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初一奥数

初中数学竞赛辅导资料（3）

　　　　　　　质数　合数

一、内容提要

1正整数的一种分类：

质数的定义：

如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

　合数的定义：

一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。

2根椐质数定义可知

1质数只有1和本身两个正约数，

2质数中只有一个偶数2

如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，　

如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，　

3任何合数都可以分解为几个质数的积。

能写成几个质数的积的正整数就是合数。

二、例题　

例1两个质数的和等于奇数a（a≥5）。

求这两个数

解：

∵两个质数的和等于奇数

　　∴必有一个是2

所求的两个质数是2和a－2。

例2己知两个整数的积等于质数m,求这两个数

解：

∵质数m只含两个正约数1和m,

又∵（－1）（－m）=m

∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.

例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30

求适合条件的a,b,c的值

解：

分解质因数：

30＝2×3×5

　适合条件的值共有：

应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。

例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。

解：

（本题答案不是唯一的）

　设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5　　　

　那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数

即32，33，34，35就是所求的一组数。

本题可推广到n个。

令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，

N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。

三、练习

1，小于100的质数共___个，它们是__________________________________

2，己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿

3，己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿

4，如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿

如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿

如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿

5,　两个质数x和y，己知　xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__.

6,三个质数a,b,c它们的积等于1990.

那么　

7,　能整除311＋513的最小质数是＿＿

8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。

　求M及

＋

的值

9，试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。

10，具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？

11，求适合下列三个条件的最小整数：

1大于1　②没有小于10的质因数　③不是质数

12，某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，

那么这个质数是＿＿＿

13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。

练习题参考答案

1.　25个　　　2.　2，9　　　3.　2，43　

4.　1，19；1，73或－1，－73

5　略

6.　1900＝2×5×199　有6组

7.　2　　　

8.　略　

9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合数为N＋2，N＋3，……

10. 分母只含2和5的质因数

11. 11×11　　　

12.　37　　　　

13.　3

初中数学竞赛专题选讲

倍数　　约数

一、内容提要

1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。

0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。

7在有余数的除法中，

　被除数＝除数×商数＋余数　　若用字母表示可记作：

　A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除

例如23＝3×7＋2　　则23－2能被3整除。

二、例题　

例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以

应用：

2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32　。

　解：

列表如下

正整数

正约数

个

数

计

正整数

正约数

个数计

正

整

数

正约数

个数计

1，2

1，3

2×3

1，2，

3，6

1，2，4

1，3，32

22×3

1，2，3，

4，6，12

1，2，

4，8

1，3，

32，33

22×32

1，2，3，

4，6，9，

12，18，36

1，2，4，

8，16

1，3，32，

33，34

其规律是：

设A＝ambn　（a，b是质数,m，n是正整数）

　　　　那么合数A的正约数的个是（m+1）（n+1）

例如求360的正约数的个数

解：

分解质因数：

360＝23×32×5，

　360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）

例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数

解：

∵24＝23×3，90＝2×32×5

∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6

　最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360

例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N

解：

∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数

　∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6

经检验1和2不合题意，∴N＝6，3

例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数　

分析：

依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。

解：

　∵[10,9,8]=360,　

　　∴所以所求的数是359

三、练习

1，12的正约数有_________,16的所有约数是_________________

2，分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________

3，用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。

4，一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________

5，能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________

6，己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________

7，写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。

答____

8，一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？

若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？

9，一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？

练习参考答案

1.　1，2，3，4，6，12；　　　±1，±2，±3，±6，±9，±18

2.　22×3×52；　18　　　

3.　2×5；　22×53

4.　693　　　　　　　　　

5.　［3，5，11］＝165，1155；990　

6.　A＝3　　即求14－2与23－2的公约数

7.　30，60，90

8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15　

9. 119。

∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119

初一奥数专题解析：

构造一元一次方程解题

2009-07-0113:

45 来源：

互联网作者：

佚名[打印][评论]

【初一】构造一元一次方程解题

2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．

3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．

4．设（3x-1）7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．

6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．

8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

10．x，y，z均是非负实数，且满足：

x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，

求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．

11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．

19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？

说明理由．

20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：

6｜（p＋1）．

2．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以

原式=-b＋（a＋b）-（c-b）-（a-c）=b．

3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，

｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．

4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得

a0+a2＋a4＋a6=-8128．

5．②＋③整理得

x=-6y，④

④代入①得（k-5）y=0．

当k=5时，y有无穷多解，所以原方程组有无穷多组解；当k≠5时，y=0，代入②得（1-k）x=1＋k，因为x=-6y=0，所以1＋k=0，所以k=-1．

故k=5或k=-1时原方程组有解．

＜x≤3时，有2（x＋1）-（x-3）=6，所以x=1；当x＞3时，有

所以应舍去．

7．由｜x-y｜=2得

x-y=2，或x-y=-2，

所以

由前一个方程组得

｜2+y｜＋｜y｜=4．

当y＜-2时，-（y+2）-y=4，所以y=-3，x=-1；当-2≤y＜0时，（y＋1）-y=4，无解；当y≥0时，（2＋y）+y=4，所以y=1，x=3．

同理，可由后一个方程组解得

所以解为

解①得x≤-3；解②得

-3＜x＜-2或0＜x≤1；

解③得x＞1．

所以原不等式解为x＜-2或x＞0．9．令a＝99991111，则

于是

显然有a＞1，所以A-B＞0，即A＞B．

10．由已知可解出y和z

因为y，z为非负实数，所以有

u=3x-2y+4z

11.

所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4．

12．小柱的路线是由三条线段组成的折线（如图1－97所示）．

我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”（它是线段）．设甲村关于北山坡（将山坡看成一条直线）的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择（即路线最短）．

显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．

＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2（a十b＋c）=27，矛盾！

20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”（8-k）-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格（偶数个），经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．

21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1（k≥1），则p+2=3（2k＋1）不是质数，所以，p=6k＋5（k≥0）．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜（p＋1）．

初一奥数题急！

！

悬赏分：

5-解决时间：

2010-4-1017:

有个人在公路上散步，他看到每隔12分钟有一辆公交车从他后面开过来，而每隔4分钟有一辆公交车迎面开来，若车和人的车的速度都是均匀的，汽车总站每个多少分钟开一辆车出来？

？

问题补充：

要过程的

提问者：

willber_永恒爱-二级

最佳答案

6分钟

设人速度为a车速度为b汽车总站每x分钟开一辆车出来

则每相临的两个公交之间距离为bx

从身后来的车与人同向

两车距离bx=12*b-12*a

而迎面来的车与人相对，逆向

所以bx=4*b+4*a

两个式子相除得b=2a

带入第一个式子

2ax=24a-12a

2ax=12a

得到x=6

1、若2a=6b=3c,且ab+bc+ca=99,求2a^2+12b^2+9^2的值

2、已知a,b,c,d属于正实数,a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证：

a=b=c=d

3、已知14（a^2+b^2+c^2+d^2）=（a+2b+3c）^2,求a:

4、已知三角形ABC的三边a,b,c满足a^3+b^3+c^3=3abc,求证：

三角形ABC为等边三角形

1、若2a=6b=3c,且ab+bc+ca=99,求2a^2+12b^2+9^2的值

设2a=6b=3c=k

则a=k/2,b=k/6,c=k/3,代入ab+bc+ca=99,

得k^2=36*9

从而

2a^2+12b^2+9^2

=（36*9）（1/2+1/3）+81

=270+81

=351

2、已知a,b,c,d属于正实数,a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,

求证：

a=b=c=d

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd

=[a^4-2（ab）^2+b^4]+[c^4-2（cd）^2+d^4]+[2（ab）^2-4abcd+2（cd）^2]

=（a^2-b^2）^2+（c^2-d^2）^2+2（ab-cd）^2

a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd

a=b=c=d

3、已知14（a^2+b^2+c^2）=（a+2b+3c）^2,求a:

14（a^2+b^2+c^2）-（a+2b+3c）^2

=14（a^2+b^2+c^2）-（a^2+4b^2+9c^2+4ab+12bc+6ca）

=[4a^2-4ab+b^2]+[9b^2-12bc+4c^2]+[c^2-6ca+9a^2]

=（2a-b）^2+（3b-2c）^2+（c-3a）^2

b=2a,c=3a

c=1:

4、已知三角形ABC的三边a,b,c满足a^3+b^3+c^3=3abc,

求证：

三角形ABC为等边三角形

a^3+b^3+c^3-3abc

=（1/2）（a+b+c）[（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2]-----常考到,须记住!

因为a+b+c＞0

所以（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2=0

从而a=b=c

因此三角形ABC为等边三角形

初一奥数考什么啊？

30分

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奥数课本奥数班开学会考

回答：

4 浏览：

1699 提问时间：

2005-08-1413:

我现在学的是新课标，马上就要读初二了。

学校在初二开学就会考一次奥数，选择年级前50名，组成奥数班。

翻了许多奥数书，有的课本上没有学，所以，我不知道会考什么内容。

帮帮我！

谢谢！

！

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