届四川省资阳市高三模拟考试数学理试题解析版.docx
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届四川省资阳市高三模拟考试数学理试题解析版
2017届四川省资阳市高三4月模拟考试
数学（理）试题
一、选择题
1．设全集U＝R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为
A.或
B.或
C.
D.
【答案】D
【解析】解：
由题意可知：
，
题中阴影部分表示的集合为：
本题选择D选项.
2．已知等差数列的前项和为，且，则
A.6B.7C.8D.9
【答案】A
【解析】解：
由等差数列的性质结合题意可知：
.
本题选择A选项.
3．已知i为虚数单位，若复数（其中）为纯虚数，则
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】解：
复数为纯虚数，则：
，解得：
，即：
.
本题选择B选项.
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】解：
由题意可知：
该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正方体的棱长为2，
，
该几何体的体积为：
.
本题选择D选项.
5．双曲线E：
（，）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是
A.B.C.2D.3
【答案】C
【解析】解：
由双曲线方程的性质可知，双曲线的焦点到渐近线的距离为，
据此可得：
.
本题选择C选项.
6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是
A.40
B.60
C.80
D.100
【答案】A
【解析】解：
三个小球放入盒子是不对号入座的方法有种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：
种.
本题选择A选项.
7．已知MOD函数是一个求余函数，记表示m除以n的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出的值为
A.7
B.8
C.9
D.10
【答案】C
【解析】解：
由流程图可知，该流程图计算输入值除去自身的约数的个数，
的非自身约数：
，共个，即输出值：
.
本题选择C选项.
8．已知函数，其中．若对恒成立，则的最小值为
A.2B.4C.10D.16
【答案】B
【解析】解：
由三角函数的性质可知，当时：
，
取可得的最小值为.
本题选择B选项.
9．已知，，下列不等式成立的是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】解：
由指数函数单调递减可得：
，选项错误；
，选项错误；
很明显，且：
，选项错误.
本题选择D选项.
点睛：
利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
10．正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】解：
作底面于点，作于点，设所求的角为，
由几何关系可得：
解得：
.
本题选择C选项.
11．过抛物线的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为
A.16B.32C.48D.64
【答案】B
【解析】解：
由抛物线的几何性质可知：
，
据此可得，点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为.
本题选择B选项.
12．如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】解：
以点为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为，由意可知：
，
据此可得：
，则：
，目标函数：
，
其中为直线系的截距，
当直线与圆相切时，目标函数取得最大值.
当直线过点时，目标函数取得最小值，
则的取值范围是.
本题选择B选项.
点睛：
本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题.
求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：
先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
二、填空题
13．二项式的展开式中，常数项是_____．
【答案】28；
【解析】解：
由二项式展开式的通项公式可知：
，
常数项满足：
，
常数项为：
.
14．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ²），且P（0≤X≤2）＝0.3，则P（X＞4）＝_____．
【答案】0.2；
【解析】解：
由题意结合正态分布的性质可知：
，
则：
.
点睛：
求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x＝2对称．
关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：
①熟记P（μ－σ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：
“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？
”意思是：
今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（结果保留一位小数，参考数据：
，）
【答案】2.6．
【解析】解：
设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．莞（植物名）的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．
则，
令，
化为：
，
解得或（舍去）．
即：
.
所需的时间约为日.
16．已知函数（k是常数，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是________．
【答案】．
【解析】解：
由函数的解析式可知：
，
函数的极值点满足：
，
很明显是函数的一个极值点，
函数的另外一个极值点满足：
，
函数存在两个极值点，
则函数的图象与函数的图象在区间有一个交点，
故：
.
三、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】试题分析：
（1）利用题意结合诱导公式求得的值，结合三角形内角和为求解角的值即可；
（2）由余弦定理结合
（1）中的结论得到的取值范围，据此求解边长的取值范围即可.
试题解析：
（Ⅰ）由已知得，
化简得，
整理得，即，
由于，则，
所以．
（Ⅱ）根据余弦定理，得
．
又由，知，可得，
所以的取值范围是．
18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2:
1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】试题分析：
（1）利用频率分布直方图的面积为1得到关于的方程，解方程即可求得实数的值；
（2）首先确定该分布列为超几何分布，然后写出分布列求解均值即可.
试题解析：
（Ⅰ）由，解得．
（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有人，
其中男生6人，女生3人．
则X的值可以为0，1，2，3．
，，
，．
则X分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以X的期望．
点睛：
（1）求解本题的关键在于：
①从频率分布直方图中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．
（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
19．如图，在三棱柱中，底面△ABC是等边三角形，侧面为正方形，且平面ABC，为线段上的一点．
（Ⅰ）若∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】试题分析：
（1）利用线面平行的判断定理由线线平行证明线面平行即可
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值即可.
试题解析：
（Ⅰ）D为的中点，理由如下：
连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，
因为∥平面A1CD，
平面ABC1∩平面A1CD＝DE，
所以∥DE，
故为的中点．
（Ⅱ）不妨设＝2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．
知，
则，，
设面A1CD的法向量，
由得
令，得A1CD的一个法向量为，
又平面BCC1的一个法向量，
设二面角的平面角为α，
则．
即该二面角的余弦值为．
点睛：
推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内.
二面角与法向量的夹角：
利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面的法向量时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量的夹角是相等，还是互补.
20．如图，在平面直角坐标系中，椭圆Ω：
的离心率为，直线l：
y＝2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线与的斜率分别为，．
①求证：
为定值；
②求△CEF的面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①详见解析②
【解析】试题分析：
（1）由题意求得的值，结合椭圆焦点位于轴上写出标准方程即可；
（2）①中，分别求得的值，然后求解其乘积即可证得结论；
②中，联立直线与椭圆的方程，利用面积公式得出三角形面积的解析式，最后利用均值不等式求得面积的最小值即可.
试题解析：
（Ⅰ）由题知，由，
所以．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）①证法一：
设，则，
因为点B，C关于原点对称，则，
所以．
证法二：
直线AC的方程为，
由得，
解得，同理，
因为B，O，C三点共线，则由，
整理得，
所以．
②直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，
令y＝2，得，
而，
所以，△CEF的面积
．
由得，
则，当且仅当取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为．
点睛：
对题目涉及的变量巧妙的引进参数（如设动点坐标、动直线方程等），利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．
圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种
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