湖南省师大附中届高三数学摸底考试试题 理 word版含答案.docx

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湖南省师大附中届高三数学摸底考试试题理word版含答案

2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试

数　学（理科）

时量：

120分钟　　　满分：

150分

得分：

______________

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足（2＋i）z＝2－i（i为虚数单位），则z等于

A．3＋4iB．3－4i

C.＋iD.－i

2．已知P＝{x|x2－5x＋4＜0}，Q＝，则P∩Q等于

A．（1，4）B．[2，4）

C．（1，2]D．（－∞，2]

3．已知两组样本数据{x1，x2，…，xn}、{y1，y2，…，ym}的平均数分别为h和k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为

A.B.

C.D.

4．已知{an}为等比数列，a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a4＋a7＋a10等于

A．－7B．－5C．5D．7

5．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）以及双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为

A．2或B.或

C．2或D.或

7．函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0≤φ≤π）图像向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值是

A．0B.C.D.

8．在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为

A．1－B．1－C．1－D．1－

9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为

A.B.C.D.

10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为

A.B.C．（6－2）πD.

11．已知函数f（x）＝F（x）＝f（x）－x－1，且函数F（x）有2个零点，则实数a的取值范围为

A．（－∞，0]B．（－∞，1）

C．[1，＋∞）D．（0，＋∞）

12．已知表示大于x的最小整数，例如＝4，＝－1，下列命题中正确的是

①函数f（x）＝－x的值域是；

②若{an}是等差数列，则也是等差数列；

③若{an}是等比数列，则也是等比数列；

④若x∈（1，2018），则方程－x＝有2017个根．

A．②④B．③④C．①③D．①④

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分

答案

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共5小题，每小题4分，共20分．

13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．（结果用最简分数表示）

14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：

“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？

答曰：

二千一百一十二．术曰：

周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：

圆堡壔（圆柱体）的体积V＝×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为________．（注：

一丈＝10尺）

15.（1＋x）6展开式中x2的系数为________．（结果用数字表示）

16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若＝x＋y，则x＋y的最大值是________．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分11分）

如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记∠BAD＝α，∠ADC＝β.

（1）求2cosα－cosβ的最大值；

（2）若BD＝1，cosβ＝，求△ABD的面积．

18.（本小题满分11分）

已知正项等比数列的公比为q，且a3＋a4＋a5＝，3a5是a3，a4的等差中项．数列满足b1＝1，数列的前n项和为2n2＋n.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式．

19.（本小题满分12分）

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）设Μ为ΑΒ中点，若＝.求证：

ΜΡ∥平面CΝΒ1；

（2）设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sinθ的值．

20.（本小题满分12分）

某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：

（1）恰好有两家餐饮店必须整改的概率；

（2）平均有多少家餐饮店必须整改；

（3）至少关闭一家餐饮店的概率．（精确到0.01）

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0），其焦点为F1，F2，离心率为，若点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l：

y＝kx＋m（k，m∈R）与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足：

·＝－，求实数m的取值范围．

22.（本小题满分12分）

设函数f（x）＝ln（x＋a）＋x2.

（1）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；

（2）若g（x）＝ex＋x2－f（x），当a≤2时，证明：

g（x）>0.

炎德·英才大联考湖南师大附中

2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试

数学（理科）参考答案

一、选择题

1．D　【解析】由（2＋i）z＝2－i，得z＝＝＝－i，故选D.

2．C　【解析】解x2－5x＋4＜0，即（x－1）（x－4）＜0，得1＜x＜4，故P＝（1，4）．Q表示函数y＝的定义域，所以4－2x≥0，所以x∈（－∞，2]，即Q＝（－∞，2]．故P∩Q＝（1，2]．故选C.

3．B　【解析】因为样本数据{x1，x2，…，xn}的平均数为h，{y1，y2，…，ym}的平均数为k，所以第一组数据和为nh，第二组数据和为mk，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为，故选B.

4．B　【解析】由等比数列的性质可得a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝－2，a7＝4或a7＝－2，a4＝4，因为a7＝a1q6>0，所以a4＝－2，a7＝4，a7＝a4q3＝－2q3＝4，所以q3＝－2，所以a1＝＝1，a10＝a7q3＝－8，所以a1＋a4＋a7＋a10＝－5，故选B.

5．B　【解析】将展开图还原为几何体（如图），因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.

6．A　【解析】由题意可知，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k＝，∴k＝或，则e＝，∴e＝＝＝＝2或.

7．D　【解析】f（x）＝sin（2x＋φ）（0≤φ≤π）图像向右平移个单位后得到的函数是g（x）＝sin，又g（0）＝sin＝±1，得φ－＝kπ＋（k∈Z），∴φ＝kπ＋（k∈Z），故选D.

8．A　【解析】满足条件的正三角形ABC如图所示：

设边长为2，其中正三角形ABC的面积S△ABC＝×4＝.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影＝π，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离大于1的概率P＝1－，故选A.

9．D　【解析】设四棱锥为P－ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝PB＝PC＝PD＝1的外接球的半径为R，过P作PO1⊥底面ABCD，垂足O1为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，设球心为O，连接AO，由于AO＝PO＝R，AO1＝PO1＝，OO1＝－R，在Rt△AOO1中，＋＝R2，解得R＝，V球＝πR3＝π＝.

10．A　【解析】设直线l：

2x＋y－4＝0.因为|OC|＝|AB|＝d1，其中d1为点C到直线l的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，l为准线的抛物线．圆C半径最小值为d2＝×＝，其中d2为点O到直线l的距离，圆C面积的最小值为π＝.故选A.

11．B　【解析】因为F（x）＝f（x）－x－1，且函数F（x）有2个零点，即f（x）－x－1＝0有2个实数根，所以当x≤0时，令ex－x－1＝0，解得x＝0，此时只有一个实数根，当x＞0时，令f（x）－x－1＝0，即x2＋（a－1）x＝0，即x[x－（1－a）]＝0，此时解得x＝1－a，要使得函数F（x）有2个零点，则1－a＞0，所以a＜1，故选B.

12．D　【解析】当x∈Z时，＝x＋1，f（x）＝－x＝x＋1－x＝1；当xZ时，令x＝n＋a，n∈Z，a∈（0，1），则＝n＋1，f（x）＝－x＝1－a∈（0，1），因此f（x）＝－x的值域是；0.9，1，1.1是等差数列，但＝1，＝2，＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但＝1，＝2，＝3不成等比数列；由前分析可得当x∈Z时，f（x）＝1；当xZ，x＝n＋a，n∈Z，a∈（0，1）时，f（x）＝1－a＝1－（x－n）＝n＋1－x，所以f（x＋1）＝f（x），即f（x）＝－x是周期为1的函数，由于x∈（1，2）时f（x）＝2－x＝，x＝，即一个周期内有一个根，所以若x∈（1，2018），则方程－x＝有2017个根．①④正确，故选D.

二、填空题

13.　【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为＝.

14．3　【解析】圆柱体体积公式V＝πr2h，而由题意有V＝×（2πr）2×h，所以π＝3.

15．30　【解析】因为（1＋x）6＝1·（1＋x）6＋·（1＋x）6，则（1＋x）6展开式中含x2的项为1·Cx2＝15x2，·（1＋x）6展开式中含x2的项为·Cx4＝15x2，故x2的系数为15＋15＝30.

16．5　【解析】令正三角形边长为3，则＝（1，0），＝，设直线AB与OC的交点为点D，若＝x＋y，则x＋y＝1.又由线性规划知识知当P在C点时，x＋y有最大值，此时＝5，故x＋y的最大值是5.

三、解答题

17．【解析】

（1）由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，

0≤α≤，故2cosα－cosβ＝2cosα－cos＝sin，

故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值.5分

（2）由cosβ＝，得sinβ＝，

故sinα＝sin＝sinβcos－cosβsin＝，7分

由正弦定理＝，

故AB＝BD＝×1＝，9分

故S△ABD＝AB·BD·sinB＝××1×＝.11分

18．【解析】

（1）依题意，a3＋a4＋a5＝，6a5＝a3＋a4，则a5＝，a3＋a4＝，得＋＝，

即6q2－q－1＝0，解得q＝或q