数学建模典例分析经典.docx
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数学建模典例分析经典
数学建模：
日期：
有价证券的投资
摘要
有价证券是虚拟资本的一种形式，它本身没价值，但有价格。
本问题有价证券的投资收益主要考虑如下因素：
资金、证券种类、信用等级、到期年限、税前收益、纳税税率，在这些资源约束的基础上建立一个线性规划模型。
问题的目标函数为求所有投资的收益最大，限制约束为：
市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；所购证券的平均到期年限不超过5年，1000万元资金，等条件，用LINDO求目标函数的最大值。
线性规划模型：
MaxZ=CX
St
AX<=B
Max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
S．t．
x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
（2x1+2x2+x3+x4+5x5）/（x1+x2+x3+x4+x5）<=1.4即6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0
（9x1+15x2+4x3+3x4+2x5）/（x1+x2+x3+x4+x5）<=5即4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
x1,x2,x3,x4,x5>=0
关键字：
证券种类;信用等级;到期年限;税前收益.
一、问题重述与分析
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有如下限制：
1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在100万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？
若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
有价证券又分为记名和不记名两种。
有价证券的出现，可以加速资本集中，从而适应商品生产和商品交换规模扩大的需要。
有价证券是虚拟资本的形式，它本身没有价值，但是由于它能为持有者带来一定的收入，因而能够在证券市场上买卖，具有价格。
有价证券的价格取决于证券预期收入的大小和银行存款利率的高低两个因素，同前者成正比，同后者成反比。
此外，有价证券供求关系的变化、政局的稳定、政策的变化、国家财政状况以及市场银根松紧程度等因素都会引起有价证券价格波动。
有价证券是指标有票面金额，证明持有人有权按期取得一定收入并可自由转让和买卖的所有权或债权凭证。
有价证券是虚拟资本的一种形式，它本身没价值，但有价格。
本问题有价证券的投资收益主要考虑如下因素：
资金、证券种类、信用等级、到期年限、税前收益、纳税税率，在这些资源约束的基础上建立一个线性规划模型。
问题的目标函数为求所有投资的收益最大，限制约束为：
市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；所购证券的平均到期年限不超过5年，1000万元资金，等条件，用LINDO求目标函数的最大值。
二、模型的假设和符号说明
（一）模型假设
（1）假设所有证券的信用等级在15年内不发生任何变化。
（2）假设所有证券的到期税前收益在15年内不发生任何变化。
（3）假设所有证券的到期税前税率在15年内不发生任何变化。
符号说明
x1投资证券A的金额
x2投资证券B的金额
x3投资证券C的金额
x4投资证券D的金额
x5投资证券E的金额
三、模型的建立和求解
（一）模型的建立
按照目标条件，求出最大收益，目标函数为
Max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
按照限制条件，列出在经理有1000万元资金条件下的约束条件：
、x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
（2x1+2x2+x3+x4+5x5）/（x1+x2+x3+x4+x5）<=1.4即6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0
（9x1+15x2+4x3+3x4+2x5）/（x1+x2+x3+x4+x5）<=5即4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
x1,x2,x3,x4,x5>=0
列出模型：
Max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
S．t．
x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
（2x1+2x2+x3+x4+5x5）/（x1+x2+x3+x4+x5）<=1.4即6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0
（9x1+15x2+4x3+3x4+2x5）/（x1+x2+x3+x4+x5）<=5即4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
x1,x2,x3,x4,x5>=0
（二）模型的求解
用LINDO求解并要求灵敏性分析，程序：
max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
st
x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0
4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
End
得到：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP5
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）0.2983637
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X12.1818180.000000
X20.0000000.030182
X37.3636360.000000
X40.0000000.000636
X50.4545450.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）3.3636360.000000
3）0.0000000.029836
4）0.0000000.000618
5）0.0000000.002364
NO.ITERATIONS=5
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X10.0430000.0035000.013000
X20.0270000.030182INFINITY
X30.0250000.0173330.000560
X40.0220000.000636INFINITY
X50.0450000.0520000.014000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
24.0000003.363636INFINITY
310.000000INFINITY4.567901
40.000000105.71428720.000000
50.00000010.00000012.000000
即证券A，C，E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
有结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。
大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。
投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，
求解程序：
max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
st
x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=11
6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0
4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
End
得到：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）0.3282000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X12.4000000.000000
X20.0000000.030182
X38.1000000.000000
X40.0000000.000636
X50.5000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）4.1000000.000000
3）0.0000000.029836
4）0.0000000.000618
5）0.0000000.002364
NO.ITERATIONS=0
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X10.0430000.0035000.013000
X20.0270000.030182INFINITY
X30.0250000.0173330.000560
X40.0220000.000636INFINITY
X50.0450000.0520000.014000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
24.0000004.100000INFINITY
311.000000INFINITY5.567901
40.000000128.85714722.000000
50.00000011.00000013.200000
证券A，C，E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3282百万元。
由结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减0.112%（注意按50%的税率纳税），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
程序：
max0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5
st
x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0
4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
End
结果：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）0.2942400
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X13.3600000.000000
X20.0000000.030640
X30.0000000.000440
X46.4800000.000000
X50.1600000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）2.4800000.000000
3）0.0000000.029424
4）0.0000000.000636
5）0.0000000.002440
NO.ITERATIONS=1
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X10.043000INFINITY0.002750
X20.0270000.030640INFINITY
X30.0240000.000440INFINITY
X40.0220000.0203330.000500
X50.0450000.0110000.026500
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
24.0000002.480000INFINITY
310.000000INFINITY3.827161
40.00000088.5714266.666667
50.0000004.00000021.000000
证券A，D，E分别投资3.36百万元，6.48百万元，0.16百万元，最大税后收益为0.2942百万元。
四、模型的推广和改进
模型的推广：
根据资金、证券种类、信用等级、到期年限、税前收益、纳税税率等的情况可以最优地计算出最优的投资方案。
模型的改进：
本模型没有将更多的变量引入，未能将收益与现实更紧密的联系结合起来，在计算投资金额时，有一定的误差。
五、参考文献
[1].姜启源、谢金星编数学模型（第三版）出版社：
高等教育出版社2003.8
[2].王沫然编著LINDO/LINGO与数学建模出版社：
电子工业出版社2003.9
附录：
课程设计报告
课程设计题目：
姓名1：
学号：
姓名2：
学号：
姓名3：
学号：
专业测控技术与仪器
班级
指导教师
09年12月28日
目录
一．题目详情与摘要1
二．模型假设和符号说明2
三．问题分析与模型建立3
四．模型评价4
五．附录5
六．参考文献6
题目详情与摘要
题目：
某电子厂生产三种产品供应给政府部门：
晶体管、微型模块、电路集成器。
该工程从物理上分为四个加工区域：
晶体管生产线、电路印刷与组装、晶体管与模块质量控制、电路集成器测试与包装。
生产中的要求如下：
生产一件晶体管需要占用晶体管生产线0.1h的时间，晶体管质量控制区域0.5h的时间，另加0.70元的直接成本；生产一件微型模块需要占用质量控制区域0.4h的时间；消耗3个晶体管，另加0.50元的直接成本；生产一件电路集成器需要占用电路印刷区域0.1h的时间，测试与包装区域0.5h的时间，消耗3个晶体管、3个微型模块，另加2.00元的直接成本。
假设三种产品（晶体管、微型模块、电路集成器）的销售量是没有限制的，销售价格分别为2.0元，8元，25元。
在未来的一个月里，每个加工区域均有200h的生产时间可用，请建立数学模型，帮助确定生产计划，使工厂的收益最大。
摘要：
现建立数学模型，使电子厂的收益最大，确定工厂的生产计划问题。
该工程从物理上分为四个加工区域：
晶体管生产线、电路印刷与组装、晶体管与模块质量控制、电路集成器测试与包装。
这四个加工区域均有200h的生产时间可用，在这段时间内生产2个晶体管，666个微型模块能使工厂的收益达到最大值，最大值为3599元。
关键词：
建立模型收益最大生产计划
模型假设
1.假设生产过程中生产设备不计损耗；
2.假设生产过程中生产设备不出故障，不会损耗生产时间；
3.假设工人操作娴熟不会延误生产时间；
符号说明
生产晶体管的个数；
生产微型模块的个数；
生产电路集成器的个数；
生产中占用晶体管生产线的时间；
生产中占用电路印刷与组装的时间；
生产中占用晶体管与模块质量控制的时间；
生产中占用电路集成器测试与包装的时间。
问题分析与模型建立
经过对题目的分析我们现在有如下几个问题需要解决：
1.生产微型模块需要用到晶体管，我们必须要把晶体管占用的时间也考虑进去，电路集成器也是一样，考虑要周到全面。
2.由于三种产品的销售量是没有限制的，那么哪一种产品生产的最多可以给工厂带来更大的利润呢？
但是生产时间是有限制的，不能超出200h，这两个要求缺一不可。
已知一：
生产一件晶体管需要占用晶体管生产线0.1h的时间，晶体管质量控制区域0.5h的时间，另加0.70元的直接成本；
已知二：
生产一件微型模块需要占用质量控制区域0.4h的时间；消耗3个晶体管，另加0.50元的直接成本；
已知三：
生产一件电路集成器需要占用电路印刷区域0.1h的时间，测试与包装区域0.5h的时间，消耗3个晶体管、3个微型模块，另加2.00元的直接成本。
已知四：
三种产品（晶体管、微型模块、电路集成器）的销售价格分别为2.0元，8元，25元。
根据已知条件，列出如下表格：
0.1
3*0.1
3*0.1+3*（3*0.1）
0.1
0.5
0.4+3*0.5
3*0.5+3*（0.4+3*0.5）
0.5
成本
0.70
3*0.70+0.50
3*0.7+3*（3*0.70+0.50）+2.00
又因为每个加工区域只有200h的生产时间可用。
根据表格和提议得出以下方程：
再根据已知四得到工厂的收益函数为：
即：
。
运用lingo11.0软件求解后得到：
当生产的晶体管、微型模块、电路集成器个数分别为2个，666个，0个时收益可达到最大，最大收益为3599元。
模型评价
该模型对于工厂理想状态生产收益问题很容易解决，能很快的知道如何生产能产生最
大效益，但是该模型是在理想状态下假设的结果，所以还有很多方面的问题没有考虑周全。
比如：
机器的维修费用等。
附录
Lingo程序与运行结果：
运行结果：
参考文献
<1>数学建模案例分析白其峥主编北京：
海洋出版社，2000；
<2>数学建模案例精选朱道元等编著北京：
科学出版社，2003；
<3>数学建模导论陈理荣主编北京：
北京邮电大学出版社，1999；
<4>数学建模：
原理与方法蔡锁章主编北京：
海洋出版社，2000；
<5>数学建模的理论与实践吴翊，成礼智编著长沙：
国防科技大学出版社，1999；
<6>数学建模沈继红等编著哈尔滨：
哈尔滨工程大学出版社，1998。
课程设计报告
课程设计题目：
彩票公司投资纳税问题
姓名1：
学号：
姓名2：
学号：
姓名3：
学号：
专业测控技术与仪器
班级10202201
指导教师
2011年11月25日
彩票公司投资纳税问题
一．摘要
“彩票公司上缴国税”的数学建模是公司探讨如何购买国债和短期存款来使国家的收益最大化，从而增强国家的综合经济能力。
1994年，彩票正式发行，历经15年的发展已日趋成熟。
彩票秉承“来之于民，用之于民”的宗旨，不断服务大众。
扶贫助困、抗震抗灾中到处都留下彩票公益金的印记。
截止到2009年11月25日体彩年销量首次突破500亿大关，筹集公益金超过146亿。
不仅在体育事业方面提供了强大的资金支持，而且还用于补充灾区重建、助学和济困等方面的资金支持。
来自彩民的爱心奉献，正源源不断地回报这个社会。
彩票奖金不是立刻全部兑付，而是15年内逐年兑付。
公司利用后面几年没有支付的现金来作为本钱，通过购买国债和短期存款来获得一定的收入，此收入即可以上缴国家。
如何购买是根据国债的年限和每份国债的价格以及短期存款的利息（估计未来15年短期存款的年利率为4%左右），来建立数学模型选择最恰当的购买方式，使国家收益最大，从而更好的服务社会。
关键字：
彩票公益金国税国债短期存款利息
二．问题的提出
假设你是一家彩票管理中心的负责人。
彩票已经全部售出，但彩票奖金不是立刻全部兑付，而是15年内逐年兑付。
已经未来15年每年为了支付奖金所需要的现金的确切数字分别是：
10，11，12，14，15，17，19，20，22，24，26，29，31，33，36（百万元）。
彩票收入除一部分留作基金用于应对未来一系列的付款对现金的需求外，其余部分将上缴国家。
为了将尽可能多的彩票收入上缴国家，你计划用成本最小的国债和存款组合来应对未来一系列的付款对现金的需求。
你打算用基金的一部分来购买目前正在销售的可靠性较好的两种国债（或之一）：
第一种国债的年限为6年，每份价格为0.98（百万元），每年可获得固定息票0.06（百万元）；第二种国债年限为13年，每份价格为0.965（百万元），每年可获得固定息票0.065（百万元）。
对于没有购买国债的基金，可以用于短期存款，估计未来15年短期存款的年利率为4%左右。
请确定购买国债的数量和用于短期存款的金额。
三．问题的分析
由题意可知,目的就是把彩票的15年的利息和债券的利息上缴国家,给国家带来一定的收入,因为15年确定了每年支付的现金!
我们可以利用后面几年没有支付的现金来作为本钱,通过购买国债和短期存款,可以获得一定的收入!
此收入即可上缴国家.所以319百万的彩票收入可以上缴X百万给国家,然后假设购买A份国债一,购买B份国债二,剩余的钱除了支付现金兑现外可用于短期存款获得一定的收入.我们通过数学建摸,来确定X的最大值使得现金可以兑现,最后,根据网上提供的知识,再结合自己的体验,写出最可行的方案.
四．模型假设
1.彩票公司在未来15年购买的国债可靠性有保障。
2．期间没有金融风暴与危机，存款利息保持4%的相对稳定。
3.未来一系列的付款兑现无意外发生，并按支付金额付款。
五．符号说明
A----表示购买国债一的数量；
B----表示购买国债二的数量；
Ci----表示第i年短期存款的金额，1
X----上缴给国家的最大金额。
六．模型的建立
6.1数据的预处理
6.1.1短期存款所获得的一定利息收入如下表：
第一年存款的本钱是前n年没付出去的奖金；
第二年存款的本钱是前n-1年没付出去的奖金和利息和；
……
表一每年存款所获利息收入
第i年
第i年存款所获利息
L1
（319-X-a*0.98-b*0.965-10）*0.04；
L2
（319-X-a*0.98-b*0.965-10-11）*0.04+L1*0.04；
L3
（319-X-a*0.98-b*0.965-10-11-12）*0.04+L2*0.04；
L4
（319-X-a*0.98-b*0.965-10-11-12-14）*0.04+L3*0.04；
L5
（319-X-a*0.98-b*0.
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