九年级数学上册知识点归纳北师大版.docx
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九年级数学上册知识点归纳北师大版
九年级数学上册知识点归纳
（八下前情回顾※平行四边的定义:
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形
.....,平行四边形不相邻的
两顶点连成的线段叫做它的对角线
...。
※平行四边形的性质:
平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形
1菱形的性质与判定
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:
具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定
※矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫矩形
..。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:
具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形,有两条对称轴
※矩形的判定:
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定
正方形的定义:
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形,有两条对称轴
※正方形常用的判定:
有一个内角是直角的菱形是正方形;
邻边相等的矩形是正方形;对角线相等的菱形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示:
※梯形定义:
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
第二章一元二次方程
1认识一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02
=++cbxax（a、b、c为常数,a≠0的形式,这样的方程叫一元二次方程......
。
※把02
=++cbxax（a、b、c为常数,a≠0称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。
2用配方法求解一元二次方程
①配方法<即将其变为0（2=+mx的形式>
※配方法解一元二次方程的基本步骤:
①把方程化成一元二次方程的一般形式;
②将二次项系数化成1;③把常数项移到方程的右边;④两边加上一次项系数的一半的平方;⑤把方程转化成0（2=+mx的形式;
鹏翔教图3
⑥两边开方求其根。
3用公式法求解一元二次方程
②公式法a
ac
bbx242-±-=（注意在找abc时须先把方程化为一般形式
4用因式分解法求解一元二次方程
③分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”
5一元二次方程的根与系数的关系
※根与系数的关系:
当b2
-4ac>0时,方程有两个不等的实数根;
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根。
※如果一元二次方程02
=++cbxax的两根分别为x1、x2,则有:
a
cxxa
bxx=
⋅-
=+2121。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用:
（1已知方程的一根,求另一根;
（2不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称式的值,特别注意以下公式:
①2122122212（xxxxxx-+=+②
2
12
12111xxxxxx+=
+③212212214（（xxxxxx-+=-④21221214（||xxxxxx-+=
-⑤||22（|||（|2121221221xxxxxxxx+-+=+
⑥（3（21213213
231xxxxxxxx+-+=+⑦其他能用21xx+或21xx表达的代数式。
（3已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:
0（2122
1=++-xxxxxx
（4已知两数x1、x2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程0（2122
1=++-xxxxxx
的根
6应用一元二次方程
※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:
①设未知数（在设未知数时,大多数情况只要设问题为x;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑;②寻找等量关系（一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程。
※处理问题的过程可以进一步概括为:
解答检验
求解
方程抽象分析问题
→→第三章图形的相似
1成比例线段一.线段的比
※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比
AB:
CD=m:
n,或写成
n
mBA=.※2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即d
c
ba=,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3.注意点:
①a:
b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:
b≠b:
a,
ba与a
b
互为倒数;⑤比例的基本性质:
若dcba=,则ad=bc;若ad=bc,则d
c
ba=
2平行线分线段成比例
※1.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2,l1//l2//l3,则EF
BC
DEAB=.
二.黄金分割
※1.如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
AC
BC
ABAC=
那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.1:
618.02
1
:
≈-=ABAC※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.3相似多边形
¤1.一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※1.在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:
证两个相似三角形,与证两个全等三角形一
样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
_图1
_B
_C
_A
_图2
_l_
3_l_2_l_1
※4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5.相似三角形周长的比等于相似比.※6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.4探索三角形相似的条件※1.相似三角形的判定方法:
基本定理:
平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线相交的直线,所
截得的三角形与原三角形相似.
※2.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2,l1//l2//l3,则
EF
BC
DEAB.※3.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.5相似三角形的判定定理的证明6利用相似三角形测高
7相似三角形的性质
8图形的位似
第四章投影与视图
A三视图
•主视图——从正面看到的图左视图——从左面看到的图俯视图——从上面看到的图•画物体的三视图时,要符合如下原则:
大小:
长对正,高平齐,宽相等.
•虚实:
在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.B投影
•物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.•太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
•在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.
•物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线（垂直于投影面的平行光线下的平行投影.
新版（北师大版）•探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为中心投影•皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。
C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。
...眼睛所在的位置称为视点，由视点发出的光线称为视线，眼睛看不到的地方称为盲区第五章知识点1反比例函数的定义一般地，形如y=反比例函数k（k为常数，k¹0）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
x⑴x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是x¹0的一切实数，函数值的取值范围是y¹0；⑶比例系数k¹0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：
①y=k（k¹0），x-1②y=kx（k¹0），③x×y=k（定值）（k¹0）；⑸函数y=比例函数。
（k为常数，k¹0）是反比例函数的一部分，当k=0时，y=例函数y=kk（k¹0）与x=（k¹0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反yxk，就不是反比例函数了，由于反比xk（k¹0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定x反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y=k（k¹0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的x值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，-6-
新版（北师大版）它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x¹0，函数值y¹0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：
⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
反比例函数y=k>0k（k¹0）xk<0k的符号图像①x的取值范围是x¹0，y的取值范围是y¹0性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
①x的取值范围是x¹0，y的取值范围是y¹0②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
注意：
描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内„„”否则，笼统地说，当k>0时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
如y=☆反比例函数y=k在第一、第三象限，则可知k>0。
xk（k¹0）中比例系数k的绝对值k的几何意义。
x-7-如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，
新版（北师大版）则k=xy=x×y=PF×PE=S矩形OEPF☆反比例函数y=靠近坐标原点。
☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。
kkk（k¹0）中，k越大，双曲线y=越远离坐标原点；k越小，双曲线y=越xxx第六章相关知识点链接：
频数与频率概率的进一步认识用树状图或表格求概率频数：
在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：
每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
概率的意义和大小：
概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。
必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。
【知识点1】频率与概率的含义在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=频数总次数把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。
【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。
我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。
【只是点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）-8-
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