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数模
系泊系统的设计
摘要
本文研究的是系泊系统的设计问题，通过改变锚链和重物球质量等参数，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小，以使得钢桶内的水声通讯系统效果最佳。
问题一中，需要在给定了电焊锚链类型及长度和重物球质量的情况下，根据风速计算参数。
我们建立了微分受力模型，根据受力平衡和力矩平衡，利用微元法列出微分方程。
由于锚链可能存在拖地的情况，我们采用了逆推的思路，根据所有部分在竖直方向上的投影长度和水深的大小关系，首先判断锚链的情况。
在求解时，我们将微分方程化为差分形式，考虑了重物球的等效重力，利用MATLAB软件遍历钢管顶端与水平面的夹角
，进行迭代求解。
经过计算，风速为12m/s时锚链有一段拖地，四节钢管从上到下倾角依次为87.1500°、87.1500°、87.1499°、87.1499°，钢桶倾角2.8562°，锚链拖地处切线与海床夹角0.6411°，浮标吃水深度0.7381m，游动区域235.9758
，浮标偏角0.3154°；风速为24m/s时，浮标不拖地，四节钢管从上到下倾角依次为85.1000°、85.1000°、85.0999°、85.0999°，钢桶倾角4.9088°，锚链底端与海床夹角8.4828°，浮标吃水深度0.8051m，游动区域313.4057
，浮标偏角1.2579°
问题二中，需要先计算风速为36m/s时的倾斜角等参数，我们套用第一问的微分模型，求出结果。
由于钢桶倾角和锚链底端夹角过大，需要调节重物球的质量，我们利用MATLAB软件进行双重迭代，先在设定了钢管顶端与水平面夹角为
的情况下遍历所有可取的重物球的质量值，然后遍历
所有可取的角度，重复步骤。
风速为36m/s时，四节钢管从上到下倾角依次为83.4500°、83.4500°、83.4499°、83.4499°，钢桶倾角6.5605°，锚链底端与海床夹角18.9984°，浮标吃水深度0.8680m，游动区域369.1547
，浮标偏角3.1394°。
重物球质量可取1900-2100kg，此时钢桶偏角3.13°，锚链底端夹角14.12°。
问题三中，需要分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，建立最适合的系泊系统。
为此我们建立了一个多目标非线性优化模型，利用惩罚函数的方法求解最优化问题。
约束条件包括锚链底端角度小于16°和钢桶的倾角小于5°，目标包括钢桶的倾角尽量小，吃水深度尽量浅和游动区域尽量小。
最终得到在不同锚链条件下适用的风速、水流速度、海水深度范围与钢桶倾角，根据结果分析得知三号锚链的平均钢桶倾角最小，为1.9度，在风速0-36m/s，水流速度0-1.4m/s，海水深度16.5-20m范围内均可满足钢桶倾角小于5°，锚链底端与海床夹角小于16°的约束条件，且浮动范围较小，因此我们选用三号锚链，2150kg重力球作为我们的系泊系统设计方案。
关键词：
微分受力模型迭代求解多目标非线性优化模型惩罚函数
一．问题重述
题目研究的是由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成的近浅海观测网的传输节点（如图1所示）。
其中，浮标系统可简化为底面直径2m，高2m的圆柱体，质量为1000kg。
而系泊系统又是由钢管（共四节，每节长度1m，直径50mm）、重物球、电焊锚链（无档普通锚链，近浅海观测网的常用型号及其参数见附表）和特制的抗拖移锚（质量为600kg）组成。
水声通讯系统在一个密封圆柱形钢桶内（长1m，外径30cm，设备和桶的总质量为100kg），钢桶连结第4节钢管和电焊锚链。
要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，钢桶要尽量竖直以使水声通讯设备的工作效果最佳，钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）控制在5度以内。
为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
图1传输节点示意图（未考虑尺寸比例）
系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。
现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。
若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。
请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。
问题3由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。
布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。
请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2（N）
计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积（m2），v为风速（m/s）。
近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2（N）计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积（m2），v为水流速度（m/s）。
附表锚链型号和参数表
型号
长度（mm）
单位长度的质量（kg/m）
I
78
3.2
II
105
7
III
120
12.5
IV
150
19.5
V
180
28.12
表注：
长度是指每节链环的长度。
二．问题背景
为了开发海洋资源，进行海洋观测，系泊平台成为了海洋工作者的一大助力。
系泊系统主要可以分为传统的悬链线系泊系统和张紧锁系泊系统，后者相对于前者成本低，负荷小，系泊半径也更小，值得大力推广。
同时，目前的系泊材料已经从原始的、应用非常广泛的锚链，逐渐发展出了钢索、合成纤维绳、PET、尼龙、HMPE等。
合成纤维具有质量轻、不易磨损、寿命长、强度高等特点，在未来发展系泊平台，开拓海洋资源的过程中会起到相当关键的作用。
而对于水声通讯系统而言，其在海中的偏角对于工作效果影响极大，为了保证水声通讯系统在海中能够良好的工作，设计出的合适的系泊系统必须使水声通讯系统在海中偏角尽可能小[1]。
三．问题分析
问题一要求在已经给定了电焊锚链的类型、长度以及重物球的质量等数据的情况下，计算不同风速条件下的钢桶倾斜角度等数据。
首先对整个模型的整体和局部都进行受力分析，主要包括重力，在海水中的浮力，张力等。
由于重物球的体积未知，它对钢桶的拉力应该为本身的重力乘上一个系数。
我们采用微元法，对锚链进行微分，取每一段长度为ds，上一段末端的张力就是下一段顶端的张力，同时，可以将钢管看作长度较长的微分段。
根据受力平衡和力矩平衡，列出锚链的微分方程，考虑到锚链与绳索在连续性上的差异，我们将整个锚链的长度n等分，用
代替微分段长度ds，将微分方程改写为差分形式，然后利用MATLAB软件遍历钢管顶端与水平面的夹角
，利用迭代法进行求解。
由于在实际中，存在锚链的一段沉在海底的情况，此时需要从海底开始逐步向上推算，最后根据所有部分在竖直方向上的投影长度和水深的大小关系来判断是否沉底。
求解时先代入有锚链沉底的模型，若无解，再代入没有沉底的模型求解。
问题二要求先计算风速在36m/s时的钢桶和各节钢管的倾斜角度等参数，我们依然利用问题一的模型，利用微分方程、差分方程和迭代法，代入风速，求出结果。
接下来要求调节重物球的质量，使角度在要求的范围之内。
由于本问中重物球的质量未知，存在多个需要优化的量，所以我们通过MATLAB软件进行双重迭代，在假定的钢管顶端与水平面夹角
的情况下调节重物球的质量，遍历过所有可行的质量之后计算此时锚链底端与海床夹角
和钢桶偏角
，记录满足条件的解为可行解，然后遍历所有可能的钢管顶端与水平面夹角
，重复以上步骤，记录所有可行解。
最后得出重力球质量符合条件的范围。
问题三要求分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
本问可以看作一个多目标非线性规划模型，求解最优化问题。
约束条件包括锚链底端角度小于16°和钢桶的倾角小于5°，目标包括钢桶的倾角尽量小，吃水深度尽量浅和游动区域尽量小。
我们利用罚函数的方法，将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，将多个目标归一化，最后求出一个符合题目要求的最优解。
四．模型假设
1.假设钢桶的质量均匀分布，质心位于钢桶这一圆柱体的几何中心。
2.假设钢管与钢管之间的连接处可以自由转动。
3.假设海风的风向始终与海平面平行。
4.假设在整个系统在变化的过程中彼此之间的摩擦力忽略不计。
五．符号说明
G
物体的重力
T
物体间的拉力
物体在海水中受到的浮力
M
力矩
锚链底端与海床夹角
钢桶偏角
正文中其余符号均在使用前予以了详细说明
六．数据援引与说明
题中所给数据均来自于题目所给的材料、题目的题干以及附表，重力加速度g取9.8m/s2
七．模型的建立与求解
7.1问题一
在问题一的条件下，锚链在海水中的形状是一条曲线，而四节钢管之间也有不同的角度，在这样的情况下，平常的经验公式显然已经不适用了，我们决定采用微分方程的思想[2][3]，将锚链进行微分，然后对每段进行受力分析，最后通过迭代求出可行解，可行解要求满足受力平衡、力矩平衡、夹角大小等限制条件，具体示意图如下：
对于重物球，题目中没有给出它的体积，我们假设它的材质的密度为
，水的密度为
，重力减去浮力之后的合力即为
，这样合力可以等效成：
一般重物球的材质为钢铁，密度约为水的7.8倍[4]，所以可以计为：
7.1.1受力分析
首先，对各个系统的整体和局部进行受力分析，考虑的力包括物体在海水中的浮力、重力、拉力等等。
1）浮标
浮标主要受水的浮力、重力、近海风产生的力和最上的一级钢管的拉力，受力分析图如下：
2）钢桶
钢桶的受力包括浮力、重力、锚链顶端对它的拉力、钢管底端对它的拉力、重物球的重力对它的拉力等，受力分析图如下：
3）微分单元
对整个锚链进行微分之后，每个微分单元也要进行受力分析，主要为自身的重力以及它前后两单元的拉力，受力分析图如下：
4）钢桶力矩
在考虑受力平衡的同时，我们也考虑了钢桶的力矩平衡[5]，示意图如下：
假设钢桶的长度为l，有力矩平衡的方程：
5）钢管力矩
6）浮标分析
假设d为浮心到重心的距离，由力矩平衡可以得到[6]：
7.1.2微分求解
1）根据7.1.1的受力分析，可以建立关于锚链的微分方程，假设微段的长度为ds，T为锚链微元张力，
为张力与水平线夹角，dT和d
分别为张力和角度的变化量，
为每米锚链的质量，可以得到：
将两式进行化简，可以得到：
将微分方程转化为差分形式，可以得到：
假设H为水平方向的分力，有等式：
2）接着我们进行钢桶倾斜角度的公式推导，根据力矩平衡方程：
拆开后有：
化简后有：
再化简：
最后可以推得：
3）在此我们讨论一个特殊情况，即锚链有一段沉在海床上[7]：
设第i段微元恰好处于从锚链沉底到拉起的临界位置
起始点：
7.1.3编程求解
列出差分方程之后，利用MATLAB软件编程求解[8]。
我们选用迭代法，遍历所有可能角度求解，由于锚链完全伸长之后的角度为49°，为了简化计算，钢管顶端与水平面的夹角区间我们定位49°—89°，在任意的风速情况下都先代入锚链接触海床的模型中，若无解，再代入锚链没有接触海床的模型中求解，具体计算步骤如下：
A.锚链没有接触海床
1）输入各已知的参数，包括各部分的质量、体积、钢管顶端的水平张力（该力等于浮标所受的水平外力即风力）等
2）假定钢管顶端和水平面的夹角为
3）将锚链分为500节，每节锚链长s=0.0441m，根据列出的方程依次计算锚链各个节点在节点处的拉力T和与水平面的夹角
4）判断锚链最低点是否到达海底，如果到达，则存储结果，否则不进行操作
5）用
代替夹角，回到2）继续计算，在这里，我们取步长
为0.05度，依次反复迭代，直到取到所有的角度
流程图如图所示：
B.锚链有部分接触海床
1）输入各已知数，包括各部分的质量、体积、钢管顶端的水平张力（该力等于浮标所受的水平外力即风力）等
2）将锚链分为500节，每节锚链长s=0.0441m假设锚链躺在海底的节数为i
3）根据所列方程依次计算锚链各个不在海底的节点的拉力T和与水平面夹角
4）从1至200遍历锚链躺在海底的节数i，计算在竖直方向高度h=sum（s*sin
）
5）若存在i使得各部分竖直高度相加等于18米，则存储结果，否则继续遍历
6）若不存在i使得各部分竖直高度相加等于18米，说明此时锚链已无节点躺在海底，则用锚链完全拉起的模型进行分析计算。
7.1.4计算结果
1）当风速为12m/s时，锚链沉底，结果见下表：
结果
第一节钢管倾角
87.1500°
第二节钢管倾角
87.1500°
第三节钢管倾角
87.1499°
第四节钢管倾角
87.1499°
钢桶倾角
2.8562°
锚链沉底处切线与水平面夹角
0.6411°
吃水深度
0.7381m
游动区域
235.9758
浮标偏角
0.3154°
2）当风速为24m/s时，锚链不沉底，结果见下表：
结果
第一节钢管倾角
85.1000°
第二节钢管倾角
85.0999°
第三节钢管倾角
85.0999°
第四节钢管倾角
85.0998°
钢桶倾角
4.9088°
锚链底端夹角
8.4828°
吃水深度
0.8051m
游动区域
313.4057
浮标偏角
1.2579°
注：
游动区域我们取的是以锚对应到海平面的点为圆心，圆心到浮标的距离为半径的圆的面积。
吃水深度是浮标在水下的最低点到水平面的距离。
3）节点示意图
利用MATLAB软件对前文所述的可行解进行绘图，可以得到：
7.1.5合理性分析
从计算结果可以看出，当风速从12m/s增加到24m/s时，倾角幅度变大，吃水深度变深，游动范围变大，说明我们模型的计算结果符合实际情况。
7.2问题二
7.2.1风速改变后参数计算
利用第一问的公式及模型，代入风速36m/s之后可以得出需要求得参数的值，见下表：
结果
第一节钢管倾角
83.4500°
第二节钢管倾角
83.4499°
第三节钢管倾角
83.4499°
第四节钢管倾角
83.4498°
钢桶倾角
6.5605°
锚链底端夹角
18.9984°
吃水深度
0.8680m
游动区域
369.1547
浮标偏角
3.1394°
此时钢桶倾角和锚链底端与海床的夹角都不符合题目要求
7.2.2节点示意图
利用MATLAB软件对前文所述的可行解进行绘图，可以得到：
7.2.3重物球的质量
接下来要求我们调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角不超过5度，锚链末端与锚的连接处的切线方向与海床的夹角不超过16度。
本问中我们采用双重迭代法，利用MATLAB软件编程求解，钢管顶端和水平面的夹角的范围定位85°—89°，具体计算步骤如下：
1）输入各已知数，包括各部分的质量、体积、钢管顶端的水平张力（该力等于浮标所受的水平外力即风力）等
2）假定钢管顶端和水平面的夹角为
3）将锚链分为500节，每节锚链长s=0.0441m
4）调节重物球的质量m，范围为1200kg—2500kg，步长为25kg
5）根据列出的方程依次计算从锚链各个节点的拉力T和与水平面夹角
6）判断锚链最低点是否到达海底，如果到达，则存储结果
7）判断是否遍历了所有质量，若未取全，回到4），若取全，执行下一步
8）用
代替夹角，回到4）继续计算，在这里，我们取步长
为0.05度，依次反复迭代，直到取到所有的角度
流程图如图所示：
最终经过MATLAB程序计算，我们求得重物球的质量为1900kg-2100kg之间符合题目的要求。
此时钢桶偏角为3.13°，锚链底部偏角为14.12°
7.2.4合理性分析
当风速增加到36m/s时，倾角进一步增大，超过了5°这一可接受的范围，所以我们增大重物球的质量，使倾角回到合理的范围内，显然符合实际情况。
7.3问题三
本问我们建立了一个多目标非线性规划模型来求解最优化问题，题目中存在多个约束条件，求解时我们采用罚函数的方法[9]，它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题：
其中M为足够大的正数，起"惩罚"作用，称之为罚因子，F（x,M）称为罚函数。
对于某个确定的正数M,若罚函数F（x,M）的最优解x*满足有约束最优化问题的约束条件，则x*是该问题的最优解。
Min:
s.t.
取一个充分大的数M>0作为惩罚因子，构造函数
7.3.1约束条件和目标
本问中的约束条件主要为两个角度，即锚链底端与水平面的夹角要在16°以内，而钢桶的倾角要在5°以内。
本问的目标主要有，钢桶的倾角要越小越好、浮标的吃水深度要越小越好、浮标的游动区域要越小越好。
我们将多个目标进行归一化，以方便求解。
7.3.2模型改进
本问的模型中新增了水的流速这一变量，由于水流的方向和风的方向存在一个夹角，所以需要单独讨论，经过分析，这一夹角产生的影响介于水流方向与风向正向与反向之间。
假设d为浮心到重心的距离，由力矩平衡可以得到：
7.3.3求解
定义变量
，其中i可以取1-5，分别表示第1-4节钢管和钢桶的倾角。
定义变量
，其中j可以取1-500，表示锚链被分为的500个小段每段的倾角，第500个在最底端。
定义变量
，其中k可以取1-505，表示500段锚链和钢桶、四节钢管的水平位置，第505个记为浮标的位置。
Min:
s.t.
7.3.4结果
本问求得的是非线性规划模型的最优解，具体为，当选用此种锚链时，重物球的质量应取mkg，这样可以使这个系统中钢桶的平均倾角最小，而且适用于最多条件下的水深、风速和水的流速。
锚链的型号
重物球质量m
水深H（m）
风速（m/s）
水的流速（m/s）
钢桶倾角
I
2700
16-20
0-28
0-1.3
4.8°
II
2100
18-20
0-36
0-1.4
3.7°
III
2150
16.5-20
0-36
0-1.4
1.9°
IV
2100
17.1-19.1
0-36
0-1.3
4.1°
V
2200
17.3-18.9
0-36
0-1.3
4.8°
由表格可以看出，当选用III型号的锚链时，钢桶的倾角最小，所以选用III型号锚链，重物球为2150kg这种情况为最优解。
八．模型的优缺点
模型一、二
8.1.1优缺点分析
优点分析
1）本模型充分利用了力矩平衡与受力平衡两个平衡关系建立公式，经过检测发现该公式具有比仅考虑受力平衡情况下建立的公式更好的稳健性与合理性。
2）本模型考虑了在风速较小时锚链未有部分沉底与风速较大时锚链完全被拉起的情况，针对这两个情况分别用受力分析建立两个不同的模型，并设计了一个完善的算法用以确定当前风速处于何种模型状态下。
3）本模型考虑了在风速较大时由于拉力过大导致浮标倾斜的情况，并讨论了浮标倾斜时不同的力矩平衡条件。
4）在模型二的迭代求解中我们选用了先确定钢管偏角合理范围再迭代的方法，有效的缩短了迭代的时间损耗。
缺点分析
1）未考虑风向改变对浮标游动未平衡状态时游动范围的影响。
2）对于重力球体积的估算仅考虑实心钢材一种情况，不够全面。
8.1.2灵敏度分析
依据模型一、二解出结果，我们发现浮标偏角变化较小，并对受力分析影响也较小，基本不影响钢桶偏角，而在风速变化时钢桶偏角变化较大。
因而该模型对于浮标偏角较迟钝而对风速比较敏感。
8.1.3误差分析
1）假定所分析物体均为规则物体，与实际情况可能存在偏差。
2）对于重力球体积的预测为实心钢球，与实际情况可能存在偏差。
3）锚链发生弹性形变时引起的误差
模型三
8.2.1优缺点分析
优点分析
1）本模型采用罚函数求解法求解，可以有效的求出多目标非线性优化问题的最优解。
2）考虑到了风向与水流夹角的影响处在0°~180°之间，因而可以将三维问题转化为二维问题，有效的降低了求解的难度。
缺点分析
未考虑风速变化与水流流速变化时造成的影响。
8.2.2灵敏度分析
依据求解最优解的返回值可知，本模型最优目标对于风速较敏感，而对于海水深度变化的影响较为迟钝。
8.2.3误差分析
1）水流在不同深度流速变化引起的误差
2）风向与水流夹角引起的误差
3）锚链发生弹性形变时引起的误差
九．参考文献
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一十．附录
10.1第一问代码
forsi=89:
-0.05:
49
%h0与si关系式
w1=12000;
l=1;
v=24;
h0=（2.5*（v^2）*tand（si）+10000）./（10250*pi+1.25*（v^2）*tand（si））;
T
（1）=（10250*pi*h0-10000）/cosd（si）;
s=0.0441;
fai
（1）=si;
x
（1）=0;
y
（1）=0-h0;
h1=l*sind（fai
（1））;
fori=2:
4
T（i）=T（i-1）-（100-10250*0.025*0.025*pi）*sind（fai（i-1））;
fai（i）=fai（i-1）-（（100-10250*0.025*0.025*pi）*cosd（fai（i-1）））/T（i）;
h1=h1+l*sind（fai（i））;
x（i）=x（i-1）-l*cosd（fai（i））;
y（i）=y（i-1）-l*sind（fai（i））;
end
T（5）=T（4）-w1*s
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