《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习必修部分 开卷速查11 函数与方程.docx
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《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习必修部分开卷速查11函数与方程
开卷速查（十一） 函数与方程
A级 基础巩固练
1．[2014·北京]已知函数f（x）＝
－log2x.在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,4） D.（4，＋∞）
解析：
因为f
（1）＝6－log21＝6＞0，f
（2）＝3－log22＝2＞0，f（4）＝
－log24＝－
＜0，所以函数f（x）的零点所在区间为（2,4），故选C.
答案：
C
2．若f（x）是奇函数，且x0是y＝f（x）＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点（ ）
A．y＝f（－x）ex－1 B.y＝f（x）e－x＋1
C．y＝exf（x）－1 D.y＝exf（x）＋1
解析：
答案：
C
3．函数f（x）＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是（ ）
A．（0,1） B.（1,2）
C．（2,3） D.（3,4）
解析：
依题意得f（0）·f
（1）＞0，f
（1）·f
（2）＞0，f
（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＞0，故f（x）的零点所在区间是（2,3），故选C.
答案：
C
4．已知函数y＝f（x）的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6
则函数y＝f（x）在区间[1,6]上的零点至少有（ ）
A．2个 B.3个
C．4个 D.5个
解析：
依题意，f
（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，故函数y＝f（x）在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B.
答案：
B
5．若方程lnx＋x－5＝0在区间（a，b）（a，b∈Z，且b－a＝1）上有一实根，则a的值为（ ）
A．5 B.4
C．3 D.2
解析：
设函数f（x）＝lnx＋x－5（x＞0），则f′（x）＝
＋1＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，因为f（3）·f（4）＝（ln3＋3－5）（ln4＋4－5）＝（ln3－2）（ln4－1）＜0，故函数f（x）在区间（3,4）上有一零点，即方程lnx＋x－5＝0在区间（3,4）上有一实根，所以a＝3.
答案：
C
6．[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f（x）＝x－[x]（x∈R）、g（x）＝log4（x－1），则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是（ ）
A．1 B.2
C．3 D.4
解析：
作出函数f（x）与g（x）的图像如图所示，发现
有2个不同的交点，故选B.
答案：
B
7．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．
解析：
因为f（x）＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f（0）＜0，f（0.5）＞0，则f（x）在x∈（0,0.5）上存在零点，且第二次验证时需验证f（0.25）的符号．
答案：
（0,0.5） f（0.25）
8．已知函数f（x）＝
若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是__________．
解析：
画出f（x）＝
的图像，如图．
由函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，结合图像得：
0答案：
（0,1）
9．定义在R上的奇函数f（x）满足：
当x>0时，f（x）＝2014x＋log2014x，则在R上，函数f（x）零点的个数为__________．
解析：
函数f（x）为R上的奇函数，因此f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝2014x＋log2014x在区间
内存在一个零点，又f（x）为增函数，因此在（0，＋∞）内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在（－∞，0）内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.
答案：
3
10．是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
解析：
∵Δ＝（3a－2）2－4（a－1）＝9a2－16a＋8＝9
2＋
＞0，
∴若实数a满足条件，则只需f（－1）·f（3）≤0即可．
f（－1）·f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）·（9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1）≤0.
所以a≤－
或a≥1.
检验：
（1）当f（－1）＝0时，a＝1.所以f（x）＝x2＋x.
令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
（2）当f（3）＝0时，a＝－
，
此时f（x）＝x2－
x－
.
令f（x）＝0，即x2－
x－
＝0，解之得x＝－
或x＝3，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－
.
综上所述，存在实数a，其范围是a＜－
或a＞1.
B级 能力提升练
11．[2014·湖北]已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（ ）
A．{1,3} B.{－3，－1,1,3}
C．{2－
，1,3} D.{－2－
，1,3}
解析：
当x≥0时，函数g（x）的零点即方程f（x）＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；
当x＜0时，由f（x）是奇函数得－f（x）＝f（－x）＝x2－3（－x），即f（x）＝－x2－3x.由f（x）＝x－3得x＝－2－
（正根舍去）．故选D.
答案：
D
12．[2014·天津]已知函数f（x）＝
若函数y＝f（x）－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为__________．
解析：
由题意，函数y＝f（x）－a|x|恰有4个零点，得函数y1＝f（x）与y2＝a|x|的图像有4个不同的交点．在同一坐标系中作出两个函数的图像如图所示（a显然大于0）．由图可知，当y2＝－ax（x＜0）与y1＝－x2－5x－4（－4＜x＜－1）相切时，x2＋（5－a）x＋4＝0有两个相等的实数根，则（5－a）2－16＝0，解得a＝1（a＝9舍去），所以当x＜0时，y1与y2的图像恰有3个不同的交点．显然，当1＜a＜2时，两个函数的图像恰有4个不同的交点，即函数y＝f（x）－a|x|恰有4个零点．
答案：
（1,2）
13．已知二次函数f（x）的最小值为－4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函数f（x）的解的式；
（2）求函数g（x）＝
－4lnx的零点个数．
解析：
（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴f（x）＝a（x＋1）（x－3）＝ax2－2ax－3a，且a＞0.
∴f（x）min＝f
（1）＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3.
（2）∵g（x）＝
－4lnx＝x－
－4lnx－2（x＞0），
∴g′（x）＝1＋
－
＝
.
当x变化时，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：
x
（0,1）
1
（1,3）
3
（3，＋∞）
g′（x）
＋
0
－
0
＋
g（x）
极大值
极小值
当0＜x≤3时，g（x）≤g
（1）＝－4＜0.
又因为g（x）在（3，＋∞）单调递增，因而g（x）在（3，＋∞）上只有1个零点，故g（x）在（0，＋∞）只有1个零点．
14．已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋
（x＞0）．
（1）若g（x）＝m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．
解析：
（1）方法一：
∵g（x）＝x＋
≥2
＝2e，
等号成立的条件是x＝e，∴g（x）的值域是[2e，＋∞），
因而只需m≥2e，则g（x）＝m就有零点．
方法二：
作出g（x）＝x＋
（x＞0）的图像如图所示，
可知若使g（x）＝m有零点，则只需m≥2e.
方法三：
由g（x）＝m得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故
等价于
故m≥2e.
（2）方法一：
若g（x）－f（x）＝0有两相异的实根，
即g（x）与f（x）的图像有两个不同的交点，
作出g（x）＝x＋
（x＞0）的图像．
∵f（x）＝－x2＋2ex＋m－1
＝－（x－e）2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，
g（x）与f（x）的图像有两个交点，即g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．
方法二：
令F（x）＝g（x）－f（x），
则由已知F（x）＝g（x）－f（x）有两个零点．
又F′（x）＝g′（x）－f′（x）＝1－
＋2x－2e
＝
＝
，
∵x2＞0恒成立，2x2＋x＋e＞0恒成立，
∴当x＞e时F′（x）＞0，x＜e时F′（x）＜0，故F（x）在（0，e）上为减函数，在（e，＋∞）上为增函数．
∴F（x）＝g（x）－f（x）在x＝e处取得极小值，
若F（x）＝g（x）－f（x）有两个零点，则F（e）＜0.
即e＋
＋e2－2e·e－m＋1＜0，
即m＞－e2＋2e＋1.
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