概率统计答案.docx
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概率统计答案
第三章作业一
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。
X
Y
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
0
解：
（X，Y）的可能取值为（i,j），i=0，1，2，3，j=0，12，i+j≥2，联合分布律为
P{X=0,Y=2}=
P{X=1,Y=1}=
P{X=1,Y=2}=
P{X=2,Y=0}=
P{X=2,Y=1}=
P{X=2,Y=2}=
P{X=3,Y=0}=
P{X=3,Y=1}=
P{X=3,Y=2}=0
3.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：
（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】
（1）由
得A=12
（2）由定义，有
（3）
4.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）P{Y≤X}.
题6图
【解】
（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
而
所以
（2）
第三章作业二
1.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1）求X与Y的联合概率分布；
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X与Y的联合分布律如下表
3
4
5
1
2
0
3
0
0
（2）因
故X与Y不独立
2.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1）试确定常数c；
（2）求边缘概率密度.
【解】
（1）
得
.
（2）
3.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）=
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】
（1）因
故
题14图
（2）方程
有实根的条件是
故X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
4.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题11图
【解】
所以
第三章作业三
1.设随机变量（X，Y）的分布律为
012345
0
1
2
3
00.010.030.050.070.09
0.010.020.040.050.060.08
0.010.030.050.050.050.06
0.010.020.040.060.060.05
（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；
（2）求V=max（X，Y）的分布律；
（3）求U=min（X，Y）的分布律；
（4）求W=X+Y的分布律.
【解】
（1）
（2）
所以V的分布律为
V=max（X,Y）
0
1
2
3
4
5
P
0
0.04
0.16
0.28
0.24
0.28
（3）
于是
U=min（X,Y）
0
1
2
3
P
0.28
0.30
0.25
0.17
（4）类似上述过程，有
W=X+Y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P
0
0.02
0.06
0.13
0.19
0.24
0.19
0.12
0.05
2.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.
方法二：
设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则
X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,
X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.
3.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；
（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.
题20图
【解】因（X，Y）的联合概率密度为
（1）
（2）
4.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N（160，202），
从而
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