六年级小升初定理合集.docx

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六年级小升初定理合集

公边定理：

一个大三角形分成两个小三角形，面积之比等于两条底边之比

燕尾定理

蝴蝶定理

鸟头定理：

三角形中任意割一个三角形，所占面积是两条重叠边占长边之比之积

沙漏定理：

将梯形用两条对角边分割成四个三角形，上三角与底三角之比等于上底比下底。

鸟头定理

设三角形ABC面积为S,点E,F是AB,AC上两点，且AE/AB=1/m,AF/AC=1/n,则三角形AEF的面积为S/mn

证明，过C,F分别作AB的垂线，垂足为G,H

很显然，三角形ACG和三角形AFH相似（三个角分别相等），所以CG/EH=AC/AF=n

FH=CG/n

三角形ABC面积S=0.5AB*CG

三角形AEF面积=0.5AE*EH=0.5（AB/m）（CG/n）=0.5AB*CG/mn=S/mn得证

鸟头定理如下图，三角形AED占三角形ABC面积的2/3×1/4=1/6

一、等积变换模型

1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型

（说明：

任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）

四、相似三角形模型

相似三角形：

是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

图片

bf:

fc=bfd:

fdc=abd:

adc

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图；

反之，如果，则可知直线平行于。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在中，分别是上的点（如图1）或在的延长线上，在上（如图2），则

图1图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：

①或者②

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

①

②；

③梯形的对应份数为。

四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型沙漏模型

①；

②。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC

S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC

S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB

如沙漏原理就是说沙漏定理即八字定理，有两个相似三角形组成，△ABC和△XYZ，面积分别为S1和S2，S1:

S2=AB·BC:

XY·YZ。

沙漏定理和蝴蝶定理大都是运用于梯形对角线分成四个三角形，沙漏定理通常可以算出上面的三角形与下面三角形的面积比，蝴蝶定理可以算出四个三角形的面积之比

在数学上有一种沙漏原理，在数学竞赛中燕尾原理、沙漏原理、蝴蝶原理、和勾股定理是非常常见的。

如沙漏原理就是说沙漏定理即八字定理，有两个相似三角形组成，△ABC和△XYZ，面积分别为S1和S2，S1:

S2=AB·BC:

XY·YZ。

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。

例如右图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角C'A'B'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'

燕尾定理

简介

燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB上点，满足AD、BE、CF交于同一点O）。

S△ABC中，S△AOB：

S△AOC=S△BDO：

S△CDO=BD：

CD；

同理，S△AOC：

S△BOC=S△AFO：

S△BFO=AF：

BF；

S△BOC：

S△BOA=S△CEO：

S△AEO=EC：

AE。

证法

证法1

下面的是第一种方法：

利用分比性质（若a/b=c/d，则（a-b）/b=（c-d）/d,[1]b≠0，d≠0,）[2]

（注：

∵（a-b）/b=a/b-b/b=a/b-1,

（c-d）/d=c/d-d/d=c/d-1,

a/b=c/d

∴（a-b）/b=（c-d）/d

∵△ABD与△ACD同高

∴S△ABD：

S△ACD=BD：

同理，S△OBD：

S△OCD=BD：

利用分比性质，得

S△ABD-S△OBD：

S△ACD-S△OCD=BD：

即S△AOB：

S△AOC=BD：

命题得证。

证法2

下面的是第二种方法：

相似三角形法

证法1图

已知：

△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：

AE=CE证明：

如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；

过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD

∴MO：

BD=AO：

AD，NO：

CD=AO：

∴MO：

BD=NO：

∵AD是△ABC的一条中线

∴BD=CD

∴MO=NO

∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF

∴PO：

BF=CO：

CF，QO：

AF=CO：

∴PO：

BF=QO：

∵CF是△ABC的一条中线

∴AF=BF

∴PO=QO

∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO

∴△MOP≌△NOQ（SAS）

∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）

∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE

∴MR：

AE=BR：

BE，PR：

CE=BR：

∴MR：

AE=PR：

∵MN∥BC，PQ∥AB

∴四边形BMOP是平行四边形

∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）

∴AE=CE

命题得证。

证法3

下面的是第三种方法：

面积法

已知：

△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：

AE=CE

证明：

如图，

∵点D是BC的中点，点F是AB的中点

∴S△CAD=S△BAD，S△COD=S△BOD

∴S△CAD-S△COD=S△BAD-S△BOD

即S△AOC（绿）=S△AOB（红）

∵S△ACF=S△BCF，S△AOF=S△BOF

∴S△ACF-S△AOF=S△BCF-S△BOF

即S△AOC（绿）=S△BOC（蓝）

∴S△AOB（红）=S△BOC（蓝）

∵S△AOE:

S△AOB（红）=OE:

OB，S△COE:

S△BOC（蓝）=OE:

∴S△AOE:

S△AOB（红）=S△COE:

S△BOC（蓝）

∵S△AOB（红）=S△BOC（蓝）

∴S△AOE=S△COE

∴AE=CE

命题得证。

证法4

下面的是第四种方法：

中位线法

已知：

△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：

AE=CE

证明：

如图，延长OE到点G，使OG=OB。

∵OG=OB

∴点O是BG的中点

又∵点D是BC的中点

∴OD是△BGC的一条中位线

∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点

∴OF是△BGA的一条中位线

∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG

∴四边形AOCG是平行四边形

∴AC、OG互相平分

∴AE=CE

命题得证。

证法5：

因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证

推广：

共边比例定理

四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E

则有BE：

DE=S△ABC：

S△ADC

此定理是面积法最重要的定理

燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图）。

三角形ABC中，三角形AOB/三角形AOC=三角形BFO/三角形OFC=BF/FC；

同理，三角形AOC/三角形COB=三角形ADO/三角形DOB=AD/DB；

三角形BOC/三角形BOA=三角形CEO/三角形AEO=EC/AE。

证明过程如下：

三角形ABF/三角形ACF=BF/FC=三角形BOF/三角形COF，根据比例性质，BF/FC=（三角形ABF-三角形BOF）/（三角形ACF-三角形COF）。

蝴蝶定理

百科名片

蝴蝶定理

蝴蝶定理最先是作为一个征求初等几何学证明的问题，刊载于1815年的一份欧洲通俗杂志《男士日记》上。

由于该定理的几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以蝴蝶来命名。

定理内容：

圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

概述

证明

例题

衍生

相关

读物

编辑本段概述

蝴蝶定理（Butterflytheorem）出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推欧洲人霍纳在1815年所给出的证法。

至于初等几何学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位欧洲中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：

S=1/2BC·sinA。

1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

蝴蝶定理

证明

这里介绍一种较为简便的初等数学证法。

证明：

过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。

蝴蝶定理

∵△AMD∽△CMB

∴AM/CM=AD/BC

∵AS=1/2AD，BT=1/2BC

∴AM/CM=AS/CT

又∵∠A=∠C

∴△AMS∽△CMT

∴∠MSX=∠MTY

∵∠OMX=∠OSX=90°

[1]

∴∠OMX+∠OSX=180°

∴O，S，X，M四点共圆

同理，O，T，Y，M四点共圆

∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX

∴∠MOX=∠MOY，

∵OM⊥PQ

∴XM=YM

[2]其它证明方法：

令x=XM,a=PM

则AX·XD=PX·XQ=a²-x²

在ΔDXM中，由正弦定理：

DX=x·sin（α）/sin（180°-（α+β+γ））=x·sin（α）/sin（α+β+γ）.

在ΔAXM中：

AX=x·sin（β）/sin（γ）

所以有

AX·DX=x²sin（α）·sin（β）/sin（γ）·sin（α+β+γ）=a²-x²;

∴x²;=a²;·sin（γ）·sin（α+β+γ））/（sin（α）·sin（β）+sin（γ）·sin（α+β+γ））

在上面的式子中，α和β是对称的.如果我们令y=MY，会得到同样的结果

∴x=y，得证

这个定理在椭圆中也成立，如图

1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b>r>0）。

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率

（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D（x2，y2）（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。

求证：

k1x1x2/（x1+x2）=k2x3x4/（x3+x4）

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

求证：

|OP|=|OQ|。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''

。

类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''

证明过程图片

例题

北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：

（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

（Ⅰ）解：

椭圆方程为x2÷a2+（y-r）2/b2=1

焦点坐标为

（Ⅱ）证明：

将直线CD的方程y=k?

x代入椭圆方程，得b2x2+a2（k1x-r）2=a2b2，

整理，得

（b2+a2k12）x2-2k1a2rx+（a2r2-a2b2）=0

根据韦达定理，得

x1+x2=2k1a2r÷（b2+a2k12），x1·x2=（a2r2-a2b2）÷（b2+a2k12），

所以x1x2÷（x1+x2）=（r2-b2）÷2k1r①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得

x3x4÷（x3+x4）=（r2-b2）÷2k2r②

由①，②得k1x1x2÷（x1+x2）=（r2-b2/2r=k2x3x4÷（x3+x4）

所以结论成立。

（Ⅲ）证明：

设点P（p，o），点Q（q，o）。

由C，P，H共线，得

（x1-p）÷（x4-p）=k1x1÷k2x4

解得P=（k1-k2）x1x4÷（k1x1-k2x4）

由D，Q，G共线，同理可得

q=（k1-k2）x2x3÷（k1x2-k2x3）

由k1x1x2÷（x1+x2）=k2x3x4÷（x3+x4），变形得：

x2x3÷（k1x2-k2x3）=x1x4÷（k1x1-k2x4）

即：

（k1-k2）x2x3÷（k1x2-k2x3）=（k1-k2）x1x4÷（k1x1-k2x4）

所以|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

简评

本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。

试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：

焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。

第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。

待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。

这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。

解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。

证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。

第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p=-q（或p+q=0。

）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p=-q，关键在于沟通k1x1x2/（x1+x2）=k2x3x4/（x3+x4）与x1x4/（k1x1-k2x4）=-x2x3/（k1x2-k2x3）的联系。

参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。

如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。

设：

k1x1x2/（x1+x2）=k2x3x4/（x3+x4）为①式，两边同取倒数，得

1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①’

设：

x1x4/（k1x1-k2x4）=-x2x3/（k1x2-k2x3）为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②’

将①’两边同乘以k1·k2，即得

k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

它与②’完全一样。

这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。

思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。

赏析

上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：

试题是怎么命制出来的？

它的背景是什么？

它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？

关于圆，有一个有趣的定理：

蝴蝶定理设AB是圆O的弦，M是AB的中点。

过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。

则MH=MG。

这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。

盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？

像，而且像极了。

试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。

如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。

由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。

“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。

”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？

启示

椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。

它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。

高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：

已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。

求证：

三点在一条直线上：

P17练习4：

证明：

已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：

证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：

用两种方法证明：

三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。

你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。

为什么？

你（老师、学生）关注到了它吗？

实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。

你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式

证明|AC|=|AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f（x,y）=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f（x,y）=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式

证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。

你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。

一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。

据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！

不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？

北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。

各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？

我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。

而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。

——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。

衍生

混沌论中蝴蝶定理

数学的一门分支是混沌论。

混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。

它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。

而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢？

所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。