初二数学公式大全72343.docx

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初二数学公式大全72343

初二公式定理大全

1、单独的一个数或一个字母也是单项式。

2、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

3、一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

4、几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单向式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。

5、一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

6、单项式和多项式统称整式。

7、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

8、把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项。

9、几个整式相加减，通常用括号把每个整式括起来，再用加减号连接：

然后去括号，合并同类项。

10、幂的乘方，底数不变，指数相同。

11、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

12、幂的乘方，底数不变，指数相乘。

13、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

14、单向式与单向式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单向式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式。

15、单向式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

16、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

17、两个数的和与这两个数的差的积＝这两个数的平方差。

这个公式叫做（乘法的）平方差公式。

18、两数和（或差）的平方＝它们的平方和，加（或减）它们积的2倍。

这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。

19、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

20、同底数幂相加，底数不变，指数相减。

21、任何不等于0的数的0次幂都等于1.

22、单向式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

23、多项式除以单向式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

24、吧一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

25、ma+mb+mc，它的各项都有一个公共的因式m，我们把因式M叫做这个多项式各项的公因式。

由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得ma+mb+mc=m（a+b+c）

这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式（a＋b+c）是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

26、两个数的平方，等于这两个数的和与这两个数差的积。

27、两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话

那就是利用x2+（p+q）x+pq=（x+q）（x+p）其中PQ为常数。

1.因式分解

即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。

而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：

数域F上的次数大于零的多项式f（x）,如果不计零次因式的差异，那么f（x）可以唯一的分解为以下形式：

f（x）=aP1k1（x）P2k2（x）…Piki（x）*,其中α是f（x）的最高次项的系数，P1（x）,P2（x）……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi（x）（I=1,2…,t）是f（x）的Ki重因式。

（*）或叫做多项式f（x）的典型分解式。

证明：

可参见《高代》P52-53

初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：

一提二套三分组等

要求为：

要分到不能再分为止。

2.方法介绍

2.1提公因式法：

如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。

例15x3+10x2+5x

解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。

解：

原式=5x（x2+2x+1）

=5x（x+1）2

2.2公式法

即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：

a2-b2=（a+b）（a-b）

a2±2ab+b2=（a±b）2

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

a3±3a2b+3ab2±b2=（a±b）3

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=（a1+a2+…+an）2

a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）

an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+…+bn-1）（n为奇数）

说明由因式定理，即对一元多项式f（x），若f（b）=0，则一定含有一次因式x-b。

可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。

例2分解因式：

①64x6-y12②1+x+x2+…+x15

解析各小题均可套用公式

解①64x6-y12=（8x3-y6）（8x3+y6）

=（2x-y2）（4x2+2xy2+y4）（2x+y2）（4x2-2xy2+y4）

②1+x+x2+…+x15=

=（1+x）（1+x2）（1+x4）（1+x8）

注多项式分解时，先分构造公式再解。

2.3分组分解法

当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。

当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。

例1分解因式：

x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+（m9+m6）+（m3+1）

=m12（m3+1）+m6（m3+1）+（m3+1）

=（m3+1）（m12+m6++1）

=（m3+1）[（m6+1）2-m6]

=（m+1）（m2-m+1）（m6+1+m3）（m6+1-m3）

例2分解因式：

x4+5x3+15x-9

解析可根据系数特征进行分组

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=（x2+3）（x2-3）+5x（x2+3）

=（x2+3）（x2+5x-3）

2.4十字相乘法

对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法,

即x2+（b+c）x+bc=（x+b）（x+c）当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。

例3分解因式：

①x2-x-6②6x2-x-12

解①1x2

1x-3

原式=（x+2）（x-3）

②2x-3

3x4

原式=（2x-3）（3x+4）

注：

“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。

2.5双十字相乘法

在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：

（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图

（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项

例5分解因式

14x2-4xy-3y2-4x+10y-3

2②x2-3xy-10y2+x+9y-2

3ab+b2+a-b-2

4④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解①原式=（2x-3y+1）（2x+y-3）

2x-3y1

2xy-3

②原式=（x-5y+2）（x+2y-1）

x-5y2

x2y-1

③原式=（b+1）（a+b-2）

0ab1

ab-2

④原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）

2x-3yz

3x-y-2z

说明：

③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。

如（ab+a）+（b2-b-2）=a（b+1）+（b+1）（b-2）=（b+1）（a+b-2）

④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：

2.6拆法、添项法

对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。

再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：

x3+3x2-4

解析法一：

可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+（3x2-3）

法二：

添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+（x3-x4）

法三：

添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+（4x-4）

法四：

把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+（4x2-4）

法五：

把x3拆为，4x2-3x3即（4x3-4）-（3x3-3x2）等

解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4

=x2（x-1）+4（x-1）（x+1）

=（x-1）（x2+4x+4）

=（x-1）（x+2）2

2．7换元法

换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。

运用此

种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。

例7分解因式：

（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-120

解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到

（x+1）（x+4）=x2+5x+4

（x+2）（x+3）=x2+5x+6

故可用换元法分解此题

解原式=（x2+5x+4）（x2+5x+6）-120

令y=x2+5x+5则原式=（y-1）（y+1）-120

=y2-121

=（y+11）（y-11）

=（x2+5x+16）（x2+5x-6）

=（x+6）（x-1）（x2+5x+16）

注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？

2．8待定系数法

待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程（组），解出这个方程（组）求出待定系数。

待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。

例7分解因式：

2a2+3ab-9b2+14a+3b+20

分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法

先分解2a2+3ab+9b2=（2a-3b）（a+3b）

解设可设原式=（2a-3b+m）（a+3b+n）

=2a2+3ab-9b2+（m+2n）a+（3m-3n）b+mn……………

比较两个多项式（即原式与*式）的系数

m+2n=14

（1）m=4

3m-3n=-3

（2）=>

mn=20（3）n=5

∴原式=（2x-3b+4）（a+3b+5）

注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n

令a=1,b=0,m+2n=14m=4

=>

令a=0,b=1,m=n=-1n=5

2.9因式定理、综合除法分解因式

对于整系数一元多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

由因式定理可先判断它是否含有一次因式（x-）（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数

若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解

例8分解因式x3-4x2+6x-4

解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4

∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4,

∵f

（1）≠0,f

（1）≠0

但f

（2）=0,故（x-2）是这个多项式的因式，再用综合除法

21-46-4

2-44

1-220

所以原式=（x-2）（x2-2x+2）

当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4

=x（x-2）2+（x-2）

=（x-2）（x2-2x+2）

分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!

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1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

83

（1）比例的基本性质如果a:

b=c:

d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:

b=c:

dwc呁/S∕?

84

（2）合比性质如果a／b=c／d,那么（a±b）／b=（c±d）／d

85（3）等比性质如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0）,那么

（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线L和⊙O相交d＜r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r?

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线