综合法求二面角解析.docx
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综合法求二面角解析
综合法求二面角
方法:
1.垂线法：
在一半平面上找一点作另一半平面的垂线，过垂足作交线的垂线,连接两
垂足
2.寻求一平面与两半平面均垂直，交线所成的角
射影面积
3.射影:
原面积
、4.转化为两个二面角求解
1.在边长为1的菱形ABCDK/
AB&60°把菱形沿对角线
AC折起，使折起后
BD^-23,
则二面角B-
AC-D的余弦值为
1
1
D.~2
A.3
B-2
2.如图所示，四棱锥P—ABC啲底面ABCD1边长为1的菱形,/BCD=60°E是CD的中
点，PAL底面ABCDPA=寸3.
（1）证明：
平面PBEL平面PAB
（2）求二面角A-BE-P的大小.
（1）证明如图所示，连接BD由ABCD1菱形且/BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点，所以BE!
CD
又AB//CD所以BE!
AB又因为PA!
平面ABCD
BE?
平面ABCD
所以PALBE而PAHAB=A,
因此BEL平面PAB
又BE?
平面PBE
所以平面PBEL平面PAB
⑵解由
（1）知，BE!
平面PABP田平面PAB
所以PBLBE又ABLBE所以/PBA是二面角LBE-P的平面角.
PA厂
在Rt△PAB中，tan/PBA=-B=3,则/PBA=60°
故二面角A—BE-P的大小是60°
3.如图，在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABCPA=AB/ABC=60°/BCA=
90°点DE
分别在棱PBPC上，且DE//BC
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⑴求证：
BCX平面PAC
（2）是否存在点E使得二面角A—DE-P为直二面角？
并说明理由.
（1）证明?
?
?
PAL底面ABC,?
?
?
PAIBC又/BCA=90°/?
ACLBC又?
?
?
ACTPA=A?
BCL平面PAC
（2）解TDE//BC又由
（1）知，BCh平面PAC?
-DEL平面PAC
又?
?
?
AH平面PACPE?
平面PAC
?
DELAEDEIPE
?
?
?
/AEP为二面角A-DE-P的平面角.
?
?
?
PAL底面ABC?
-PALAC
:
丄PAC=90°
?
在棱PC上存在一点E,
使得AELPC这时/AEP=90°,
故存在点E,使得二面角A—DE-P为直二面角.
4.如图所示，三棱锥P-ABC中，D是AC的中点,PA=PB=PC=5,AC=22,AB=2,
BC=6.
（1）求证：
PDL平面ABC
⑵求二面角P-AB-C的正切值.
（1）证明连接BD
TD是AC的中点，PA=PC=5,
?
PDLAC
?
?
?
AC=22,AB=2,BC=6,
?
AB+BC=AC.
:
丄ABC=90°°即ABLBC
1
?
BD=^AC=2=AD
?
/PD=PA—AD=3,PB=5,
?
PD+BD=PB.?
PDLBD
?
/A8BD=D,?
PDL平面ABC
⑵解取AB的中点E,连接DEPE由E为AB的中点知DE//BC
?
/ABLBC?
ABLDE
?
/PDL平面ABC?
PDLAB
又ABLDEDE?
PD=D,?
ABL平面PDE?
PEIAB
?
/PED是二面角P-AB-C的平面角.
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在^PED中,DE=號匚甲,PD=3,/PDE=90°
PD厂
?
?
?
tan/PED=龙=2.
?
?
?
二面角P—AB-C的正切值为2.
5.如图所示，ABCD!
正方形，0是正方形的中心，PCL底面
ABCD底面边长为a,E是PC的中点.
（1）求证：
PA//面BDE
⑵求证：
平面PACL平面BDE
⑶若二面角E—BD-C为30。
，求四棱锥P-ABC啲体积.
（1）证明连接0E如图所示.
?
?
?
OE分别为ACPC的中点，?
0曰PA.?
/OR面BDEPA?
面BDE
?
PA//面BDE
（2）证明?
/POL面ABCD?
-POLBD在正方形ABCDKBDLAC
又?
/PCTAC=O
?
BDL面PAC
又?
/BD?
面BDE
?
?
?
面PACL面BDE
⑶解取OC中点F,连接EF.
?
/E为PC中点，
?
POC勺中位线，?
EF//PO又?
?
?
POL面ABCD?
EF丄面
ABCD
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?
?
?
0吐BD?
?
?
OELBD
?
?
?
/EOF为二面角
E-BD-C的平面角，EOF30°在Rt△OEF中,OFF
2OC=
?
EF=OFtan30
?
OFF2EF=-66a.
6
6.如图，直三棱柱AB（-ABC中，ACFBCF?
AA,D是棱AA
的中点，DC丄BD
（1）证明：
DC丄BC
⑵求二面角Ai-BD-C的大小.
（1）证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA的中点，故DC=DC.
又ACF*AA,可得DC+DC=CC,所以DC丄DC而DC丄BDCOTBD=D所以DC丄平
面BCD
因为BC?
平面BCD所以DC丄BC
⑵解DC丄BCCC丄BC?
BCL平面ACCA1?
BC丄AC取AB的中点O,过点O作OHLBD于点H,连接CQCH,AC=BC?
COLAB,
面AiBC丄面ABD?
COL面ABD又：
OB?
面AiDB?
-CO丄BD又
?
/OH
L
L
面COHCH?
面COH?
-BD丄CH
得点H与点D
BD?
?
?
BD
重合，且/
CDO是二面角A-BD-C的平面角，设ACFa,
则C0=,
CD==j2
a=2C0?
/
CDO=30°,故二面角Ai—BD
—C的大小为30°.
7.（2010江西理数）如图△BCMAMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCDAB_
平面BCDAB=2，；3。
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间
感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关
知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一：
（1）取CD中点Q连OBOM贝UOBLCD
OILCD又平面MCD—平面BCD,则MO■平面BCD,所以
BQM共面.延长AMBO相交于E,则/AEB就是AM与平面
MO/AB
A、BCD
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E
角.OB=M（=73,MO/ABMO//面ABCMO到平面ABC的距离相等，作O也BC于H,连MH则
MH_BC,求得：
OH=OCsin60=辽‘MH—15,利用体积相等得：
VAJMBC八M」BC=d二2^5。
2
2
5
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.
由（1知，O是BE的中点，贝UBCE［是菱形.
作BHEC于F,连AF,贝UAF丄EC/AFB就是二面角AEGB的平面角，设为9.
因为/BC匡120°,所以/BCf=60°.
BF=BCsin60
tan⋯AB=2,
?
口2真sin
BF
5
三5
所以，所求二面角的正弦值是
5
8.（广东10）18.（本小题满分14分）
如图5,ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E
为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点.平面
AEC外一点F满足FB二DF二5a,FEf6a.
（1）证明：
EB丄FD;
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得
2
2
BQFE,FRFB,求平面BED与平面RQD所
3
3
成二面角的正弦值.
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证臥⑴连结CT.
因沖盟C是半隹为尬的半圆，径，点童为0CK中点，所以酣丄AC.
在RtLBCE中，EU匸曲宀加-y/a+<72—y/2a.
在4ADF中，BF=DF=^a.所*血DF是等BS三角孰且点C是底边.￡刀的中轧所以口F丄BD.
在2EF中，童沪二呦2二〔<^『十（2拧二0护十口护，所恥CEF是总△,即CH丄
EC.
由CF丄他,CF丄0且C￡V\SD=CrA丄平面BED、
而曲u平面BED,二囲7—
■\BE丄平而BDF，而FD匚平面BDF，二丑方丄FLh
（2）设平面BED与平面RQD勺交线为DG.
22
由BQ=—FE,FR=—FB知,QR||EB.
33
而EB平面BDF，二QR||平面BDF,
而平面BDFi'平面RQD=DG,
?
?
?
QR||DG||EB.
由
（1）知，BE_平面BDF,?
DG_平面BDF,而DR二平面BDF,BD二平面BDF,
?
DG_DR,DG_DQ,
?
ZRDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.
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在RtBCF中，CF二、BF2-BC2二■.（5a）2-a2=2a,
sinRBD=匹
—
2a
BF
———，cos—RBD=-1~sin—RBD=—.
'-5a■5.
?
5
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711
在!
\BDR中，由应氏=一砌知，BR=-FS=--J§a=
333
由正弦走理知*
RD=j肘+虽—2衣DBR?
乙屈D
RD
sin^DBsinARBD
sn
3
ARDB
2
—a——
229
sin.RDB二3一5
29a
29
3
2.29
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是
29
9.（11新课标）18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平
行四边形，DAB=600，AB=2AD,PD丄底面ABCD.
（I）证明：
PA_BD;
（n）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值?
【命题意图】本题考查了线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，是容易题目?
【解析】（I）?
?
?
.DAB=600,AB=2AD,由余弦定理得BD-.3AD,
2
2
2
BD丄AD,
?
?
?
BDAD
=AB,
PAD,
又
?
?
?
PD丄面
ABCD,
?
?
?
BD
?
BD丄面
?
PA_BD
丄PD
（n）如图，以D为坐标原点，
AD的长为单位长，射线DA为x轴正半轴建立空间直
角坐标系D—xyz，则A（1,0,0）,B（0,
J3,
0）,P（0,0,1
）,
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设平面PAB的法向量为n=（x1,y1,z1）,则=0
匚X|...3yj=0
即，取yi=1，则为=、、3,乙=、.,3,
卜、场-z=0
n=（J3
/3）,
设平面PBC的法向量为m=（X2,y2,Z2）,则，取y2=
—
z=0
1则2=0,
Z2=—"」3,.
m=（0,—j,—
.3）,
cos
-4
m,n
x
2/7
27
故二面角A-PB-C的余弦值为-仝7.
7
注意：
本题可以把二面角A-PB-C转化为两个二面角的和即二面角A-PB-D与直二面
角D-PB-C的和，而二面角A-PB-D用综合法易求。
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