非线性迭代概论.docx
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非线性迭代概论
数学实验与数学建模
实验报告
学院：
理学院
班级：
数学师范132
学号：
1302012055
姓名：
张倩
实验名称：
非线性迭代
指导教师：
刘晓惠
填写日期：
2014年12月
一、实验背景与实验目的
迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。
蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。
本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。
二、实验计划
1.迭代序列与不动点
（1）实验程序
给定实数域上光滑的实值函数以及初值，定义数列
，（2.2.1）
称为的一个迭代序列。
函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数的不动点。
对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。
运行下列Mathematica程序：
Clear[f]
f[x_]:
=（25*x-85）/（x+3）;（实验时需改变函数）
Solve[f[x]==x,x]（求出函数的不动点）
g1=Plot[f[x],{x,-10,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],
DisplayFunction->Identity];
g2=Plot[x,{x,-10,10},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],
DisplayFunction->Identity];
x0=5.5;r={};
r0=Graphics[{RGBColor[0,0,1],
Line[{{x0,0},{x0,x0}}]}];
For[i=1,i<=100,i++,
r=Append[r,Graphics[{RGBColor[0,0,1],
Line[{{x0,x0},
{x0,f[x0]},{f[x0],f[x0]}}]
}]];
x0=f[x0]
];
Show[g1,g2,r,r0,PlotRange->{-1,20},（PlotRange控制图形上下范围）
DisplayFunction->$DisplayFunction]
x[0]=x0;
x[i_]:
=f[x[i-1]];（定义序列）
t=Table[x[i],{i,1,10}]//N
ListPlot[t]（散点图）
观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？
如果只需迭代次产生相应的序列，用下列Mathematica程序：
Iterate[f_,x0_,n_Integer]:
=
Module[{t={},temp=x0},AppendTo[t,temp];
For[i=1,i<=n,i++,temp=f[temp];
AppendTo[t,temp]];
t
]
f[x_]:
=（x+2/x）/2;
Iterate[f,0.7,10]
（2）实验思路
首先对函数研究不动点，需要
（1）对Plot中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}；对PlotRange中{-1,20}可改为{-50,50}；
（2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5，4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30；
（3）对t=Table[x[i],{i,1,10}]//N中10分别改为100，200，500，1000；
（4）对i<=100中100分别改为200，500，1000。
运行程序后观察蛛网图与散点图！
一看数列是否收敛？
如收敛，极限是多少？
收敛速度是快是慢？
二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？
与平衡点处曲线的斜率有没有关系？
三看初值对结果有没有影响？
其次，分别就，等函数利用（2.2.1）做迭代序列，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。
2.Logistic映射与混沌
（1）实验程序
从形如的二次函数开始做迭代
（2.2.2）
这里，是一个参数。
对不同的系统地观察迭代（2.2.2）的行为。
Mathematica程序：
IterGeo[a_,x0_]:
=
Module[
{p1,p2,i,pointlist={},v=x0,fv=a*x0*（1-x0）},
p1=Plot[{a*x*（1-x）,x},{x,0,1},DisplayFunction->Identity];
AppendTo[pointlist,{x0,0}];
For[i=1,i<20,i++,AppendTo[pointlist,{v,fv}];
AppendTo[pointlist,{fv,fv}];
v=fv;fv=4*v*（1-v）];
p2=ListPlot[pointlist,PlotJoined->True,
DisplayFunction->Identity];
Show[{p1,p2},DisplayFunction->$DisplayFunction]
]
IterGeo[2.6,0.3]
将区间（0，4］以某个步长离散化，对每个离散的值做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代值，而把点，，…，显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum图。
Mathematica程序：
Clear[f,a,x];f[a_,x_]:
=a*x*（1-x）;
x0=0.5;r={};
Do[
For[i=1,i<=300,i++,
x0=f[a,x0];
If[i>100,r=Append[r,{a,x0}]]
],
{a,3.0,4.0,0.01}];
ListPlot[r]
从极限分支点之后，Feigenbaum图显得很杂乱，似乎没有任何规律。
实际上，对任何初始值做迭代都会得到同样的结果。
这就是所谓的混沌现象。
迄今为止，混沌并没有确切的数学定义，但它具有一些基本的特性，如对初值的敏感性以及某种无序性，由此产生类似于随机的现象。
所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。
这是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。
在Logistic映射中，取，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l，运行下列程序，观察结果后回答问题：
在迭代过程中它们逐渐分开吗？
如果两个初值之间的差的绝对值不超过0.01，0.001，结果会如何？
由此得出，函数的迭代对初值是否敏感？
其Mathematica程序：
Sensitivity[n_Integer,x01_,x02_]:
=
Module[
{pilist={},i,temp1=x01,temp2=x02},
For[i=1,i<=n,i++,temp1=4*temp1*（1-temp1）;
temp2=4*temp2*（1-temp2）;
AppendTo[pilist,{i,temp2-temp1}];
];
ListPlot[pilist,PlotJoined->True]
]
Sensitivity[50,0.1,0.1001]
一个简单的、确定的二次选代可以产生非常复杂的、看似随机的行为。
但是，混沌不等于随机。
实际上，在混沌区域之内，蕴涵着许多有序的规律。
这正验证了哲学上的名言：
有序中包含了无序，无序中包含着有序。
其Mathematica程序：
distrib[n_Integer,m_Integer,x0_]:
=
Module[{i,temp=x0,g1,f,k,c=Table[0,{i,m}]},For[i=1,in,i++,temp=4*temp*（1-temp）;
If[temp1,c[[m]]++,c[[Floor[temp*m]+1]]++]];
f[k_]:
=Graphics[{GrayLevel[0.5],Rectangle[{k-0.5,0},{k+0.5,c[[k]]}]}];
g1=Table[f[k],{k,1,m}];Show[g1,AxesTrue,PlotLabel->"x0=0.4"];]
n=100;m=20;x0=0.4;distrib[n,m,x0]
另一个说明混沌不是随机的事实是，混沌区域有许多有序的窗口。
将这些窗口放大可以看到令人振奋的自相似现象，同时还有许多周期轨道。
在Feigenbaum图的右部，你应当能看到一个由三条曲线穿过的空白带，它是一个“周期为3的窗口”。
你能找到其它窗口吗？
它们的周期是什么？
窗口里有什么图案？
这些窗口跟上题的第二问中的周期轨道有什么关系？
运行下列程序，听一听混沌的声音
PlayChaos[n_Integer,x0_]:
=
Module[
{t={},i,temp=x0},
For[i=1,i<=n,i++,temp=4*temp*（1-temp）;
AppendTo[t,Floor[temp*100]]];
ListPlay[t,PlayRange->{0,100},SampleRate->5]
（2）实验思路
就Logistic映射，对a=0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x0=0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果。
观察结果就是看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与a的关系！
对a的定义范围[0，4]分成若干个区间，就初值（属于（0，1）时）看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？
可用散点图认识。
对Logistic映射讨论下列问题：
1）找出一个值，它对应的迭代具有2周期点。
这种性质依赖于初值吗？
你能找到多个值具有这种性质吗？
2）你能对任意的找到一个值，使得它对应的迭代具有周期点吗？
哪些值能给出周期点？
在每种情况下，结果是否依赖于初值的选取？
3）如果某个值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？
你能否找到排斥的周期点？
4）试着从理论上分析：
的不动点是什么？
对哪些值迭代收敛到每个不动点？
哪些初值收敛到不动点？
哪些初值导致发散？
对周期点做类似的分析。
研究锯齿函数和帐篷函数的混沌行为时，分别取x0=0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序（改变函数，要修改函数的定义方式），研究数列及蛛网图中的轨道。
3.方程求根
（1）实验程序
对于代数方程g（x）=0，其根可用下列程序求得
Solve[g（x）==0,x]
也可用下列程序求得
g[x_]:
=expr
Plot[g[x],{x,a,b}]
FindRoot[g（x）==0,{x,x0}]
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