大学数学练习题.docx
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大学数学练习题
大学数学练习题
大学数学习题及答案
一填空题：
I一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线•
2二阶线性齐次微分方程的两个解yi（x）;y2（x）为方程的基本解组充分必要条件是
3方程y''2y'y0的基本解组是.
4一个不可延展解的存在区间一定是区间.
5方程dyV1y2的常数解是
dx+
6方程x''p（t）x'q（t）x0一个非零解为xi（t）,经过变换
7若4（t）是线性方程组X'A（t）X的基解矩阵，则此方程组的任一解4（t）=.
8—曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为.
9满足条件的解，称为微分方程的特解•
10如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为.
II一阶线性方程y'p（x）yq（x）有积分因子（）.
dy
12求解方程x/y的解是（）.
dx
222
13已知（axy3xy）dx（xy）xdy0为恰当方程，则a=.
矽x2y2
14dx,R:
x1,y1由存在唯一性定理其解的存在区间是（）.
y（0）0
215方程dy5dy6y0的通解是（）.
dxdx
4
16方程dyy3xy5的阶数为.
dx
17若向量函数1（X）；2（X）；3（X）n（x）在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式
（x）=.
18若P（X）是方程组或A（x）的基本解方阵则该方程组的通解可表示为.
dx
22
19•方程x（y1）dxy（x1）dy0所有常数解是.
20.方程y4y0的基本解组是•
dyy1
21.方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是.
条件是它们的朗斯基行
22.函数组1（X），（X）,,n（X）在区间|上线性无关的
列式在区间I上不恒等于零.
23.若y1（x）,
y2（x）是二阶线性齐次微分方程的基本解组,
则它们
共同零
占
八、、♦
二单项选择：
方程巴x
dx
y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是
（）.
（A）上半平面
方程巴
dx
（A）有一个
（B）xoy平面
1（）奇解.
（B）有两个
在下列函数中是微分方程y''
（A）y
（B）yx
方程y''
x的一个特解
（C）下半平面（D）除y
（C）无
0的解的函数是（
（C）ysinx
y*形如（）.
轴外的全平面
（D）有无数个
）.
x
（D）ye
x
（A）ae
x
（B）axe
bx
（C）aexbxc
（D）axexbxc
dy
dx
（A）必要
二阶线性非齐次彳
（B）充分（C）充分必要
（D）必要非充分
微分方程的所有解（
）.
（A）构成一个2维线性空间
（B）构成一个
3维线性空间
（C）不能构成一个线性空间
（D）构成一个无限维线性空间
方程dy3y勺dx
过点（0,0）有（）.
（A）无数个解
（B）只有一个解
（C）只有两个解
（D）只有三个解
011
初值问题x'
10X'細1
在区间，
t上的解是
t
e
t
（A）u（t）+
（B）u（t）+
（C）u（t）
（D）U（t）
t
t
e
方程dyx2y
cosx0是（）.
dx
f（y）连续可微是保证方程
f（y）解存在且唯一的
（）条件.
6
7
8
9
（B）一阶线性方程
（D）二阶线性方程
（A）一阶非线性方程
（C）超越方程
（）.
2
0的通解是（）.
方程dy3dy
dxdx
（A）CiC2e3x
（B）CixC?
e3x（C）Ci
C2e
3x
（D）C?
e
3x
2
11方程dy4dy4y0的一个基本解组是（）.
dxdx
（A）
x,e
2x
（B）1,e2x
22x2x2x
（C）x,e（D）e,xe
2
12若y1和y2是方程dy
p（x）dyq（x）y0的两个解，则ye1y-ie^?
（ei,e2为任意常数）dx
（A）是该方程的通解
（B）是该方程的解
y''y0的解的函数是（）.
（C）不一定是该方程的通解
13方程dy.1y2过点（0,0）的解为dx
（A）（,）（B）（,0]
2
14方程y'3x
xD
ye是（）.
（A）可分离变量方程
（B）齐次方程
15微分方程
dx
1yx
0的通解是（
c
（A）y—
x
（B）
ycx（C）y
16在下列函数中是微分方程
（D）是该方程的特解
ysinx,此解存在（）.
（C）[0,）
（D）[-,-]
（C）全微分方程
（D）线性非齐次方程
）.
1
-C（D）y
x
xC
（A）y1
（B）yx
x
（C）ysinx（D）ye
（A）ae
xb
（B）axex
bx
（C）aex
bxc
（D）axex
bxc
01
1
18初值问题x'
x;x（0）
1
在区间
t
上的解是
（）.
10
t
te
t
te
（A）u（t）
t（B）u（t）
t
（C）u（t）
t
（D）u（t）
te
e
dy
y
19.方程
dx
的奇解是
（
）.
（A）
y
x
（B）
y1
（C）
y1
dy
\1y2
（,1）
20.方程
dx
过点
2
共有（
）个解.
（D）y0
22.
23.
（A）
（B）无数
（C）两
（D）
n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是
（A）n
（B）n-1
一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（
（A）
（C）
如果
（A）
而定
不是其对应齐次微分方程组的解
是其对应齐次微分方程组的解
f（x,y）
必为（
f（x,y）
y
求下列方程的解：
求下列方程的通解或通积分
⑴豊y1ny
⑸yxy'
求方程的解
）个.
（C）n+1
）•
（D）n+2
（B）是非齐次微分方程组的解
（D）是非齐次微分方程组的通解
都在xoy平面上连续,
（B）必为
（0,
那么方程
dy
dx
f（x，y）的任一解的存在区间（
）.
必为
0）
（D）将因解
2（y'）3
x（5）
⑵乎
dx
I1
⑶乎
dx
5
yxy
22
⑷2xydx（xy）dy0
解方程：
dx
求方程：
—y
dx
2
ycosx并求出满足初始条件
:
当x=0时,y=2的特解
5求方程：
％
dx
y
x
6丄
x
tg#
x
xy2的通解
22
求（3x6xy）dx
（6x2y
3
4y）dy0的通解.
亠”…d4x
求解万程:
詰
2色
dt2
d4xtdt4
0的解
求方程y5y'
5x2的通解
10求下列方程组的通解
dx
d?
dy
dt
1
sint
x
y'x
11求初值问题
y
（1）
R:
x11y1的解的存在区间并求出第二次近似解
dy
（1）
y
2
⑵矽YtanY
dxx
y
dxxx
4
2
⑷字5
dy
4y
0
dx
dx
13计算方程
y''4y
3sin2x的通解
d2x
dx
14计算方程
4-
4xcost
dt
dt
12求方程的通解
15求下列常系数线性微分方程：
y2y'10yxe2x
2
⑶（y3x）dx（4yx）dy0（三种方法）
21
16试求xx的基解矩阵
02
17试求矩阵A
的特征值和对应的特征向量
18试求矩阵A
的特征值和特征向量
19解方程组
y'1
y'2
32y1
12y2
20.求下列方程组的通解
dt
dy
dt
x2y
3x4y
四名词解释
1微分方程
2常微分方程、偏微分方程
3变量分离方程
4伯努利方程5Lipschitz条件6线性相关
五证明题
1在方程yp（x）y'q（x）y0中已知p（x）;q（x）在（
）上连续
求证:
该方程的任一非零解在xoy平面上不能与
2设xi（t）、X2（t）分别是非齐次性线方程
x轴相切.
dnxdtn
Gn（t）X
fl（t）
dnx
d?
"
dn1x
G1（忙
Gn（t）x
f2（t）
证明：
Xi（t）+X2（t）是方程
dnxdtn
.n1
G1⑴討
Gn（t）x
fl（t）f2（t）的解。
3设f（x）在［0;+］上连续且
limf（x）=o求证:
方程dy
dx
yf（x）的一切解y（x）；
均有limy（x）=0
X
4在方程y''p（x）y'q（x）y
0中p（x）、q（x）在
）上连续；求证：
若
p（x）恒不为零；则该方程
的任一基本解组的朗斯基行列式
w（x）是（
）上的严格单调函数。
5证明：
X1（t）+X2（t）是方程
dnxden
an（x）t
f2（t）的解。
6证明：
函数组
e1X,e2X
enX
（其中当
j）在任意区间（
a,b）上线性无关。
7.
在方程
dy
dx
f（y）（y）中，
已知
f（y）
（x）在（
）上连续，且（
1）0.求证：
对任意Xo
y。
在方程
1
，满足初值条件
y（x。
）
y0的解y（x）的存在区间必为（
yP（x）yq（x）y0中，已知p（x）,q（x）在（
）上连续.
求证：
该方程的任一非零
解在xoy平面上不能与X轴相切.
练习题答案
一填空题：
1、2
2、线性无关（或：
它们的朗斯基行列式不等于零）
3、e";xeX
4、开
5、y1
6、xx1ydt
7、（t）C,C为常数列向量
2
8、y=x+c
9、初始
10、常微分方程
11、ep（x）dx12、x2+y2=c;c为任意正常数
13、/
11
14、；一
22
15、
16、417、0
18、（x）c;其中c是确定的n维常数列向量
19.y1,x1
20.sin2x,cos2x
2
21.D{（x,y）Ry0},（或不含x轴的上半平面）
22.充分
23.没有
二单项选择
I、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C
21.A
II、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19.D20.B
22.C23.D
三求下列方程的解
1
（1）解：
当y0,y1时，分离变量取不定积分，得
匹dxC
y1ny
通积分为1ny=Cex
（2）解：
令y=xu，则dyux^,代入原方程，得
dxdx
（3）
（4）
（5）
dU2
x1u
dx
分离变量，取不定积分，得
—dU—空mC
1u2x
通积分为：
arcsin丫1nCx
x
解：
方程两端同乘以
5dy4
yy
dx
令y-4=z，则-4y
1dz
2解:
y-5,得
dy
-5
dx
（C0）
-J—
，代入上式，得
dx
4dx
通解为
zCe
原方程通解为
解:
解:
4x
y4Ce
4x
因为卫2x
y
N，所以原方程是全微分方程。
x
取（X0,y0）=（0，0）
x
o2xydx
原方程的通积分为
°yy2dy
213
xy3y
原方程是克莱洛方程，通解为:
dx…dx
则方程化为一
dtdt
是x=C1t5+C2t3+C3t2+C4t+C5
y=cx+2c3
dx
，积分后得y=ct即ctdt
其中C1,C2,C3,C4,C5为任意常数
dn1x（t）
dn1x（t）
[dnx（t）
[dtnT3dtn1
Gn（t）X2（t）]
Gi（t）
[dnx（t）
dtn
G（t）
dtn1
=f1（t）+f2（t）
故X1（t）+X2（t）为方程dxnt）
dtn
G1（t）
dn1x（t）
dtn1
GnX（t）=f1（t）+f2（t）的解。
3解：
将变量分离，得到
dy
2
y
cosxdx
两边积分，即得
sinxc
因而，通解为
sinxc
这里c是任意常数。
c,得到
x=0,y=1代入通解中以决定任意常数
c=-1
因而，所求特解为
dy
dx
y1
x巴
dx
du
x-
dx
sinx
u代入，则原方程变为
utgu
du
tgu
将上式分离变量
，即有
dx
ctgudu
dx
两边积分，得到
nsinu
nxc
这里c'是任意函数，整理后，得到
令eec,得到
sinu
sinu=cx
c'
ex
解：
令z=y-1得
dz
dx
2dyy二
代入原方程得到
dzdx
这是线性方程，求得它的通解为
x2
代回原来的变量y，得到
x2
y=0。
这时
这就是原方程的通解。
此外，方程还有解解：
这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，
9/21
12xy^N
12xy
因此方程是恰当方程。
现在求
3x2
u，使它同时满足如下两个方程
6xy2
2,3
6xy4y
由
（1）对x积分，得到ux33x2y2
（y）
为了确定（y），将（3）对y求导数，并使它满足
（2），即得
6x
2y屮6x2y4y3
dy
3=4y4
dy
积分后可得
（y）=y4
将（y）代入（3），
得到
u=x3+3x2y2+y4
因此，方程的通解为
x3+3x2y2+y4=C
这里C是任意常数
4
解：
特征方程
0即特征根
i是重根，因此方程有四个实值解
cost、tcost
sint、
tsint
故通解为
x=（Cl+C2t）COSt+（C3+C4t）s泊其中
C1;C2;C3;C4为任意常数
解：
令
宁y则方程化为：
穿1
积分后得
d4x
y=Ct即即
Ct于是x=Cit5+C2t3+C3t2+C4t1+C5
其中C1；C2…C5为任意常数，这就是原方程的通解。
解对应齐次方程的特征方程为250,
特征根为i0,25
齐次方程的通解为y=Ci+C2e5x
因为a=0是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
yi（x）=x（Ax2+Bx+C）
代入原方程，比较系数确定出
2
C=—
25
1
A=_，
3
原方程的通解为
10
yCi
解：
先解出齐次方程的通解
C2e5x
2
x
25
xcostsint
=C1+C2
ysintcost
令非齐次方程特解为
~costsint
〜=C1（t）+C2（t）
ysintcost
C'1（t）,C'2（t）满足
costsintC'1（t）
sintcostC‘2（t）
1
sint
0
”Fcost
解得C'1（t）,C'2（t）1
sint
积分，得C1（t）1nsint,C2（t）t
通解为
11
解：
M=max
cost
C1sint
C2
sint
cost
cost1nsinttsint
sint1nsint
tcost
f（x,y）=4h
2）q0（x）=0q1（x）=0
1
一故解的存在区间为x
4
g|X
3|
1]dg进詈
9363
b
min（a,）
M
x（g20）dg
q2（x）=0+x[g29ig9
x1
33
空
36
__xxxx11
=39186042
12求方程的通解：
解：
变形巴
dx
^xy
（1）,将y看作自变量，x为未知函数
y
dx
解齐线性方程—
dy
丄x,通解为x=cyy
dx令x=c（y）y…..
（2）微分得,一
dy
d（c（y）y）
dy
警yc（y）
dy
警yc（y）
dy
C（y）y
y
dc（y）
dy
1,积分得c（y）
y~故x（y~）y（~是任意常数）
2）也y
dxx
解:
令-
x
tany
x
ux,于是
dydu
xudxdx
du
tanu
则原方程变为x
dx
卄dutanu
即
dxx
将上式分离变量有cotudu
dx
积分得Insinu
1nx
c,
~为任意常数。
整理sinuec?
x
令e~c0得sinu
cx（c0）
方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx（c为任意常数）
2
3）（y3x）dx（4yx）dy0（三种方法）
解：
法一，这里M=y-3x2,N=-（4y-x）=4-4y
1,因此此方程是恰当方程
现求u使
x
3x2
x4y
（2）
对
（1）中x积分得
3
yxx
（y）（3）
对（3）中y求导一
y
d（y）
dy
12/21
232
积分得（y）2y，代入（3）得uyxx2y
故通解为yxx32y2c,c为任意常数
法二，重新组合得
2
ydx3xdx4ydyxdy
0,即ydxdx32dy2xdy0
d（xyx32y20）
对x求导得
P
0
解:
4）（
5p24y
x32y2
c其中c是任意常数。
5dp
2Pdx
0,y
5
2
14
—
p
-p
4
4
5
3、dp
5
（:
P
p
）~r
（：
p
2
dx
2
3dp
P£
3
p）dppdx0
积分得（寸p2
4
P、
）pxc,x
4
52p-pc
44
p
5
13
c
-p
-p
—
4
4
p
5
13
c
x
—
p
p
——
于是方程通解为
4
4
p
5
2
14
y
—
p
p
4
4
13方程y''4y3sin2x的通解
（p=0）
解：
齐次方程是y''4y0,240,2i
y&cos2tc2sin2t
由于2i是特征方程单根
故所求特解应具形式yix（Acos2xbsin2x）
代入原方程
4A3,B0A
3
B0
4
y1
3xcos2x
4
故通解为y
3
xcos2xc1cos2t
4
c2sin2t，其中C1C2为任意常数
d2x4dx
144x
dtdt
cost
2
解：
特征方程
440有重根1
22
因此对应齐线性方程的通解为x
2t
（C1C2t）e，其中C1,C2为任意常数。
因为i不是特征根，现求形如x
AcostBsint的特征解,
代入原方程化简
（3A-4B）cost
（4A
3B）sintcost
3A
曰
疋
4A
4B
故通解为
3B
25
4
25
（Ci
C2t）
2te
cost
25
4
一sint其中C1,C2为任意常数
25
15求下列常系数线性微分方程
对应的齐次方程为y''2y'
10y
0特征方程为
210
特征根为
13i
a不是特征根,
故原方程有形如
y*=（ax+b）e
2x的特解代入原方程得
1
50
故原方程通解为
ex（c1cost
1、2x
1一2x
C2sin3t）（后x50）e，
（C1,c2为任意常数）
2
16解：
因为A
0
而且后面的两个矩阵是可交换的
得至UexpAtexp
2t
exp
1
2t
e
{E+
2!
｝但是,
所以，级数只有两项。
因此,
17解：
特征方程为
因此,
因此,向量
基解矩阵就是
expAte
det（EA）
2t
3是A的二重特征值.为了寻求对应于
3的特征向量，考虑方程组
（3EA）c1
C2
是对应于特征值
3的特征向量，其中a0是任意常数
35
18解A特征方程为det（AE）53
360
特征根为1,235i
u
对应于仁3+5i的特征向量u满足
u
（A1E）u
5i5
0解得u=aa0为任意常数
55i
u
1
对应于
2
35i特征向量
v
满足
u
i
iv
（A
2E）v
0解得v
1v
为任意常数
0
3
2
3
2
19解:
A
1
的特征方程
2
为det（
E
A）
1
2
（
1）（4）0
a
1=1,
2=4为特征根，（A
4E）u
0
u1
为方程组解
a为任意常数.
a
为方程组解
（A4E）u0
u2
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