新湘教版必修1高中数学第二章章末小结与测评.docx
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新湘教版必修1高中数学第二章章末小结与测评
章末小结与测评
比较大小问题
利用指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质比较大小是指数函数、对数函数、幂函数应用的重要体现，是学生必备的一项基本数学技能，也是高考考查内容之一．其基本方法是：
将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．
[例1] 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．aC．b[解析] 因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b[答案] C
函数的定义域、值域问题
定义域、值域是函数的两个重要要素，也是高考的一个热点，求函数的定义域时，要找出使解析式有意义的式子，常见的有：
分母不为零；偶次根式中，被开方的式子非负；零的零次幂和负数次幂无意义等．对于值域的求法，极其灵活，常用的方法有：
直接观察法、分离系数法、换元法、不等式法、函数单调法、数形结合法等．
[例2] 函数f（x）＝的定义域为______．
[解析] 要使f（x）有意义，须满足⇒x≥3.
[答案] [3，＋∞）
[例3] 已知函数f（x）＝ax＋b（a>0，a≠1）的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
[解析] 当a>1时，函数f（x）＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．
当0[答案] －
[例4] 若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是________．
[解析] 当x≤2时，y＝－x＋6≥4.
∵f（x）的值域为[4，＋∞），
∴当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，∴loga2≥1，
∴1＜a≤2；
当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．
故a∈（1,2]．
[答案] （1,2]
函数的零点与方程根的关系应用
函数与方程的思想密切相关，相互转化，渗透到中学数学的各个领域，在解题中存在着广泛的应用，函数的零点实质上就是对应的方程的根，方程的根的问题可以借助于相应函数的性质来解决，而函数的零点也可以由对应方程的根进行研究．
1．函数零点的个数问题：
[例5] 已知函数f（x）＝则函数f（x）的零点为（ ）
A.，0B．－2,0
C.D．0
[解析] 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．
综上所述，函数零点为0.
[答案] D
2．根的分布问题：
[例6] 已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
若方程两根均在区间（0,1）内，求m的取值范围．
[解] 令f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1，
若抛物线与x轴的交点落在区间（0,1）内，如图所示．则
⇒
所以－＜m≤1－.
函数模型的应用
把握函数模型的应用实例类型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：
1.利用给定的函数模型解决实例问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．
[例7] 某商场经营一批进价30元每件的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x/元
30
40
45
50
日销售量y/件
60
30
15
0
（1）根据表中提供的数据在坐标系中描出实数对（x，y）对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f（x）；
（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
[解]
（1）实数对（x，y）对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数．
设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则
解得
∴f（x）＝－3x＋150,30≤x≤50.
（2）P＝（x－30）（－3x＋150）
＝－3x2＋240x－4500,30≤x≤50，
∴P为开口向下的二次函数，
对称轴x＝－＝40，且40∈[30,50]．
∴当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是（ ）
A．f（x）＝lnx B．f（x）＝
C．f（x）＝|x|D．f（x）＝ex
解析：
选A 由y＝可得定义域是x>0.f（x）＝lnx的定义域x>0；f（x）＝的定义域是x≠0；f（x）＝|x|的定义域是x∈R；f（x）＝ex定义域是x∈R.
2．若幂函数f（x）＝xm－1在（0，＋∞）上是减函数，则（ ）
A．m>1B．m<1
C．m＝1D．无法确定
解析：
选B 由α<0时，幂函数在（0，＋∞）内单调递减可得m－1<0，解得m<1.
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝yy＝x，x>2，则A∩B等于（ ）
A.B.
C.D．∅
解析：
选A 当x>1时，log2x>log21＝0，
当x>2时0∴A＝（0，＋∞），B＝，∴A∩B＝.
4．函数y＝log2的图象（ ）
A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称
解析：
选A 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（－2,2）关于原点对称，又f（－x）＝－f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称．
5．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：
每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水（ ）
A．10吨B．13吨
C．11吨D．9吨
解析：
选D 设该职工该月实际用水为x吨，易知x＞8.
则水费y＝16＋2×2（x－8）＝4x－16＝20，∴x＝9.
6．设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）＝（ ）
A．3B．6
C．9D．12
解析：
选C ∵－2<1，
∴f（－2）＝1＋log2（2＋2）＝1＋log24＝1＋2＝3.
∵log212>1，∴f（log212）＝2log212－1＝＝6.
∴f（－2）＋f（log212）＝3＋6＝9.
7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝x，若f（x0）＝－9，则x0的值为（ ）
A．－2B．2
C．－1D．1
解析：
选B ∵当x<0时，f（x）＝x>0，
而f（x0）＝－9<0，
∴x0>0，则－x0<0，∴f（－x0）＝－x0，
又f（x）为奇函数，∴f（－x0）＝－f（x0）．
∴f（x0）＝－f（－x0）＝－－x0
＝－9⇒3x0＝32⇒x0＝2.
8．设a＝log2，b＝log23，c＝0.3，则（ ）
A．aC．b解析：
选B 由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<0,01.
9．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝xa，h（x）＝logax，其中a>0且a≠1，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，则正确的是（ ）
解析：
选B 本题综合考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，分a>1和010．已知函数f（x）是奇函数，当x>0时，f（x）＝lnx，则f的值为（ ）
A.B．－
C．－ln2D．ln2
解析：
选C 设x<0，则－x>0，于是有f（－x）＝ln（－x）．因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）＝ln（－x），所以f（x）＝－ln（－x），x<0.所以f（x）＝则f＝f（－2）＝－ln2.
11．已知f（x）＝log（x2－ax＋3a）在区间[2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4,4）B．[－4,4）
C．（－4,4]D．[－4,4]
解析：
选C ∵g（x）＝x2－ax＋3a在[，＋∞）上单调递增，故≤2⇒a≤4.又g
（2）＝22－2a＋3a>0⇒a>－4.
12．（2017·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），则（ ）
A．f（x）在（0,2）单调递增
B．f（x）在（0,2）单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的图象关于点（1,0）对称
解析：
选C 由题易知，f（x）＝lnx＋ln（2－x）的定义域为（0,2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln[－（x－1）2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f（x）＝lnx＋ln（2－x）在（0,1）单调递增，在（1,2）单调递减，所以排除A、B；
又f＝ln＋ln＝ln，
f＝ln＋ln＝ln，
所以f＝f＝ln，所以排除D.故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．若xlog23＝1，则f（x）＝3x＋9x的值为________．
解析：
由xlog23＝1得x＝＝log32，
∴f（x）＝3log32＋9log32＝2＋（3log32）2＝2＋4＝6.
答案：
6
14．若函数f（x）＝lg（－x）为奇函数，则实数a的值为________．
解析：
∵f（x）为奇函数，
∴f（－x）＋f（x）＝0，即lg（＋x）＋lg（－x）＝0，
∴lg[（x2＋a）－x2]＝0⇒lga＝0⇒a＝1.
答案：
1
15．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a）若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝______.
解析：
可知A＝（0,4]，若A⊆B即（0,4]⊆（－∞，a），
则a>4，而a的取值范围为（c，＋∞），∴c＝4.
答案：
4
16．已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝log2（x＋1），则f（－2018）＋f（2019）的值为________．
解析：
f（－2018）＝f（2018）＝f（0＋2×1009）＝f（0），
f（2019）＝f（1＋2×1009）＝f
（1），
∴f（－2018）＋f（2019）＝log21＋log22＝0＋1＝1.
答案：
1
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）求值：
（1）0＋2－2·|－0.064
－
；
（2）（log32＋log92）·（log43＋log83）＋（log33
）2＋ln－lg1.
解：
（1）原式＝1＋×－＝－.
（2）原式＝·＋＋－0
＝·＋＝＋＝2.
18．（本小题满分12分）设函数f（x）＝ax2＋（b－8）x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
（1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域是[0,1]时，求函数f（x）的值域．
解：
（1）因为f（x）的两个零点是－3和2，
所以函数图象过点（－3,0），（2,0），
所以有9a－3（b－8）－a－ab＝0，①
4a＋2（b－8）－a－ab＝0，②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a（a＋8）＝0，即a2＋3a＝0.
因为a≠0，a＝－3，所以b＝a＋8＝5.
所以f（x）＝－3x2－3x＋18.
（2）由
（1）得f（x）＝－3x2－3x＋18＝－32＋，图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
所以函数f（x）在[0,1]上为单调递增函数，
所以fmin（x）＝f
（1）＝12，fmax（x）＝f（0）＝18，
所以函数f（x）的值域是[12,18]．
19．（本小题满分12分）设a>0，f（x）＝＋是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
解：
（1）因为f（x）＝＋是R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），即＋＝＋，故（ex－e－x）＝0，又ex－e－x不可能恒为0，所以当－a＝0时，f（x）＝f（－x）恒成立，故a＝1.
（2）证明：
在（0，＋∞）上任取x1则f（x1）－f（x2）＝e
＋
－e
－
＝（e
－e
）＋
＝（e
－e
）＋（e
－e
）·
＝
，
又e>1，x1>0，x2>0，所以1，
所以e
－e
<0，e
e
－1>0，
故f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝3x的反函数经过点（18，a＋2），设g（x）＝3ax－4x的定义域为区间[－1,1]，
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）＝m有解，求m的取值范围．
解：
（1）∵f（x）的反函数过点（18，a＋2）．
∴f（x）的图象过点（a＋2,18）．
∴f（a＋2）＝3a＋2＝18，∴3a＝2，
∴g（x）＝2x－4x，x∈[－1,1]．
（2）g（x）＝－（2x）2＋2x＝－2＋，
∵－1≤x≤1∴≤2x≤2，
设2x＝t，可知－2＋在t∈上单调递减，
∴当t＝时，g（x）取最大值为，
t＝2时，g（x）取最小值为－2.
要使方程g（x）＝m有解，
只要使m∈，
故m的取值范围为.
21．（本小题满分12分）某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p（件）与销售价格x（元）的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．
（1）写出周销售量p（件）与销售价格x（元）的函数关系式；
（2）写出利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式；
（3）当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？
并求出最大周利润．
解：
（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p＝ax＋b，
则∴a＝－2，b＝50.
∴p＝－2x＋50，
同理得，当20＜x≤28时，p＝－x＋30，
所以p＝
（2）当12≤x≤20时，
y＝（x－12）（－2x＋50）－20＝－2x2＋74x－620；
当20＜x≤28时，y＝（x－12）（－x＋30）－20＝－x2＋42x－380.
∴y＝
（3）当12≤x≤20时，y＝－2x2＋74x－620，
∴x＝时，y取得最大值.
当20＜x≤28时，y＝－x2＋42x－380，
∴x＝21时，y取得最大值61.
∵＞61，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.
22．（本小题满分12分）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2.2]＝2，已知0≤x<4.
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）记函数g（x）＝x－f（x），在平面直角坐标系中作出函数g（x）的图象；
（3）若方程g（x）－loga＝0（a>0，且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．
解：
（1）f（x）＝
（2）g（x）＝x－f（x）＝图象如图所示．
（3）方程g（x）－loga＝0有且仅有一个实根等价于g（x）与h（x）＝loga的图象有且仅有一个交点，作出函数图象如图所示．
由图象可知当0＜a＜1时，h
（1）＝loga≥1＝logaa，
解得≤a＜1；当a＞1时，h
（2）＝loga＞1＝logaa或
解得1＜a＜或＜a≤.
综上，a的取值范围是∪∪.
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