6N边形的内角和.docx
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6N边形的内角和
2014年06月21日25865971的初中数学组卷
一.选择题(共10小题)
1.(2013•扬州)一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是( )
A.
七边形
B.
六边形
C.
五边形
D.
四边形
2.(2013•资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是( )
A.
正六边形
B.
正八边形
C.
正十边形
D.
正十二边形
3.(2013•烟台)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为( )
A.
5
B.
5或6
C.
5或7
D.
5或6或7
4.(2012•玉林)正六边形的每个内角都是( )
A.
60°
B.
80°
C.
100°
D.
120°
5.(2012•深圳)如图所示,一个60°角的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数为( )
A.
120°
B.
180°
C.
240°
D.
300°
6.(2010•泉州)如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE重叠压平,A与A'重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=( )
A.
140°
B.
130°
C.
110°
D.
70°
7.(2009•湛江)如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α=( )
A.
30°
B.
40°
C.
80°
D.
不存在
8.(2009•内江)如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20°,再前进5米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了( )
A.
60米
B.
100米
C.
90米
D.
120米
9.(2012•茂名)从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割成6个三角形,则n的值是( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
10.在凸多边形中,四边形有两条对角线,五边形有5条对角线.观察探索凸十边形有( )条对角线.
A.
29
B.
32
C.
35
D.
38
二.填空题(共3小题)
11.(2008•连云港)如图所示,①中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,…,依此类推,则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 _________ .
12.如图,在正六边形ABCDEF内放入2008个点,若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线,则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共 _________ 个.
13.一个n边形中,除了一个内角外,其余内角和是1020°,那么这个未知角是 _________ 度,这个多形是 _________ 边形.
三.解答题(共11小题)
14.我们知道,过n边形的一个顶点可以作(n﹣3)条对角线,这(n﹣3)条对角线把三角形分割成(n﹣2)个三角形.
(1)请以三角形、四边形、五边形为切入点研究,找出规律,如图①;
(2)如图②,在n边形的边上任意取一点,连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形?
(3)想一想,利用这两个图形,怎样证明多边形的内角和定理?
15.
(1)过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,k边形共有k条对角线,求(m﹣k)n的值是多少?
(2)如图,∠A=∠C,CD⊥AB于D,交AE于F,试判别∠AEB的度数吗?
并说明理由.
16.有两个多边形,这两个多边形的边数比为3:
5.内角和的度数之比是1:
2,求它们各自的边数.
17.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=?
18.
(1)如图,在图1中,互不重叠的三角形共有3个,在图2中,互不重叠的三角形共有5个,在图3中,互不重叠的三角形共有7个,…,则在第n个图形中,互不重叠的三角形共有 _________ 个.(用含n的代数式表示)
(2)若在如图4所示的n边形中,P是A1An边上的点,分别连接PA2、PA3、PA4…PAn﹣1,得到n﹣1个互不重叠的三角形.
你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由;
(3)反之,若在四边形内部有n个不同的点,按照
(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,试探究n与k的关系.
19.一个正多边形的每个外角和与其相邻的内角的度数比为1:
3,求这个正多边形的边数.
20.如图,已知正五边形ABCDE的每一个角都相等.
(1)求∠B;
(2)连AC,若∠BAC=∠BCA,求∠ACD.
21.
(1)如图①②,试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系;
(2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式;
(3)用你发现的结论解决下列问题:
如图③,AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数.
22.正六边形的中心角∠MON(=60°)绕中心O旋转.试证:
无论中心角旋转到何种位置,阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的
.
23.(2008•西城区一模)如图,正六边形ABCDEF中,点M在AB边上,∠FMH=120°,MH与六边形外角的平分线BQ交于点H.
(1)当点M不与点A、B重合时,求证:
∠AFM=∠BMH.
(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.
24.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:
如图1,在正三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
小伟是这样思考的:
如图2,利用旋转和全等的知识构造△AP′C,连接PP′,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.
请你回答:
图1中∠APB的度数等于 _________ .
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
,PB=1,PD=
,则∠APB的度数等于 _________ ,正方形的边长为 _________ ;
(2)如图4,在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=2,PB=1,PF=
,则∠APB的度数等于 _________ ,正六边形的边长为 _________ .
2014年06月21日25865971的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2013•扬州)一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是( )
A.
七边形
B.
六边形
C.
五边形
D.
四边形
考点:
多边形内角与外角.菁优网版权所有
分析:
首先求得外角的度数,然后利用360除以外角的度数即可求解.
解答:
解:
外角的度数是:
180﹣108=72°,
则这个多边形的边数是:
360÷72=5.
故选C.
点评:
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理
2.(2013•资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是( )
A.
正六边形
B.
正八边形
C.
正十边形
D.
正十二边形
考点:
多边形内角与外角.菁优网版权所有
分析:
利用多边形的外角和360°,除以外角的度数,即可求得边数.
解答:
解:
360÷36=10.
故选C.
点评:
本题考查了多边形的外角和定理,理解任何多边形的外角和都是360度是关键.
3.(2013•烟台)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为( )
A.
5
B.
5或6
C.
5或7
D.
5或6或7
考点:
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分析:
首先求得内角和为720°的多边形的边数,即可确定原多边形的边数.
解答:
解:
设内角和为720°的多边形的边数是n,则(n﹣2)•180=720,
解得:
n=6.
则原多边形的边数为5或6或7.
故选:
D.
点评:
本题考查了多边形的内角和定理,理解分三种情况是关键.
4.(2012•玉林)正六边形的每个内角都是( )
A.
60°
B.
80°
C.
100°
D.
120°
考点:
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专题:
常规题型.
分析:
先利用多边形的内角和公式(n﹣2)•180°求出正六边形的内角和,然后除以6即可;
或:
先利用多边形的外角和除以正多边形的边数,求出每一个外角的度数,再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算.
解答:
解:
(6﹣2)•180°=720°,
所以,正六边形的每个内角都是720°÷6=120°,
或:
360°÷6=60°,
180°﹣60°=120°.
故选D.
点评:
本题考查了多边形的内角与外角,利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法,而且求解比较简便.
5.(2012•深圳)如图所示,一个60°角的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数为( )
A.
120°
B.
180°
C.
240°
D.
300°
考点:
多边形内角与外角;三角形内角和定理.菁优网版权所有
分析:
三角形纸片中,剪去其中一个60°的角后变成四边形,则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数.
解答:
解:
根据三角形的内角和定理得:
四边形除去∠1,∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°,
则根据四边形的内角和定理得:
∠1+∠2=360°﹣120°=240°.
故选C.
点评:
主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系.
6.(2010•泉州)如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE重叠压平,A与A'重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=( )
A.
140°
B.
130°
C.
110°
D.
70°
考点:
多边形内角与外角.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA'E的内角和,由折叠可知∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A=∠A',又∠A=70°,由此可以求出∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE,再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2.
解答:
解:
∵四边形ADA'E的内角和为(4﹣2)•180°=360°,
而由折叠可知∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A=∠A',
∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°﹣∠A﹣∠A'=360°﹣2×70°=220°,
∴∠1+∠2=180°×2﹣(∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE)=140°.
故选A.
点评:
本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.
7.(2009•湛江)如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α=( )
A.
30°
B.
40°
C.
80°
D.
不存在
考点:
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专题:
应用题;压轴题.
分析:
先求出多边形的边数,再利用多边形的外角和求出答案即可.
解答:
解:
∵108÷12=9,
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个9边形,
∴α=360°÷9=40°.
故选B.
点评:
本题主要考查了多边形的外角和定理.任何一个多边形的外角和都是360°.
8.(2009•内江)如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20°,再前进5米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了( )
A.
60米
B.
100米
C.
90米
D.
120米
考点:
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专题:
应用题.
分析:
利用多边形外角和等于360度即可求出答案.
解答:
解:
∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形,
∴多边形的边数为360°÷20=18,
∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90米.
故选C.
点评:
主要考查了多边形的外角和定理.任何一个多边形的外角和都是360°.
9.(2012•茂名)从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割成6个三角形,则n的值是( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
考点:
多边形的对角线.菁优网版权所有
分析:
根据从一个n边形的某个顶点出发,可以引(n﹣3)条对角线,把n边形分为(n﹣2)的三角形作答.
解答:
解:
设多边形有n条边,
则n﹣2=6,
解得n=8.
故选C.
点评:
本题主要考查了多边形的性质,解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,形成的三角形个数为(n﹣2)的规律.
10.在凸多边形中,四边形有两条对角线,五边形有5条对角线.观察探索凸十边形有( )条对角线.
A.
29
B.
32
C.
35
D.
38
考点:
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专题:
计算题;规律型.
分析:
n边形的对角线共有
条,根据此关系式求解.
解答:
解:
当n=10时,
=
=35,
即凸十边形的对角线有35条.
故选C.
点评:
本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系,熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键.
二.填空题(共3小题)
11.(2008•连云港)如图所示,①中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,…,依此类推,则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 n(n+1) .
考点:
多边形.菁优网版权所有
专题:
压轴题;规律型.
分析:
①边数是12=3×4,②边数是20=4×5,依此类推,则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n(n+1).
解答:
解:
∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4,
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5,
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6,
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7,
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n(n+1).
点评:
首先要正确数出这几个图形的边数,从中找到规律,进一步推广.正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n(n+1).
12.如图,在正六边形ABCDEF内放入2008个点,若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线,则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共 4020 个.
考点:
多边形;排列与组合问题.菁优网版权所有
专题:
规律型.
分析:
先求出点的个数,进一步求出互不重合的三角形的个数.
解答:
解:
∵正六边形ABCDEF内放入2008个点,这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线,
∴共有2008+6=2014个点.
∵在正六边形内放入1个点时,该正六边形被这个点分成互不重合的三角形共6个;即当n=1时,有6个;然后出现第2个点时,这个点必然存在于开始的6个中的某一个三角形内,然后此点将那个三角形又分成3个三角形,三角形数量便增加2个;又出现第3个点时,同理,必然出现在某个已存在的三角形内,然后又将此三角形1分为3,增加2个…,
∴内部的点每增加1个,三角形个数便增加2个.
于是我们得到一个等差数列:
存在n个点时,三角形数目an=a1+(n﹣1)d=6+2(n﹣1)=2n+4(n≥1).
由题干知,2008个点的总数为a2008=2×2008+4=4020(个).
点评:
本题是等差数列的应用,找到点的个数是解题的关键.
13.一个n边形中,除了一个内角外,其余内角和是1020°,那么这个未知角是 60 度,这个多形是 八 边形.
考点:
多边形内角与外角.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
n边形的内角和为(n﹣2)×180°,即多边形的内角和为180°的整数倍,用1020°除以180°,所得余数和去掉的一个内角互补.
解答:
解:
∵1020°÷180°=5…120°,
∴去掉的内角为180°﹣120°=60°,
设这个多边形为n边形,
则(n﹣2)×180°=1020°+60°,
解得n=8,
故答案为:
60°,八.
点评:
本题考查了多边形内角与外角.关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍,求多边形去掉的一个内角度数.
三.解答题(共11小题)
14.我们知道,过n边形的一个顶点可以作(n﹣3)条对角线,这(n﹣3)条对角线把三角形分割成(n﹣2)个三角形.
(1)请以三角形、四边形、五边形为切入点研究,找出规律,如图①;
(2)如图②,在n边形的边上任意取一点,连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形?
(3)想一想,利用这两个图形,怎样证明多边形的内角和定理?
考点:
多边形的对角线;多边形内角与外角.菁优网版权所有
专题:
规律型.
分析:
(1)根据图形分别确定出三角形的个数即可;
(2)根据三角形的个数与边数的规律写出即可;
(3)图①,多边形的内角和等于所有三角形的内角和,图②多边形的内角和等于所有三角形的内角和减去一个平角的度数.
解答:
解:
(1)三角形时只有一个三角形,
四边形时,有2个三角形,
五边形时,有3个三角形,
n边形时,有(n﹣2)个三角形;
(2)图②共分成了(n﹣1)个三角形;
(3)图①,多边形的内角和等于这(n﹣2)个三角形的内角和,为(n﹣2)•180°,
图②,多边形的内角和等于这(n﹣1)个三角形的内角和再减去以点P为顶点的平角的度数,为(n﹣1)•180°﹣180°=(n﹣2)•180°.
点评:
本题考查了多边形的对角线,多边形的内角,读懂题目信息并准确识图,准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键.
15.
(1)过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,k边形共有k条对角线,求(m﹣k)n的值是多少?
(2)如图,∠A=∠C,CD⊥AB于D,交AE于F,试判别∠AEB的度数吗?
并说明理由.
考点:
多边形的对角线;直角三角形的性质.菁优网版权所有
专题:
应用题.
分析:
(1)根据n边形一个顶点的对角线有(n﹣3)条,求出m、n、k的值,然后代入代数式进行计算即可得解;
(2)根据CD⊥AB可得∠C+∠B=90°,再根据∠A=∠C可得∠A+∠B=90°,然后根据三角形的内角和定理可得∠AEB=90°.
解答:
解:
(1)∵n边形一个顶点的对角线有(n﹣3)条,
∴对角线的总条数为
,
由题意有:
①m﹣3=7,解得m=10;
②n=3;
③
=k,
解得k=5,
∴(m﹣k)n=(10﹣5)3=125;
(2)∠AEB=90°.
理由如下:
∵CD⊥AB,
∴∠C+∠B=90°,
∵∠A=∠C,
∴∠A+∠B=90°,
在△AEB中,∠AEB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣90°=90°.
点评:
本题考查了多边形的对角线,直角三角形的两锐角互余的性质,熟记多边形的对角线的条数计算公式是解题的关键.
16.有两个多边形,这两个多边形的边数比为3:
5.内角和的度数之比是1:
2,求它们各自的边数.
考点:
多边形内角与外角.菁优网版权所有
分析:
设多边形的边数为3n,则另一个为5n,分别表示出两个多边形的内角和得到有关n的方程求解即可.
解答:
解:
∵两个多边形的边数之比为3:
5,
∴设多边形的边数为3n,则另一个为5n,
∵内角和度数之比为1:
2,
∴(3n﹣2):
(5n﹣2)=1:
2,
解得:
n=,2,
∴3n=6,5n=10.
故它们各自的边数为6和10.
点评:
本题考查了多边形的内角与外角,正确的设出边数并表示出其内角和是解决本题的关键.
17.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=?
考点:
多边形内角与外角;三角形的外角性质.菁优网版权所有
专题:
转化思想.
分析:
先根据三角形的外角性质分别得出∠7=∠1+∠5,∠8=∠4+∠6,再根据四边形的内角和等于360°即可求解.
解答:
解:
∵∠7=∠1+∠5,∠8=∠4+∠6,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°.
故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
点评:
本题考查了三角形的外角性质和四边形的内角和.解答此类题目的关键是把几个角的和转化为四边形的内角和解答.
18.
(1)如图,在图1中,互不重叠的三角形共有3个,在图2中,互不重叠的三角形共有5个,在图3中,互不重叠的三角形共有7个,…,则在第n个图形中,互不重叠的三角形共有 2n+1 个.(用含n的代数式表示)
(2)若在如图4所示的n边形中,P是A1An边上的点,分别连接PA2、PA3、PA4…PAn﹣1,得到n﹣1个互不重叠的三角形.
你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由;
(3)反之,若在四边形内部有n个不同的点,按照
(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,试探究n与k的关系.
考点:
多边形内角与外角;列代数式.菁优网版权所有
专题:
探究型.
分析:
(1)解决本题时,可以分别计算出n=3时,4时,5时,6时,各自对应的数值,看所得结果与n之间有什么关系,进而即可求出答案;
(