第14章整式的乘法与因式分解1422平分差公式.docx
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第14章整式的乘法与因式分解1422平分差公式
第14章整式的乘法与因式分解14.2.2平分差公式
一．选择题（共19小题）
1．（2006•丽水）计算：
（a+1）（a﹣1）的结果是（ ）
A．
a2+1
B．
a2﹣1
C．
a2
D．
2a
2．（2004•连云港）计算（2a+b）（2a﹣b）的结果是（ ）
A．
4a2﹣b2
B．
b2﹣4a2
C．
2a2﹣b2
D．
b2﹣2a2
3．（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．
（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2
B．
﹣x=
C．
x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1
D．
x÷（x2+x）=
+1
4．（2015•赤峰模拟）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（ ）
A．
4
B．
3
C．
12
D．
1
5．（2015春•扬中市期末）（﹣x+y）（ ）=x2﹣y2，其中括号内的是（ ）
A．
﹣x﹣y
B．
﹣x+y
C．
x﹣y
D．
x+y
6．（2015春•福田区期末）下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ）
A．
（2a+b）（2a﹣3b）
B．
（x+1）（1+x）
C．
（x﹣2y）（x+2y）
D．
（﹣x﹣y）（x+y）
7．（2015春•澧县期末）下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a﹣4）=9a2﹣4；
②（2a2﹣b）（2a2+b）=4a2﹣b；
③（3﹣x）（x+3）=x2﹣9；
④（﹣x+y）（x+y）=﹣（x﹣y）（x+y）=﹣x2﹣y2．
⑤（3﹣x）2=（x﹣3）2=x2﹣6x+9．
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
8．（2015春•无锡校级期中）若三角形的底边长为2a+1，高为2a﹣1，则此三角形的面积为（ ）
A．
4a2﹣1
B．
4a2﹣4a+1
C．
4a2+4a+1
D．
9．（2013秋•龙湾区校级期末）
=（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2014春•通川区校级期中）计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．
a8+2a4b4+b8
B．
a8﹣2a4b4+b8
C．
a8+b8
D．
a8﹣b8
11．（2014春•乳山市期末）一个圆的周长为l（l＞4）cm，减少4cm后，这个圆的面积减少了（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2014春•通川区校级期中）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A﹣2003的末位数字是（ ）
A．
0
B．
2
C．
4
D．
6
13．（2014春•金水区校级月考）计算20142﹣2012×2016的值是（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
8
14．（2013•金东区模拟）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．
（x+2y）（2x﹣y）
B．
（x+y）（x﹣2y）
C．
（x+2y）（2y﹣x）
D．
（x﹣2y）（2y﹣x）
15．（2013春•南长区期中）3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．
4
B．
6
C．
2
D．
8
16．（2013秋•郸城县校级月考）已知2a+3b=5，2a﹣3b=3，那么（4a2﹣9b2）2的值是（ ）
A．
15
B．
30
C．
225
D．
22
17．（2012春•莲花县期中）下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）
A．
（1+x）（x+1）
B．
（2﹣1a+b）（b﹣2﹣1a）
C．
（﹣a+b）（a﹣b）
D．
（x2﹣y）（y2+x）
18．（2012春•驿城区校级期中）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．
（a+b）（﹣a﹣b）
B．
（a2+b2）（b2﹣a2）
C．
（a+b）（﹣a+b）
D．
（a3+b3）（a3﹣b3）
19．（2011•台湾）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？
（ ）
A．
11.52
B．
23.04
C．
1200
D．
2400
二．填空题（共6小题）
20．（2015春•滨海县校级月考）利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1= ．
21．（2013春•无锡期中）阅读以下内容：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，根据上面的规律得（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）= （n为正整数）；根据这一规律，计算：
1+2+22+23+24+…+22010+22011= ．
22．（2012春•黔西南州校级月考）如果a+b=2007，a﹣b=1，那么a2﹣b2= ．
23．（2011春•大邑县校级期中）计算：
20102﹣2012×2008= ．
24．（2011秋•攀枝花校级期中）若a2﹣1=101×99，则a= ．
25．（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）．
三．解答题（共5小题）
26．（2015春•江宁区期中）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，
252=2×3×100+25=625，
352=3×4×100+25=1225，
…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：
952= ，
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数想成的算式，请写出89×81的简便计算过程和结果．
27．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．
①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；
②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；
③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；
④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．
（1）求212﹣192= ．
（2）猜想：
任意两个连续奇数的平方差一定是 ，并给予证明．
28．（2012春•长清区校级月考）利用简便方法计算：
（1）2001×1999
（2）8002﹣2×800×799+7992．
29．（2010秋•涵江区期末）计算：
1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
30．（2010春•北京校级期末）用简便方法计算：
（1）
（2）992×1012．
第14章整式的乘法与因式分解14.2.2平分差公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．（2006•丽水）计算：
（a+1）（a﹣1）的结果是（ ）
A．
a2+1
B．
a2﹣1
C．
a2
D．
2a
考点：
平方差公式．菁优网版权所有
分析：
本题是平方差公式的应用，a是相同的项，互为相反项是1与﹣1，直接套用公式即可．
解答：
解：
（a+1）（a﹣1），
=a2﹣12，
=a2﹣1．
故选B．
点评：
本题考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
2．（2004•连云港）计算（2a+b）（2a﹣b）的结果是（ ）
A．
4a2﹣b2
B．
b2﹣4a2
C．
2a2﹣b2
D．
b2﹣2a2
考点：
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分析：
这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：
右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
解答：
解：
（2a+b）（2a﹣b），
=（2a）2﹣b2，
=4a2﹣b2．
故选A．
点评：
本题主要考查平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，熟记公式结构是解题的关键．
3．（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．
（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2
B．
﹣x=
C．
x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1
D．
x÷（x2+x）=
+1
考点：
平方差公式；整式的除法；因式分解-十字相乘法等；分式的加减法．菁优网版权所有
分析：
根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．
解答：
解：
A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；
B、
，错误；
C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；
D、x÷（x2+x）=
，错误；
故选A．
点评：
此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算．
4．（2015•赤峰模拟）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（ ）
A．
4
B．
3
C．
12
D．
1
考点：
平方差公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式利用平方差公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
解答：
解：
∵a+b=4，a﹣b=3，
∴原式=（a+b）（a﹣b）=12，
故选C
点评：
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．（2015春•扬中市期末）（﹣x+y）（ ）=x2﹣y2，其中括号内的是（ ）
A．
﹣x﹣y
B．
﹣x+y
C．
x﹣y
D．
x+y
考点：
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分析：
根据两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式解答．
解答：
解：
x2﹣y2，
=（x+y）（x﹣y），
=（﹣x+y）（﹣x﹣y）．
故选A．
点评：
此题主要考查了乘法的平方差公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
6．（2015春•福田区期末）下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ）
A．
（2a+b）（2a﹣3b）
B．
（x+1）（1+x）
C．
（x﹣2y）（x+2y）
D．
（﹣x﹣y）（x+y）
考点：
平方差公式．菁优网版权所有
分析：
平方差公式是两个数的和乘以这两个数的差，即（a+b）（a﹣b）．
解答：
解：
A、这两个数不同，一个b，另一个是3b，故A错误；
B、只有两个数的和，没有两个数的差，故B错误；
C、x与2y的和乘以x与2y的差，符合平方差公式，故C正确；
D、（﹣x﹣y）（x+y）=﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式，故D错误；
故选：
C．
点评：
本题考查了平方差公式，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
7．（2015春•澧县期末）下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a﹣4）=9a2﹣4；
②（2a2﹣b）（2a2+b）=4a2﹣b；
③（3﹣x）（x+3）=x2﹣9；
④（﹣x+y）（x+y）=﹣（x﹣y）（x+y）=﹣x2﹣y2．
⑤（3﹣x）2=（x﹣3）2=x2﹣6x+9．
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
平方差公式；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：
利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
解答：
解：
①①（3a+4）（3a﹣4）=9a2﹣16，故①错误；
②（2a2﹣b）（2a2+b）=4a2﹣b2，故②错误；
③（3﹣x）（x+3）=9﹣x2，故③错误；
④（﹣x+y）（x+y）=﹣（x﹣y）（x+y）=﹣x2+y2，故④错误；
⑤（3﹣x）2=（x﹣3）2=x2﹣6x+9，正确．
错误的共有4个．
故选：
D．
点评：
本题主要考查的是平方差公式和完全平方公式的应用，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
8．（2015春•无锡校级期中）若三角形的底边长为2a+1，高为2a﹣1，则此三角形的面积为（ ）
A．
4a2﹣1
B．
4a2﹣4a+1
C．
4a2+4a+1
D．
考点：
平方差公式．菁优网版权所有
分析：
利用三角形的面积等于底与高乘积的一半列示求解即可．
解答：
解：
三角形的面积为：
（2a+1）（2a﹣1）=2a2﹣
，
故选：
D．
点评：
本题考查了平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算．
9．（2013秋•龙湾区校级期末）
=（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
平方差公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可．
解答：
解：
，
=
，
=
，
=
．
故选A．
点评：
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
10．（2014春•通川区校级期中）计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．
a8+2a4b4+b8
B．
a8﹣2a4b4+b8
C．
a8+b8
D．
a8﹣b8
考点：
平方差公式；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：
这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘时符合平方差公式得到a2﹣b2，再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式，得到a4﹣b4，与最后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算．
解答：
解：
（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4），
=（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4），
=（a4﹣b4）2，
=a8﹣2a4b4+b8．
故选B．
点评：
本题主要考查了平方差公式的运用，本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式求解．
11．（2014春•乳山市期末）一个圆的周长为l（l＞4）cm，减少4cm后，这个圆的面积减少了（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
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分析：
先求出原来的半径及减少后的半径，再运用面积公式求差即可．
解答：
解：
∵圆的周长为l，
∴r=
，
∵周长为l减少4cm后为（l﹣4）cm
∴r=
，
∴圆减少的面积=π（
）2﹣π（
）2=
，
故选：
C．
点评：
本题主要考查圆的周长和面积与半径之间的关系及平方差公式的运用，解题的关键是熟记周长和面积与半径之间的关系．
12．（2014春•通川区校级期中）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A﹣2003的末位数字是（ ）
A．
0
B．
2
C．
4
D．
6
考点：
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分析：
先添加因式（2﹣1），再连续运用平方差公式进行计算即可．
解答：
解：
因为A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），
=（24﹣1）（24+1）（28+1），
=（28﹣1）（28+1），
=216﹣1，
216的末位数字是6，
所以A的末位数字是5，
则A﹣2003的末位数字是2．
故选B．
点评：
本题考查了平方差公式，关键在于添加因式（2﹣1）后构造成平方差公式结构，连续运用公式求解，另外掌握2的乘方的个位数的规律性循环也比较关键．
13．（2014春•金水区校级月考）计算20142﹣2012×2016的值是（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
8
考点：
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分析：
将原式转化为20142﹣（2014﹣2）（2014+2）利用平方差公式直接计算即可得到正确的选项．
解答：
解：
原式=20142﹣（2014﹣2）（2014+2）
=20142﹣（20142﹣4）
=4，
故选A．
点评：
本题考查了平方差公式，牢记公式的形式是解答本题的关键．
14．（2013•金东区模拟）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．
（x+2y）（2x﹣y）
B．
（x+y）（x﹣2y）
C．
（x+2y）（2y﹣x）
D．
（x﹣2y）（2y﹣x）
考点：
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专题：
压轴题．
分析：
可以用平方差公式计算的式子的特点是：
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：
右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
解答：
解：
A、（x+2y）（2x﹣y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
B、（x+y）（x﹣2y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
C、（x+2y）（2y﹣x）=﹣（x+2y）（x﹣2y）=﹣x2+4y2，正确；
D、（x﹣2y）（2y﹣x）=﹣（x﹣2y）2，故本选项错误．
故选C．
点评：
本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟记平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
15．（2013春•南长区期中）3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．
4
B．
6
C．
2
D．
8
考点：
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分析：
先将3转化为22﹣1，然后重复使用平方差公式计算，得出最简结果，再判断结果的个位数．
解答：
解：
原式=（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而64=16×4，
∴原式的个位数为6．
故选B．
点评：
本题考查了平方差公式的运用．解答此题的突破点是将3转化为22﹣1，然后利用平方差公式进行计算．
16．（2013秋•郸城县校级月考）已知2a+3b=5，2a﹣3b=3，那么（4a2﹣9b2）2的值是（ ）
A．
15
B．
30
C．
225
D．
22
考点：
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专题：
常规题型．
分析：
由平方差公式4a2﹣9b2=（2a+3b）（2a﹣3b），然后将2a+3b=5，2a﹣3b=3，代入原式即可．
解答：
解：
∵2a+3b=5，2a﹣3b=3，
∴（4a2﹣9b2）2
=[（2a+3b）（2a﹣3b）]2
=（5×3）2
=225．
故选C．
点评：
此题考查平方差公式，关键是要熟记公式的结构特点：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
17．（2012春•莲花县期中）下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）
A．
（1+x）（x+1）
B．
（2﹣1a+b）（b﹣2﹣1a）
C．
（﹣a+b）（a﹣b）
D．
（x2﹣y）（y2+x）
考点：
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分析：
符合平方差公式的特征：
（1）两个两项式相乘；
（2）有一项相同，另一项互为相反数．可利用平方差公式．
解答：
解：
A、两项相同，故不能用平方差公式计算；
B、有一项相同，另一项互为相反数．符合平方差公式的特征，故能用平方差公式计算；
C、两项都互为相反数，故不能用平方差公式计算；
D、两项都不相同，故不能用平方差公式计算．
故选B．
点评：
本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．
18．（2012春•驿城区校级期中）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．
（a+b）（﹣a﹣b）
B．
（a2+b2）（b2﹣a2）
C．
（a+b）（﹣a+b）
D．
（a3+b3）（a3﹣b3）
考点：
平方差公式．菁优网版权所有
分析：
根据两个二项式相乘，如果这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，否则不能．
解答：
解：
A、（a+b）（﹣a﹣b）=﹣（a+b）（a+b），不符合平方差公式的形式；故本选项正确；
B、（a2+b2）（b2﹣a2）=（b2+a2）（b2﹣a2），符合平方差公式的形式；故本选项错误；
C、（a+b）（﹣a+b）=﹣（a+b）（a﹣b），符合平方差公式的形式；故本选项错误；
D、（a3+b3）（a3﹣b3）符合平方差公式的形式；故本选项错误；
故选A．
点评：
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
19．（2011•台湾）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣
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