管理运筹学自学指导大纲.docx
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管理运筹学自学指导大纲
管理运筹学自学指导大纲
1.课程性质
本课程为交通运输学院本、专科生的基础课。
学生通过学习该课程，应了解管理运筹学对优化决策问题进行定量研究的特点，理解线性规划、整数规划、动态规划、图与网络、排队论等分支的基本优化原理，掌握其中常用的模型和算法，具有一定的建模能力。
先修课程主要为线性代数和概率统计，学生对它们的掌握程度直接影响本课程的学习，所以要求学生课前要做必要的复习。
2主要内容
2.1线性规划
2.1.1线性规划的基本概念
（1）线性规划的含义、标准型、松弛变量、多余变量、自由变量
（2）可行解、基、基解、基可行解、可行基、最优解
（3）凸集、凸组合
2.1.2线性规划的图解法
（1）可行域的确定
（2）目标函数值的变化
（3）解的几种情况
2.1.3线性规划的单纯形法
（1）单纯形法的步骤
（2）解的判断方法（解唯一性、多重解、无界解及无解的判断定理）
（3）大M法和两阶段法（增加人工变量的目的？
）
2.1.4单纯形法的矩阵表示
（1）
、
、
各符号的含义、解的最优性判断方法
（2）给定部分单纯形表可以计算其他参数
利用
（1）中的表达式可以计算参数值
2.1.5对偶问题及对偶理论
（1）对偶问题的含义
（2）原问题和对偶问题的转化方法
（3）对偶问题的基本性质
对称性、弱对偶形（
）、无界性（无界则对偶无可行）、可行解是最优解的性质（
，均为最优解）、对偶定理（有最优解，则……）、互补松弛性（
和
）、检验数和解的关系
2.1.6影子价格
（1）影子价格的含义
（2）利用
对影子价格计算
（3）对影子价格的影响因素，分析参数变化时影子价格对应的变化
2.1.7对偶单纯形法
（1）对偶单纯形法的思想
（2）对偶单纯形法的步骤
解不可行（单纯形表最优，对偶问题解可行）、换出变量的确定
、换入变量的确定
（3）对偶单纯形法的一个应用
增加一个约束条件
2.1.8灵敏度分析
（1）灵敏度分析的含义和分析的目的
（2）资源数量的灵敏度分析
即
（3）目标函数系数的灵敏度分析
a.非基变量系数
；
b.基变量系数
（4）技术系数的变化
a新增加一种产品
原始消耗系数、单纯形表中的消耗系数（
）、检验数（判断是否有利）
b.产品结构进行调整
原始消耗系数、用
代替原消耗系数、判断解的性质（原问题和对偶问题均为非可行解时增加人工变量）
2.1.9作业
1.1
（1）
（2）;1.2
（1）;1.3
（1）;1.4
（1）;1.6
（2）;1.7
2.3
（1）
（2）;2.4;2.6;2.7;2.8
2.2运输问题
2.2.1运输问题的概念
模型、基变量的个数、m+n个变量是基变量的条件、运输问题和线性规划问题的关系
2.2.2运输问题的求解
（1）初始解的求法：
西北角法、最小元素法、伏格尔法
（2）解的检验：
闭回路法、位势法（引进m+n个参数，对于基变量
，其它变量
）
（3）解的改进——闭回路调整法
调整量的确定：
闭回路上偶数点变量取值的最小值，取最小值的变量为换出变量（多个取任意一个）
调整方法：
奇数点上加调整量，偶数点上减调整量
（4）解的退化和无穷多最优解
基变量取值为0；非基变量的检验数为0
2.2.3产销不平衡的运输问题
产大于销：
增加虚销点，相应的运费为0；
销大于产：
增加需产点，相应的运费为0。
其它情况：
不能调运时费用为无穷大
2.2.4作业
3.1;3.2;3.3
（1）;3.6
2.3整数规划
2.3.1整数规划的概念
整数规划、全整数规划、混合整数规划、0-1规划、整数规划与线性规划的关系
2.3.2整数规划的求解方法
（1）图解法
（2）分枝定界法
分枝定界法的思想、分枝（对任何一个不满足整数条件的变量分枝）、定界；若目标求最大值，先对目标函数大的枝求解）；
（3）割平面法
割平面法的思想、建立割平面方程
2.3.30-1规划
（1）一般0-1规划问题：
隐梅举法
（2）指派问题：
匈牙利算法
（3）非标准指派问题：
最大值问题、任务数和人数不匹配问题等
2.3.4规划问题的建模
规划模型：
决策变量、目标函数、约束方程
根据自己的想法，对变量的含义、约束方程的含义最好解释
2.3.5作业
5.2;5.3;5.7
2.4动态规划
2.4.1基本要求
动态规划基本概念、最优化原理和基本方程，通过资源分配和生产与存储等问题,学习应用动态规划解决多阶段决策问题。
2.4.1.1理解和记忆的内容
阶段
状态（状态变量）
决策变量（允许决策集合）
状态转移方程
指标函数（阶段指标函数、后部子过程）
动态规划的基本思想
2.4.1.2．掌握和灵活应用的内容
动态规划问题的逆序解法
实际问题转化为动态规划问题
2.4.2重点、难点
重点：
掌握动态规划模型结构、逆序法算法原理、资源分配、设备更新、生产于存贮等问题。
难点：
动态规划中状态变量等的确定
2.4.3内容辅导
2.4.3.1动态规划的基本理论
（1）阶段、阶段变量
把所给问题，适当地分为若干个相互联系的阶段；阶段的划分，一般是按时间和空间的自然特征来划分；但要便于把问题的过程能转化为多阶段决策的过程。
（2）状态、状态变量
每个阶段开始所处的自然状态或客观条件。
通常一个阶段有若干个状态。
描述过程状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态。
状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此集合称为状态允许集合。
（3）决策、决策变量
过程的某一阶段、某个状态，可以做出不同的决定（选择），决定下一阶段的状态，这种决定称为决策。
描述决策的变量，称为决策变量。
决策变量是状态变量的函数，常用uk（sk）表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。
在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内，此范围称为允许决策集合。
常用Dk（sk）表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合，显然有uk（sk）
Dk（sk）
（4）状态转移方程
多阶段决策过程可以在各个阶段进行决策，去控制过程发展的多段过程；其发展是通过一系列的状态转移来实现的；
系统在某一阶段的状态转移不但与系统的当前的状态和决策有关，而且还与系统过去的历史状态和决策有关。
其状态转移方程如下（一般形式）
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段决策过程。
（5）策略
策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。
由过程的第k阶段开始到终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程（或称为k子过程）。
由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列称为k子过程策略，简称子策略，
记为
，即
当k=1时，此决策函数序列成为全过程的一个策略，简称策略，记为
即
在实际问题中，可供选择的策略有一定范围，此范围称为允许策略集合，用p表示。
从允许策略集合中找出达到最优效果的策略称为最优策略。
（6）函数和最优值函数
用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，称为指标函数，它是定义在全过程或所有后部子过程上确定的数量函数。
Vk,n表示之。
即
动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系。
即Vk,n可以表示为sk,uk,Vk+1,n的函数。
常见的指标函数的形式是：
•过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标和。
即
其中vj（sj,uj）表示第j阶段的阶段指标。
这时上式可写成
过程和它的任意子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积。
即
则可改写成
最优值函数：
表示从第k阶段的状态sk开始到第n阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的指标函数值。
即
（7）多阶段决策过程的数学模型
具有无后效性的多阶段决策过程
所谓求解多阶段决策过程问题，就是要求出
最优策略，即最优决策序列
最优轨线，即执行最优策略时的状态序列
最优目标函数值
2.4.3.2动态规划的应用
资源分配问题
（1）理论部分
uk:
分配给生产第k种产品的原料数量，即uk=xk；
sk:
分配给用于生产第k种至第n种产品的原料数量；
状态转移方程：
sk+1=sk-uk=sk-xk
决策集合：
Dk（sk）={uk|0uk=xksk}
最优值函数fk（sk）:
数量为sk的原料分配给第k种产品至第n种产品所得到的最大总收益，动态规划的递推关系为：
（2）计算部分
将具体数据代入上述理论部分，可以得到优化方案
生产与存贮问题
（1）理论部分
（2）计算部分
3.1.4作业
8.1、9.1、9.2、9.9
2.5图与网络分析
2.5.1基本要求
了解图的基本概念，掌握最小支撑树、最短路径、最大流以及最小费用最大流的算法。
2.5.1.1理解和记忆的内容
图、点集、边集、有向图、无向图；
相邻、相关、简单图、多重图、偶点、奇点、链、路、简单链、初等链、回路；
树、支撑树、割集、网络；
邻接矩阵、关联矩阵；
图的同构；
2.5.2.2掌握和灵活应用的内容
掌握最小支撑树
最短路径的算法
最大流的算法
最小费用最大流的算法
2.5.2重点、难点
重点：
网络优化问题，即最短路径的算法、最大流的算法、最小费用最大流的算法。
难点：
各种算法的思想及算法的实现
2.5.3内容辅导
2.5.3.1图的基本概念
图、边、有向图、无向图、端点、相邻、多重边、简单图、多重图、点的次、悬挂点、悬挂边、孤立点、奇点、偶点、链、初等链、路
概念参见教材及任何图论书籍
2.5.3.2树及支撑树
（1）定义：
无圈的连通图称为树。
树一般用T表示。
（2）图的支撑树:
设图T=[V，E’]是图G=（V，E）的支撑子图，如果T是一个树，则称T是G的一个支撑树。
图的支撑树的生成方法：
破圈法和避圈法
（3）最小支撑树
设有连通图G=（V，E），G的任一边ek=[vi，vj]，有一个非负权w（ek）=wij（wij≥0）,T=（V，E’）是G的一个支撑树，称
为树T的权。
如果支撑树T*的权w（T*）是G的所有支撑树的权中最小的，则称T*是G的最小支撑树（简称最小树）。
即
最小支撑树问题，即求网络G的最小支撑树。
（4）最小支撑树的生成方法
避圈法：
在图中取一条最小权的边，以后每一步中，总从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（每一步中，如果有两条或两条以上的边都是最小权的边，则从中任选一条）。
破圈法：
任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边（如果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉其中一条）。
在余下的图中，重复这个步骤，直到得到一个不含圈的图为止，这时的图便是最小树。
2.5.3.3最短路经
（1）定义
给定有向网络D=（V，A，W），任意弧aij∈A，有权w（aij）=wij，给定D中的两个顶点vs，vt。
设P是D中从vs到vt的一条路，定义路P的权（长度）是P中所有弧的权之和，记为w（P）。
最短路问题就是要在所有从vs到vt的路中，求一条路P0，使
称P0是从vs到vt的最短路。
路P0的权称为从vs到vt的路长。
（2）最短路算法
Dijkstra算法，算法思想：
将D=（V，A，W）中vs到所有其它顶点的最短路按其路长从小到大排列为：
u0≤u1≤u2≤…≤un
u0表示vs到自身的长度，相应最短路记为：
P0，P1，P2，…，Pn，P1一定只有一条弧。
取最小值的点为v1，∴P1=P（vs，v1）。
假定u0，u1，…，uk的值已求出，对应的最短路分别为P1=P（vs，v1），P2=P（vs，v2），…，Pk=P（vs，vk），记
则
使上式达到最小值的点v’可取为vk+1。
计算过程中可采用标号方法。
Xk中的点，ui值是vs到vi的最短路长度，相应的点记“永久”标号；
XK中的点，ui值是vs到vi的最短路长度的上界，相应的点记“临时”标号，供进一步计算使用。
前点标号i:
表示点vs到vj的最短路上vj的前一点。
如i=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
2.5.3.4最大流
（1）基本概念及定理
（2）
给定一个有向图D=（V，A），在V中指定一点vs称为发点，指定另一点vt称为收点，其余点称中间点。
任意弧（vi，vj）∈A，有cij≥0，称为弧的容量。
称D为一个容量网络。
记为D=（V，A，C）。
流:
定义在弧集A上的一个函数f={f（vi,vj）}，并称f（vi,vj）为弧（vi,vj）上的流量。
简记f={fi,j}。
满足下述条件的流f称为可行流:
容量限制条件:
对每一弧（vi,vj）∈A
0≤fij≤cij
平衡条件:
对中间点vi（i≠s,t）,有
V（f）称为可行流f的流量,即发点的净输出量。
对可行流f={fij}：
如果
fijfij>0为非零流弧；
链的方向：
若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的方向是从vs到vt。
前向弧：
弧的方向与链的方向一致，记为µ+。
后向弧：
弧的方向与链的方向相反，记为µ-。
设f是一个可行流,µ是从vs到vt的一条链,若µ满足下列条件,称之为（关于可行流f的）一条增广链。
（vi,vj）∈µ+0≤fij（vi,vj）∈µ-0网络D=（V,A,C）,若点集V被剖分为两个非空集合V1和V1,使vs∈V1，vt∈V1，则把弧集（V1，V1）称为是分离vs和vt的截集。
给一截集（V1，V1），把截集（V1，V1）中所有弧的容量之和称为这个截集的容量（简称为截量），记为C（V1，V1），即
定理1可行流f*是最大流，当且仅当不存在关于f*的增广链。
定理2最大流最小截定理。
任一个网络D中，从vs到vt的最大流的流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
（2）寻求最大流的标号法
从任一个可行流f出发（若网络中没有给定f，则从零流开始），经过标号过程与调整过程。
标号过程
标号：
（前点标记，前点到该点的弧流量可调整量）
开始，vs标上（0，∞），vs是标号未检查的点，其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查的点vi，对一切未标号的点vj。
a.若弧（vi，vj）上，fijb.若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj标号（-i，l（vj）），l（vj）=min[l（vi）,fji],vj成为标号而未检查的点。
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的增广链。
若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束，这时可行流，即最大流。
调整过程
从vt开始，反向追踪，找出增广链µ，并在µ上进行流量调整。
a.找增广链
如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ（或弧（vt，vk）∈µ）。
检查vk的第一个标号，若为i（或-i），则（vi,vk）∈µ（或（vk,vi）∈µ）。
再检查vi的第一个标号,依此下去,直到vs。
被找出的弧构成了增广链µ。
b.流量调整
令调整量是l（vt），构造新的可行流f′，
去掉所有的标号,对新的可行流f′={fij′},重新进入标号过程。
2.5.3.5最小费用最大流
（1）问题
网络D=（V，A，C）,每一弧（vi，vj）∈A，给出（vi，vj）上单位流的费用b（vi，vj）≥0，（简记bij）。
最小费用最大流问题：
求一个最大流f，使流的总费用
取最小值。
（2）最小费用最大流算法步骤
第1步：
确定初始可行流f0=0，令k=0；
第2步：
记经k次调整得到的最小费用流为fk，构造增量网络W（fk）；
第3步：
在W（fk）中，寻找vs到vt的最短路。
若不存在最短路（即最短路路长是∞），则fk就是最小费用最大流，若存在最短路，则此最短路即为原网络D中相应的可增广链µ，转入第4步。
第4步：
在增广链µ上对fk按下式进行调整，调整量θ为
令
得新的可行流fk+1,返回第2步。
2.5.4作业
10.1、10.3、10.4、10.6、10.11、10.12
2.6排队论
2.6.1.基本要求
掌握排队论的基本概念、常见的到达时间间隔分布和服务时间分布特性，生灭过程及稳态概率。
单服务台负指数分布排队模型；多服务台负指数排队模型；排队系统设计的最优化
2.6.1.1理解和记忆的内容
三个基本组成部分：
输入过程、排队规则、服务机构；
最主要的、影响最大的三个因素：
顾客到达间隔分布、服务时间分布、服务台个数；
Kendall记号：
X/Y/Z/A/B/C，符号的含义；
单服务台负指数排队系统；
各种指标的公式
状态间转移图
状态概率的方程
多服务台负指数排队系统；
状态间转移图
状态概率的方程
一般服务时间M/G/1模型；
P-K公式
2.6.1.2掌握和灵活应用的内容
单服务台负指数排队系统；
各种指标的公式
状态间转移图
状态概率的方程
多服务台负指数排队系统；
状态间转移图
状态概率的方程
一般服务时间M/G/1模型；
P-K公式
排队系统的经济分析
2.6.2．重点、难点
重点：
掌握M/M/1模型及其应用。
难点：
到达流的稳态概率和系统状态转移图
2.6.3内容辅导
2.6.3.1排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：
1.输入过程；2.排队规则；3.服务机构。
顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。
2）顾客是成批到达或是单个到达。
3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。
4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。
所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。
5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说是对时间齐次的（Homogeneousintime），也可以是非平稳的。
输入过程是平稳的是指顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。
排队规则
1）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制）和等待制。
即时制不形成队列，而对于等待制将会形成队列，顾客可以按下规则接收服务：
先到先服务FCFS
后到先服务LCFS
随机服务RAND
有优先权服务。
2）从队列的空间可分为有容量限制和无容量限制。
3）从队列数可分为单列和多列。
服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不同形式的排队服务机构
2）服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。
3）服务时间分为确定型和随机型。
4）服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
2.6.3.2排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是：
•顾客相继到达的间隔时间分布
•服务时间的分布
•服务台数
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall记号（适用于并列服务台）即：
[X/Y/Z][A/B/C]。
X、Y、Z分别表示顾客相继到达的间隔时间分布、服务时间的分布、服务台数；A、B、C分别表示系统容量、顾客源数和服务规则。
2.6.3.3排队系统的数量指标
（1）队长
平均队长（Ls）:
系统中的顾客数。
平均队列长（Lg）:
系统中排队等待服务的顾客数。
系统中顾客数Ls=系统中排队等待服务的顾客数Lg+正被服务的顾客数c
（2）时间
平均逗留时间（Ws）:
指一个顾客在系统中的停留时间。
平均等待时间（Wg）:
指一个顾客在系统中排队等待的时间。
（3）忙期：
指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度。
（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）
2.6.3.4排队系统的分析
以M/M/1模型为例分析。
本节只研究M/M/1模型，下面分三种情况讨论：
标准的M/M/1模型
已知顾客到达服从参数为λ的泊松过程，服务时间服从参数为μ的负指数分布。
得到状态转移图如下：
由状态转移图得到状态转移方程如下：
经推导得到状态概率如下：
得到系统指标如下：
其它模型
分析方法和过程与标准的M/M/1模型完全一致
2.6.4作业
12.2、12.5、12.8
3其他
3.1考试方式
考试方式采用闭卷笔试方式。
3.2联系方式
电话：
51688334
Email:
zhaopeng@
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