R1
Vo（s）C1C2R1R2SR1C1SR2C2S1
Vi（s）C1C2RR2S（R1C2R2C2RQ）s1
根据图b）可得:
C2（x：
—x；）+k（x—X。
）=G（Xj—X。
）
Ci（xo_Xi）=匕为
CiC
G（s）=
Xo（s）
CQ2S2（Cik2Czkjskik2
s2（
Ci
C2
ki
k2
）s1
2
Xi（s）CiC2s（Cik2C2kiCiki）skik2CQ2
（Ci
C2
Ci
2-8若系统方框图如图（题2-8）所示,
kik?
ki
（i）以R（s）为输入，当N（s）=0时，分别以C（s）,Y（s）,E（s）为输出的闭环传递
求:
k2
k2
）s1
函数。
（2）以N（s）为输入，当R（s）=0时，分别以C（s）,Y（s）,E（s）为输出的闭环传递
i+G（s）H（s）
-GiG2H
iGiG2H
函数。
以C（s）为输出：
Gb（s）=C（s）=GiG2
R（s）iGGH
以Y（s）为输出：
Gb（s）」（s）=Gi
R（s）iGiG2H
以E（s）为输出：
Gb（s）月讥i
R（s）iGiG2H
解：
（i）由已知得：
Gb（s）：
（2）以C（s）为输出：
G（s）二C（s）G2G2
bN（s）i-G2（_H）Gi+GiG2H
以Y（s）为输出：
"恍=證詁
以E（s）为输出:
Gb（S）
Eo（s）
-G?
H
1-GG1g2h）
-G2H
1g1g2h
2-9求出图（题2-9）所示系统的传递函数X°（s）/Xi（s）。
解：
系统的传递函数为
Xo（s）Gc（s）G（s）
X（i「1Gc（s）G（s）
3-1时间响应由哪两个部分组成？
各部分的定义是什么？
答：
根据工作状态的不同，把系统的时间响应分为瞬态响应和稳态响应。
系统稳定时，
它的自由响应称为瞬态响应，即系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状
态的响应过程。
而稳态响应一般就是指强迫响应，即当某一信号输入时，系统在时间趋于无
穷大时的输出状态。
3-2设温度计能在1分钟内指示出实际温度值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求
时间常数。
如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度依10C/min的速度线性变化，求温度计
示值的误差是多大？
解1:
依题意可得已知条件为t=1分，C（t）=0.98而一阶系统的传递函数为
c（t）1
R（t）_Ts1
即
1
C（s）R（s）
Ts+1
在上述第一一个单位阶跃。
问中，要求温度计在1分钟内指示出响应值的98%这相当于对温度计输入
亦即
r（t）=1（t）
则
1
R（s）：
s
〜、111T
C（s）=
Ts+1ssTs+1
即
111T
c（tHLJ[C（t）HLJ[-—]
sTs+1
上[—「二円―
ss1
T
将t=1分及C（t）=0.98代入上式可得
1
0.98=1-e丁
1
即e亍=1一0.98=0.02
将上式两端取自然对数化简后得
1—1
T='——二一L=0.256分二15.36秒
2.3lg0.02-3.9
解2：
在第二问中已知澡盆温度以10/分线性变化，说明输入函数r（tHAt=10t，
为斜坡函数，此时温度计的误差为
而当
e（t）=r（t）-c（t）=At-c（t）
r（t）=At时
A
R（s）2
s
2
]sTs1
11a1TT
C（s）—R⑸」齐管；—
Ts1
Ts1s
Ts1
C（t）=L，C（s）=A[Lp-lJL4
ss
t
=A[Lj42-TLj-TLj」]=A（t-TTe^）
sss1
T
tt
即e（t）二At-A（t—TTe〒）二AT（1—e亍）
将已知和已求得之值数t=1分、t=0.256分、A=10代入上式即可求得温度计的误差为
e（t）=100.2560.98=2.53（上式为近似计算）。
3-3已知系统的单位阶跃响应为x0（t^10.2e」-1.2e'0t，试求：
（1）该系统的闭环
传递函数；
（2）系统的阻尼比和无阻尼固有频率•.n。
解：
（1）求解闭环传递函数「（S）
由已知条件，当输入为单位阶跃信号时
X°（s）儿（S）1»[x°（t）]»[10.2e」0t-1.2e」0t]s
111
0.21.2-
ss十60s+10
贝U
'（s）sX（s）〔0.2s1.2s（s60）（s10）0.2s（s10）-1.2s（s•60）
'{）~0（）_s60s10一（s60）（s10）
222
s70s6000.2s2S-1.2S-72s600
2—~2
s270s600s270s600
（2）求解阻尼比和无阻尼固有频率-.n
将闭环传递函数化为二阶振荡环节的标准形式
G（S）二
600
S270s600
22
S2•2，nS
（2
根据对应关系可得
%=600
2®n=70
解得n=24.5rad/s，-=1.43。
3-4图（题3-4（a））是一个机械系统，当有20N的力作用于该系统时，其质块m作
如图（题3-4（b））所示的振动，试根据曲线上的x0（tp）-x0（：
：
）=0.0095m,tp=2s，确定
\\\w\\
（b）
图题3-4
解：
由图（a）可知，x（t）是阶跃力输入，Xj（t）=20N,Xo（t）是输出位移。
由图（b）可
知系统的稳态输出x^：
：
）=0.1m,x0（tp）-x0（：
：
）=0.0095m,tp=2s，此系统的传递函数
显然为:
G（s）二
X°（s）
Xi（s）
1
ms2csk
式中，
（1）求k
Xi（s）邱
20N
20N
k
X°（：
：
）=limx°（t）=limsX°（s）=lims—
stms+cs+k
而X0（：
：
）=0.1m，因此k=200N/m。
（2）求m
Mpd「10%=晋100%皿％
求得.=0.06。
将tp=2s,-=0.6代入tp=}中，得㈢n=1.96s。
叫J1-©2
2
再由k/m二-n，求得m=77.3kg。
（3）求c由2^-c/m，求得cF81.8Ns/m。
3-5试求下面系统在单位斜坡函数r（t）二t（t-0）输入下的响应，并求出单位斜坡函数
输入时的误差函数。
1
G（s）的系统;
Ts+1
2-'n
G（s）二二n2的系统（0「：
：
：
1）。
s+2-国nS+^n
解:
2
（1）由题意知r（t）二t，其拉氏变换R（s）=1/s,得稳态误差为
Ts+11Ts+1
ess=lims2
ST0Ts+2ss（Ts+2）
2
（2）由题意知r（t）二t，其拉氏变换R（s）=1/s，得稳态误差为
lims——尹2^2
ss2■2■'ns■2'ns
s（s22.ns2n2）
3-6
已知单位反馈系统的开环传递函数Gk（s）二
（1）K=20，T=0.2；
（2）
位阶跃响应，并分析开环增益
解：
由已知开环传递函数为
K
Ts+1'
K=1.6，T=0.1；（3）K=2.5，T=1三种情况时的单
K与时间常数T对系统性能的影响。
Gk（s）K，且是单位负反馈，
Ts1
则系统闭环传递函数为
G（s）
Gk（s）
一1Gk（s）_TsK1
（1）当单位阶跃信号输入时,
x（t）"（t）,Xi（s）=1/s，
则系统在单位阶跃信号作用
下的输出的拉氏变换为
Xo（s）=G（s）Xj（s）二
20
s（0.2s21）
=20/21
_20/21
s105
将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为
Xo（t）二L‘〔Xo（s）】=（20/21）-（20/21）e'05t
（2）当单位阶跃信号输入时，x（t）=1（t）,Xi（s）=1/s，
则系统在单位阶跃信号作用
下的输出的拉氏变换为
1.68/13
Xo⑸=G（s）Xi（s"s（0.1s2.6厂W
8/13
s26
将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为
冷⑴二l/〔X°（s）丄（8/13）-（8/13归如
下的输出的拉氏变换为
Xo（s）=G（s）Xi（s）=
2.5
s（s3.5）
5/7
s
5/7
s3.5
将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为
冷⑴=L」IXo（s）4（5/7）-（5/7）e"
时间常数T越小，开环增益K越大，xo（t）上升速度越快，达到稳态所用的时间越短,
也就是系统惯性越小，反之，T越大，K越小，系统对信号的响应越缓慢，惯性越大。
3-7试分别画出二阶系统在下列不同阻尼比取值范围内，系统特征根在s平面上的分布
及单位阶跃响应曲线。
（1）0「：
：
：
1
（2）=1（3）.1（4）一1<':
：
:
0（5）=-1
解：
（1）0<:
1
在欠阻尼状态下，二阶系统传递函数的特征方程的根是一对共轭复根，即系统具有一对
共轭复数极点。
（2）=1
在临界阻尼状态下,
两个不相等的负实数极点，
二阶系统传递函数的特征方程的根是两重负实根,
即系统具有
t
xo
（3）在过阻尼状态下，二阶系统传递函数的特征方程的根是两个不相等的负实根，即
系统具有两个不相等的负实数极点,
Si二一•n■「n,儿—1，s2
xo
（4）-:
：
:
0和（5）--1时，系统不稳定。
3-8要使图（题3-8）所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间tP
为2s,试确定K和Kf的值。
图题3-8
解：
（1）先求系统的闭环传递函数
2■n
K.
2
①（S）=s——--
1+K（^KfS）s2+KKfS+Ks2+2®>nS十叫2s2
根据对应关系可得
解得
；：
：
n=_K
KKf
LA
~12
（2）由Mp二e100%=25%，求得=0.404。
再由tp2s，求得；in=6.871。
P「n1一2
综上，得到K=47.205，Kf=0.118。
3-9设单位反馈控制系统的开环传递函数为
Gk（s）二
s（s1）
，试求该系统单位
阶跃响应时的上升时间，峰值时间,
解：
由题知为单位反馈
超调量和调整时间。
H（s）=1
则其闭环传递函数为
s（s1）
1G（s）
s2s1
根据对应关系可解得
s（s1）
&二1rad/s，
二-0.5
s2.42s
峰值时间
tp
厂2
:
3.63s
最大超调量
Mp
=e^：
?
"00%=e亨如00%"6.4%
相位移
在此基础上可求出各参数
上升时间
调整时间
ts二二1n—s8sC：
取0.02）。
Sn0.5
当允差范围为5%寸
ts二』—6sC=取0.05）。
Sn0.5
3-10设系统的单位脉冲响应函数如下，试求这些系统的传递函数。
（1），（t）=0.125e」25t
（2）（t）=5t10sin（4t）
4
（3）（t）=0.1（1—e"）
（4）（t）=0.01t
解：
（1），（t）=0.125e」.25t
G（s）=X°（s）円[0.125e*25t]
1
_8s1
⑵小5七10sin（4tJ
兀520运+5J2s
G（s）=X0（s）»[5t-10sin（4t）]三―5—
4ss+16
_5.2s3（520一2）s216
-s2（s2+16）
（3），（t）=0.1（1-e」/3）
_t/3
G（s）=X°（s）弓[0.1（1—e）]
1
10s
10（3s1）
1
10s（3s1）
（4），（t）=0.01t
G（s）二X°（s）=[0.01t]2
100s2
3-11对图（题3-11）所示的系统，试求：
（1）Kh是多少时，•二0.5
（2）单位阶跃响应的超调量和调整时间
（3）比较Kh=0与心=0时系统的性能。
解：
（1）系统的传递函数为
G（s）*总/J
已知匸=0.5,
2、I
con=10I（^=寸10=3.162
2‘n=10Kh2—Kh=0.116
2
（2）最大超调量Mp=e100%16.3%
调整时间
当允差范围为2%寸
ts二也—2.53sC：
取0.02）
■n1.58
当允差范围为5%寸
ts—s：
1.9s（：
取0.05）
■n1.58
3-12系统的闭环传递函数为
x0（s）816
Xi（s）-（s2.74）（s0.2j0.3）（s0.2-j0.3）
（1）求单位阶跃响应曲线；
（2）取闭环主导极点后，再求单位阶跃响应曲线；
3-13单位反馈系统的开环传递函数为
Gk（s）
s（s1）（s5）
其斜坡函数输入时,
系统的稳态误差的0.01，试确定系统的K值。
解：
单位斜坡输入时，系统的稳态误差
Kv
1
--0.01
所以K=100。
3-14已知单位反馈系统的闭环传递函数为函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差。
解：
将闭环传递函数化为单位反馈形式
G（s）q
an」s'an
nn1
s■ajS亠.亠an」s■an
求斜坡
anJs'an
■>（s）=
G（s）
1G（s）
an」S*an
sn-a1sn1'■■-an-an
nn_12
s-a〔s川^an/S
an』san
G（s）=
a」s+a*
~nm2
sys亠•亠an/S
nnd2
sais…an^s
所以开环传递函数为
an/S
2.~n_2^"3-
S（SaiSan』
则其静态误差系数为:
静态位置误差系数
静态误差
静态速度误差系数
静态误差
K-limG（s）H（s）二：
：
S]0
1Kp
=0
KV=limSG（s）H（s）=:
:
^^0
=0
静态误差
静态加速度误差系数
2an
Ka=limS2G（s）H（s）-
sQan/
1_an/
Kaan
故当斜坡输入时，系统静态误差系数为无穷大，其静态误差为零。
5
4-1某单位反馈系统的开环传递函数为G（沪R，试求下列输入时，输出的稳态响应
表达式。
（1）Xi（t）二Sin（t30）⑵
Xi（t）=3cos（2t「60）
解：
上述控制系统的闭环传递函数为
Xo（s）
（s）=Xi（s）
G（s）
1G（s）
其频率特性为
（j）
X0（j）
Xi（j■）
|（j）|=
乙'（j■）=-tg
当输入信号为
片（t）=sin（t30）
可令
为（t）二sint
此时
5
0.822
6.08
=-tg‘0.167=-9.46=-928
^（t'）=|（j）|sin（t-9.46）
将变量t'换成t
1QQ
x（t）H*（j°）|sin（t+30—9.46）
=0.822sin（t20.54）
=0.822sin（t2032）
当输入信号为
片（t）=3cos（2t-60）时
可令
t二t-30
Xj（t'）=3cos2t'=3sin（90-2t'）
此时
（j.）=_tg」二一tg」0.333=-18.43=-1826
6
xdt'）=R|（jJ|sin[（90\2t'）—18.43]
=30.791cos（2t'-18.43）
将变量t换成t
=2.373cos（2t'-1826）
Xi（t）=2.373cos（2t-60-18.43）
=2.373cos（2t-78.43）=2.373cos（2t-7826'）
4-2
（1）
试画出具有下列传递函数的极坐标图。
1
"0.01s12（0.3s1）
二~2
s2（5s1）
_（0.2s1）（0.025s1）
-s2（0.005s1）（0.001s
G（s）
G（s）
G（s）
⑵
G（s）
⑷
G（s）-
八（6）
G（s）=5e
.0.1s
_1
-s（0.1s1）
7.5（0.3s1）（s1）s（s212s-100）
解:
（1）
G（s）二
1
0.01s1
1
1jT■
1
1T22
e-jarctan人
（2）
G（s）=
1
s（0.1s1）
）=
1
■一1■2T2
午j‘
〔门2t］亠心2
ReGj丨--T=—0.1
lim-
（3）
G（s）=
2（0.3s1）
s2（5s1）
21T12■2
_j^8^_arctan「时~tarctan!
^时）
2JT222e
21口2j2hJ‘
⑷2（1+T2%2）
当r0时，Gj■-：
：
-180
当；'时，GZ1=0三180
G（s）二
7.5（0.3s1）（s1）
s（s212s100）
G（j）=
7.5（j兀1）（jT31）
22戶
[（^■T1）j2T1]
当=—；0时，Gj-：
：
-180
Im
（5）G（s）「（°2S1）（0.025S°s2（0.005s+1）（0.001s+1）
G（「r（厂「1）（「「D
尬（joT^+1）（jcoT2+1
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