电磁场与电磁波谢处方-课后答案.doc
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电磁场与电磁波(第四版)谢处方课后答案
第一章习题解答
给定三个矢量、和如下:
求:
(1);
(2);(3);(4);(5)在上的分量;(6);
(7)和;(8)和。
解
(1)
(2)
(3)-11
(4)由,得
(5)在上的分量
(6)
(7)由于
所以
(8)
三角形的三个顶点为、和。
(1)判断是否为一直角三角形;
(2)求三角形的面积。
解
(1)三个顶点、和的位置矢量分别为
,,
则,,
由此可见
故为一直角三角形。
(2)三角形的面积
求点到点的距离矢量及的方向。
解,,
则
且与、、轴的夹角分别为
给定两矢量和,求它们之间的夹角和在上的分量。
解与之间的夹角为
在上的分量为
给定两矢量和,求在上的分量。
解
所以在上的分量为
证明:
如果和,则;
解由,则有,即
由于,于是得到
故
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。
设为一已知矢量,而,和已知,试求。
解由,有
故得
在圆柱坐标中,一点的位置由定出,求该点在:
(1)直角坐标中的坐标;
(2)球坐标中的坐标。
解
(1)在直角坐标系中、、
故该点的直角坐标为。
(2)在球坐标系中、、
故该点的球坐标为
用球坐标表示的场,
(1)求在直角坐标中点处的和;
(2)求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。
解
(1)在直角坐标中点处,,故
(2)在直角坐标中点处,,所以
故与构成的夹角为
球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。
证明和间夹角的余弦为
解由
得到
一球面的半径为,球心在原点上,计算:
的值。
解
在由、和围成的圆柱形区域,对矢量验证散度定理。
解在圆柱坐标系中
所以
又
故有
求
(1)矢量的散度;
(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分;(3)求对此立方体表面的积分,验证散度定理。
解
(1)
(2)对中心在原点的一个单位立方体的积分为
(3)对此立方体表面的积分
故有
计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分,并求对球体积的积分。
解
又在球坐标系中,,所以
求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与轴和轴相重合。
再求对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。
解
又
所以
故有
求矢量沿圆周的线积分,再计算对此圆面积的积分。
解
证明:
(1);
(2);(3)。
其中,为一常矢量。
解
(1)
(2)
(3)设,则,故
一径向矢量场表示,如果,那么函数会有什么特点呢?
解在圆柱坐标系中,由
可得到
为任意常数。
在球坐标系中,由
可得到
给定矢量函数,试求从点到点的线积分:
(1)沿抛物线;
(2)沿连接该两点的直线。
这个是保守场吗?
解
(1)
(2)连接点到点直线方程为
即
故
由此可见积分与路径无关,故是保守场。
求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量定出;求点的方向导数值。
解
题图
故沿方向的方向导数为
点处沿的方向导数值为
试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式
。
解在圆柱坐标中,取小体积元如题图所示。
矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为
同理
因此,矢量场穿出该六面体的表面的通量为
故得到圆柱坐标下的散度表达式
方程给出一椭球族。
求椭球表面上任意点的单位法向矢量。
解由于
故椭球表面上任意点的单位法向矢量为
现有三个矢量、、为
(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?
哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?
(2)求出这些矢量的源分布。
解
(1)在球坐标系中
故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示;
在圆柱坐标系中
故矢量可以由一个标量函数的梯度表示;
直角在坐标系中
故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。
(2)这些矢量的源分布为
,;
,;
,
利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
证明
解根据算子的微分运算性质,有
式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。
由,可得
同理
故有
利用直角坐标,证明
解在直角坐标中
所以
利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及,试证明之。
解
(1)对于任意闭合曲线为边界的任意曲面,由斯托克斯定理有
题图
由于曲面是任意的,故有
(2)对于任意闭合曲面为边界的体积,由散度定理有
其中和如题图所示。
由斯托克斯定理,有
,
由题图可知和是方向相反的同一回路,则有
所以得到
由于体积是任意的,故有
?
第二章习题解答
一个平行板真空二极管内的电荷体密度为,式中阴极板位于,阳极板位于,极间电压为。
如果、、横截面,求:
(1)和区域内的总电荷量;
(2)和区域内的总电荷量。
解
(1)
(2)
一个体密度为的质子束,通过的电压加速后形成等速的质子束,质子束内的电荷均匀分布,束直径为,束外没有电荷分布,试求电流密度和电流。
解质子的质量、电量。
由
得
故
一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷,球体以匀角速度绕一个直径旋转,求球内的电流密度。
解以球心为坐标原点,转轴(一直径)为轴。
设球内任一点的位置矢量为,且与轴的夹角为,则点的线速度为
球内的电荷体密度为
故
一个半径为的导体球带总电荷量为,同样以匀角速度绕一个直径旋转,求球表面的面电流密度。
解以球心为坐标原点,转轴(一直径)为轴。
设球面上任一点的位置矢量为,且与轴的夹角为,则点的线速度为
球面的上电荷面密度为
故
两点电荷位于轴上处,位于轴上处,求处的电场强度。
解电荷在处产生的电场为
电荷在处产生的电场为
故处的电场为
一个半圆环上均匀分布线电荷,求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度,设半圆环的半径也为,如题图所示。
解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为
题图
在半圆环上对上式积分,得到轴线上处的电场强度为
三根长度均为,均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。
设,计算三角形中心处的电场强度。
解建立题图所示的坐标系。
三角形中心到各边的距离为
题图
则
故等边三角形中心处的电场强度为
-点电荷位于处,另-点电荷位于处,空间有没有电场强度的点?
解电荷在处产生的电场为
电荷在处产生的电场为
处的电场则为。
令,则有
由上式两端对应分量相等,可得到
①
②
③
当或时,将式②或式③代入式①,得。
所以,当或时无解;
当且时,由式①,有
解得
但不合题意,故仅在处电场强度。
2.9一个很薄的无限大导电带电面,电荷面密度为。
证明:
垂直于平面的轴上处的电场强度中,有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。
解半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为
题图
故整个导电带电面在轴上处的电场强度为
而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为
一个半径为的导体球带电荷量为,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转,如题图所示。
求球心处的磁感应强度。
解球面上的电荷面密度为
当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,球面上位置矢量点处的电流面密度为
将球面划分为无数个宽度为的细圆环,则球面上任一个宽度为细圆环的电流为
细圆环的半径为,圆环平面到球心的距离,利用电流圆环的轴线上的磁场公式,则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
故整个球面电流在球心处产生的磁场为
两个半径为、同轴的相同线圈,各有匝,相互隔开距离为,如题图所示。
电流以相同的方向流过这两个线圈。
(1)求这两个线圈中心点处的磁感应强度;
(2)证明:
在中点处等于零;
(3)求出与之间的关系,使中点处也等于零。
解
(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度
得到两个线圈中心点处的磁感应强度为
(2)两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为
题图
所以
故在中点处,有
(3)
令,有
即
故解得
题图
一条扁平的直导体带,宽为,中心线与轴重合,通过的电流为。
证明在第一象限内的磁感应强度为,式中、和如题图所示。
解将导体带划分