江苏常州市届高三数学上学期期末试题理科有答案.docx

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江苏常州市届高三数学上学期期末试题理科有答案

江苏常州市2018届高三数学上学期期末试题（理科有答案）

常州市教育学会学业水平监测

高三数学Ⅰ试题

参考公式：

圆锥的体积公式：

，其中是圆锥的底面积，是高.

样本数据，，，的方差，其中.

一、选择题：

本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.若集合，，则集合▲.

2命题“，”是▲命题（选填“真”或“假”）.

3.若复数满足（其中为虚数单位），则▲.

4.若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为

5.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是▲.

6.函数的定义域记作集合，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数，，，），记骰子向上的点数为，则事件“”的概率为▲.

7.已知圆锥的高为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是，则该圆台的高为▲.

8.各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为▲.

9.在平面直角坐标系中，设直线：

与双曲线：

的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是▲.

10.已知实数，满足则的取值范围是▲.

11.已知函数，其中，若过原点且斜率为的直线与曲线相切，则的值为▲.

12.如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与轴的交点，，满足，则▲.

13.在中，，，，为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为▲．

14.已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知中，，，分别为三个内角，，的对边，，

（1）求角；

（2）若，求的值.

16.如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，点是棱上异于、的一点.

（1）求证：

；

（2）过点和的平面截四棱锥得到截面（点在棱上），求证：

.

17.已知小明（如图中所示）身高米，路灯高米，，均垂直于水平地面，分别与地面交于点，.点光源从发出，小明在地上的影子记作.

（1）小明沿着圆心为，半径为米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；

（2）若米，小明从出发，以米/秒的速度沿线段走到，，且米.秒时，小明在地面上的影子长度记为（单位:

米），求的表达式与最小值.

18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：

的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（在第三象限），与椭圆的右准线交于点.已知，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，求椭圆的标准方程.

19.已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数），.数列满足.

（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；

（2）若无穷等比数列满足：

对任意的，数列中总存在两个不同的项，使得，求的公比.

20.已知函数，其中为常数.

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若，设函数在上的极值点为，求证：

.

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数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A、B、C、D四小题只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：

几何证明选讲

在中，是边上一点，且，与的外接圆相切，求的值.

B.选修4-2：

矩阵与变换

已知矩阵不存在逆矩阵，求：

（1）实数的值；

（2）矩阵的特征向量.

C.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点，求的长.

D.选修4-5：

不等式选讲

已知，，求证:

.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：

若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；

若这两条棱所在的直线平行，则；

若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）.

（1）求的值；

（2）求随机变量的分布列及数学期望.

23.记（且）的展开式中含项的系数为，含项的系数为.

（1）求；

（2）若，对成立，求实数的值；

（3）对

（2）中的实数用数字归纳法证明：

对任意且，都成立.

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高三数学参考答案

一、填空题

1.2.真3.

4.5.6.

7.8.9.

10.11.12.

13.14.

二、解答题

15.解：

（1）由正弦定理得，

中，，所以，所以，，

，所以；

（2）因为，由正弦定理得，

所以，.

16.

（1）证明：

平面，平面，所以，记，交于点，平行四边形对角线互相平分，则为的中点，又中，，

所以，

又，，平面，所以平面，又平面

所以；

（2）四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，

又平面，平面平面，所以，又，所以.

17.解：

（1）由题意，则，，所以，

小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为（平方米）；

（2）经过秒，小明走到了处，身影为，由

（1）知，所以

.

化简得，，，当时，的最小值为.

答：

，，当（秒）时，的最小值为（米）.

18.解：

（1）由题意，消去得，解得，

所以，，，所以；

（2）由

（1），右准线方程为，

直线的方程为，所以，

，

所以，，所以，

椭圆的标准方程为.

19.解：

（1）方法一：

因为①，

所以②，

由②-①得，，

即，又，

则，即.

在中令得，，即.

综上，对任意，都有，

故数列是以为公差的等差数列.

又，则.

方法二：

因为，所以，又，

则数列是以为首项，为公差的等差数列，

因此，即.

当时，，又也符合上式，

故.

故对任意，都有，即数列是以为公差的等差数列.

（2）令，则数列是递减数列，所以.

考察函数，因为，所以在上递增，因此，从而.

因为对任意，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显.

若，当时，

有，不符合题意，舍去；

若，当时，

有，不符合题意，舍去；

故.

20.解：

（1）当时，，定义域为，

，令，得.

极大值

当时，的极大值为，无极小值.

（2），由题意对恒成立.

，，

对恒成立，

对恒成立.

令，，则，

①若，即，则对恒成立，

在上单调递减，

则，，与矛盾，舍去；

②若，即，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，

.综上.

（3）当时，，，

令，，

则，令，得，

①当时，，单调递减，，

恒成立，单调递减，且.

②当时，，单调递增，

又，

存在唯一，使得，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，且，

由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，

当时，取极大值.

，，

，

又，，.

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高三数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.A.解：

记外接圆为，、分别是圆的切线和割线，所以，

又，所以与相似，所以，所以

，.

B.解：

（1）由题意，即，解得；

（2），即，所以，解得，

时，，，属于的一个特征向量为；

时，，，属于的一个特征向量为.

C.解：

曲线：

，直线：

，圆心到直线的距离为，所以弦长.

D.证明：

，，不妨设，则，，由排序不等式得，

所以.

22.解：

根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到，为等腰直角三角形，的可能取值为：

，，，共种情况，其中：

时，有种；时，有种；时，有种；

（1）；

（2），，

根据

（1）的结论，随机变量的分布列如下表：

根据上表，.

23.解：

（1）.

（2），，，

则解得，，，

（3）①当时，由

（2）知等式成立；

②假设（，且）时，等式成立，即；

当时，由

知，

所以，

又，等式也成立；

综上可得，对任意且，都有成立.