已知F1=150N，F2=200N，F3=100N，F4=500N,各力的方向如图所示。

【解】力F2与x轴平行，与y轴垂直，其投影可直接得出；其他各力的投影可由式（2.1）计算求得。

故各力在x、y轴上的投影为

　　　　F1x=-F1cos30°=-129.9N

　　　　F1y=-F1sin30°=-75N

　　　　F2x=F2=200N

　　　　F2y=0

F3x=-F3cos45°=-70.7N

　　　　F3y=F3sin45°=70.7N

　　　　F4x=F4cos30°=433N

　　　　F4y=-F4sin30°=-250N

（2）合力投影定理：

合力在任意坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。

FRx=∑Fix=F1x+F2x+F3x+……Fnx（式2.6）

（3）平面汇交力系求合力的解析法

（（式2.7）

设在刚体的A点处作用有平面汇交力系F1、F2、F3……Fn。

欲求此力系的合力时，则应先选定坐标系Oxy，然后将力系中个方向坐标轴进行投影，可得

FRx=∑Fix=F1x+F2x+F3x+……Fnx

FRy=∑Fiy=F1y+F2y+F3y+……Fny

再用式2.5求合力FR大小和方向

平面汇交力系的合成结果是一个合力R，合力的作用线通过原汇交力系的交点。

平面交汇力系平衡的必要与充分条件是合力R为0；几何法，要求力多边形自行封闭，即第一个分力的末端与最后一个分力的尾端重合；分析法，平面汇交力系中各个分力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零。

【例2.2】如同2.11所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知

三力均通过圆心

。

试求此力系合力的大小和方向。

解：

运用两种方法求解合力。

（1）几何法

取比例尺为：

1cm代表10kN，画力多边形如图2.11（b）所示，其中ab=

。

从起点a向终点d作矢量

，即得合力R。

由图上量得，ad=4.4cm，根据比例尺可得，R=44kN；合力R与水平线之间的夹角用量角器量得α=

。

图2.11

（2）解析法

取如图2.11（a）所示的直角坐标系

，则合力的投影分别为：

则合力R的大小为：

合力R的方向为：

由于

＞0，

＞0，故α在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇交点

。

2.1.4.1平面力系的平衡条件

1、力对点之矩

●力矩的定义

试观察用扳手拧螺母的情形，如图2.12所示，力F使扳手连同螺母绕螺母中心O转动。

用钉锤拔钉子（图2.13）也具有类似的性质。

图2.12图2.13

用乘积F*d加上正号或负号作为度量力F使物体绕O点转动效应的物理量，该物理量称为力F对O点之矩，简称力矩。

O点称为矩心，矩心O到力F作用线的垂直距离d称为力臂。

力F对O点之矩通常用符号mO（F）表示，即

mO（F）=±Fd（式2.10）

由图2.14可见，力F对O点之矩的大小也可用以力F为底边，矩心O为顶点所构成的三角形OAB面积的两倍来表示，即

　　　　mO（F）=±2S△OAB

●力矩的性质

由力矩的定义可知：

（1）力对O点之矩不仅取决于力F的大小，同时还与矩心的位置即力臂有关。

（2）力对某一点之矩不因力沿其作用线任意移动而改变。

（3）当力的大小等于0，或力的作用线通过矩心（力臂d=0）时，力矩为0。

图2.14图2.15

【例2.7】如图2.15所示，P1=200N、P2=100N、P3=300N。

试求各力对O点的力矩。

【解】由式（2.6）得

　　　　mO（P1）=P1d1=200×1N·m=200N·m

　　　　mO（P2）=-P2d2=-100×2sin30°N·m

　　　　　　　=-100N·m

　　因为力P3的作用线通过矩心O，即有d3=0，故

　　　　mO（P3）=300×0=0

平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。

这就是平面汇交力系的合力矩定理。

　如图2.16　

合力矩定理：

平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。

这就是平面汇交力系的合力矩定理。

MO（FR）=MO（F1）+MO（F2）+^MO（Fn）=∑MO（Fi）　（式2.11）

图2.16图2.17

【例2.8】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm,　BD=15cm,F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。

并比较计算结果。

【解】

（1）根据力矩定义计算，由式2.10得

　　mA（F）=-FdA=-F×AD×sinα=-22.5N·m

　　mB（F）=-FdB=-F×BD×sinα=-7.5N·m

　　mC（F）=-FdC=-F（CE+EH）

　　因为CE=√AE2+AC2

　　EH=ED×sinα=（AD-AE）sinα

　　而AE=AC×tanα=0.3tan30°m=0.173m

　　所以CE=0.346m

　EH=（0.45-0.173）sin30°m=0.139m

　　故mC（F）=-100（0.346+0.139）N·m=-48.5N·m

（2）根据合力矩定理计算

　　将力F分解为水平力Fx和铅垂力Fy，如图中所示。

且

　　Fx=Fcosα,Fy=Fsinα

　　由式（2.11）得

　　mA（F）=mA（Fx）+mA（Fy）=0-Fy×AD=-Fsinα×AD=-22.5N·m

　　mB（F）=mB（Fx）+mB（Fy）=0-Fy×BD=-Fsinα×BD=-7.5N·m

　　mC（F）=mC（Fx）+mC（Fy）=-Fx×AC-Fy×AD=-48.5N·m

2、力偶

（1）力偶和力偶矩

　在实践中，我们有时可见到两个大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的力作用于物体的情形。

例如，钳工用丝锥攻螺纹（图2.18）就是这样加力的。

图2.18

力学中，将这种大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的两个力组成的力系，称为力偶，用符号（F，F′）表示。

力偶中两力作用线间的垂直距离d（图2.19），称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。

图2.19

在力学中用力的大小F与力偶臂d的乘积Fd加上正号或负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，该物理量称为力偶矩，并用符号m（F，F′）或m表示，即

m（F,F′）=m=±Fd（式2.12）

（2）力偶的基本性质

①力偶在任一轴上的投影等于零。

　　设在物体上作用一力偶（F,F′），其中F，F′与任一轴x所夹的角为α，如图2.20所示。

由图可得：

　∑Fx=Fcosα-F′cosα=0

由此可知，力偶在任一轴上的投影等于零。

图2.20

②力偶对其作用面内任一点之矩，恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

　　设在物体上作用一力偶（F，F′），其力偶臂为d,如图2.21所示。

在力偶作用面内任取一点O为矩心，以mO（F，F′）表示力偶对O点之矩，则

　　mO（F,F′）=mO（F）+mO（F′）=F（x+d）-F′x=Fd=m

以上结果表明：

力偶对其作用面内任一点的矩，恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

图2.21

③力偶无合力。

力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的，它不能与一个力等效。

若力偶与一个力等效，则它对物体的作用效应与该力相同。

但是，一个力可使物体产生移动（图2.22（a））或同时产生转动（图2.22（b））。

而力偶只能使物体产生转动（图2.22（c））。

因此力偶不可能与一个力等效，故力偶无合力。

偶无合力

图2.22

④在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。

这一性质称为力偶的等效性。

力偶的等效性可以直接由经验证实，例如，司机使汽车转弯时用双手转动方向盘（图2.23），不管施加的力偶是（F1，F1′）或是（F2，F2′）,只要力的大小不变，它们的力偶矩就相等，因而转动方向盘的效应就相同。

又如攻螺纹时，双手施加在扳手上的力偶不论是如图2.24（a）还是如图2.24（b）。

图2.23

图2.24

推论1　力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应。

即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。

推论2　只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中的力和力偶臂的大小，而不改变它对物体的转动效应。

力偶在其作用面内除可用两个力表示外，通常还可用一带箭头的弧线来表示，如图2.25所示。

图2.25

（3）平面力偶系的合成

作用在物体同一平面内的两个或两个以上的力偶，称为平面力偶系。

平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。

M=m1+m2+…+mn=∑m（式2.13）

（4）平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的结果是一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态；反之，当合力偶矩不等于零时，则物体必有转动效应而不平衡。

　　所以，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：

力偶系中各力偶矩的代数和等于零。

用公式表示为

　　　　∑m=0

　　上式称为平面力偶系的平衡方程。

3、力的平移定理

对刚体的作用与作用于该力作用线以外任一点的一个平移力和一个复交力偶等效，附加力偶德语该力对平移点之矩。

4、平面平行力系的平衡

平面平行力系平衡的充要条件为力系中各力在与力平行的坐标轴上投影的代数和为零，各力对任意点之矩的代数和也为零。

只有两独立的平衡方程，应用它们只能求解两个未知量。

4、平面一般力系的平衡

平面一般力系平衡的必要和充分条件也可叙述为：

力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零，同时各力对任一点之矩的代数和也等于零。

基本形式：

∑Fx=0

∑Fy=0

∑mO（F）=0

二矩式：

∑Fx=0

∑mA（F）=0

∑mB（F）=0

三矩式：

∑mA（F）=0

　　　　∑mB（F）=0

　　　　∑mC（F）=0

无论是哪种形式，平面力系只能有三个独立的平衡方程，求三个未知量。

2.1.5空间力系

2.1.5.1空间力系概念

空间力系指力系中各力的作用线不在同一个平面内的力系。

空间汇交力系和空间平行力系只是他的特例。

2.1.5.2力沿空间坐标轴上的分解和投影

设空间直角坐标系Oxyz的三个坐标轴如下图所示，已知力F与三根轴的夹角分别为α﹑β﹑γ。

此力在x﹑y﹑z轴上的投影X﹑Y﹑Z分别为：

2.1.5.3力对轴之矩

力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩.

，它是代数量，正负规定+–，自轴的正向看物体，若力使物体绕轴逆时针方向转动则为正，顺时针方向转动则为负。

2.1.5.4空间力系的平衡方程

∑Fix=0∑Mx（Fi）=0

∑Fiy=0∑My（Fi）=0

∑Fiz=0∑Mz（Fi）=0

6个方程解6个未知数。

2.1.5.5重心

1、物体的重心在物体内部的相对位置是确定的，与该物体在空间位置无关。

2、重心坐标公式：

将物体割成许多微体，其每个微体受到地球的引力，则这些引力G1、G2、G3、……Gn组成一个平行力系，其作用点为Mi（xi，yi，zi）它们的合力G就是整个物体的重力G=∑Gi，平行力系的重心C就是整个重力作用点，称为物体的重心，坐标设为（xc，yc，zc）因此重心C的坐标公式如下：

3、确定物体重心及平面图形的方法：

计算法，悬挂法，分割法，和负面积法。

2.2工程中构件承载能力的计算

材料力学基础

轴向拉伸与压缩

剪切

圆轴的扭转

直梁弯曲

2.3动载荷与交变应力

2.4空气动力学

（2）