③，⑤均错误．
4．在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________．
答案 7或8
解析 在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，
∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3（a1＋6d），∴a1＝－7d，
∴Sn＝n（－7d）＋d＝（n2－15n），
∴n＝7或8时，Sn取最大值．
知识点三等差数列的综合问题
5．正项数列{an}，a1＝1，前n项和Sn满足Sn·－Sn－1·＝2（n≥2），则a10＝（ ）
A．72B．80C．90D．82
答案 A
解析 由Sn·－Sn－1·＝2（n≥2），两边同除以，得－＝2；而S1＝a1＝1，∴＝1＋2（n－1）＝2n－1，∴Sn＝4n2－4n＋1；再根据an＝Sn－Sn－1，得an＝8n－8，所以a10＝8×10－8＝72．
6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为（ ）
A．8B．7C．6D．5
答案 D
解析 S奇＝6a1＋×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋×2d＝5（a1＋5d）＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5．
7．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为（ ）
A．a3＋a5B．a2＋2a10
C．a20＋dD．a12＋a9
答案 D
解析 ∵S20＝×20＝10（a1＋a20），∴M＝a1＋a20＝a12＋a9．故选D．
8．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若－＝100，则d的值为（ ）
A．B．C．10D．20
答案 B
解析 由等差数列{an}可得＝a1＋d＝n＋为等差数列，∵－＝100，
∴×2017＋a1－d－＝100，
∴10d＝1，解得d＝．
9．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2（n∈N*），则当n≥2时，下列不等式成立的是（ ）
A．Sn＞na1＞nanB．Sn＞nan＞na1
C．na1＞Sn＞nanD．nan＞Sn＞na1
答案 C
解析 解法一：
由an＝
解得an＝5－4n．
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n．∴nan＝5n－4n2．
∵na1－Sn＝n－（3n－2n2）＝2n2－2n＝2n（n－1）＞0，
Sn－nan＝3n－2n2－（5n－4n2）＝2n2－2n＞0．
∴na1＞Sn＞nan．
解法二：
∵an＝5－4n，∴当n＝2时，Sn＝－2，
na1＝2，nan＝－6，∴na1＞Sn＞nan．
易错点忽略等差数列前n项和的形式特征
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：
a1>0，S11＝S18．则当n为何值时Sn最大？
易错分析 解答本题时容易忽略数列中a15＝0，而导致漏解．
解 解法一：
由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，
即a1＝－14d>0，所以d<0．
构建不等式组
即解得14≤n≤15．
故当n＝14或n＝15时Sn最大．
解法二：
由S11＝S18知，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝n－2－d．
由于n∈N*，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．
解法三：
由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0．又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．
一、选择题
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，Sk＋2－Sk＝36，则k的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
答案 A
解析 由a1＝1，a3＝5，可得公差d＝＝2，又Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2a1＋（2k＋1）d＝4k＋4＝36，解得k＝8．故选A．
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案 C
解析 由题意得S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3．
或由解方程组求得d＝3．故选C．
3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn（ ）
A．有最大值且是整数B．有最小值且是整数
C．有最大值且是分数D．无最大值和最小值
答案 B
解析 易知数列{2n－19}的通项an＝2n－19，
∴a1＝－17，d＝2．∴该数列是递增等差数列．
令an＝0，得n＝9．
∴a1∴该数列前n项和有最小值，为S9＝9a1＋d＝－81．故选B．
4．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是（ ）
A．a8B．a9C．a10D．a11
答案 D
解析 S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，
又a1＝－5，由ak＝－5＋2（k－1）＝15，得k＝11．
5．已知数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（ ）
A．500B．600C．700D．800
答案 B
解析 由题意，可知公差最大值时，M最大，公差最小时，m最小，
可得a1＝1，a2＝5，此时公差d＝4是最大值，
M＝S15＝1×15＋×4＝435，
a2＝5，a5＝8，此时d＝1，
m＝S15＝4×15＋×1＝165．
M＋m＝435＋165＝600．
二、填空题
6．对于两个等差数列{an}和{bn}，有a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和S100为________．
答案 10000
解析 显然{an＋bn}仍是等差数列，
且（a1＋b1）＋（a100＋b100）＝200，
则S100＝＝10000．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．
答案 4
解析 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴即
∴
∴≤a4≤3＋d，5＋3d≤6＋2d，d≤1，
∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4．
8．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*．若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
答案 110
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．
a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，
∴解得d＝－2，a1＝20．
∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110．
三、解答题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝24，S11＝0，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．
解
（1）依题意，∵a3＝24，S11＝0，
∴a1＋2d＝24，a1＋5d＝0，
解之得a1＝40，d＝－8，∴an＝48－8n．
（2）由
（1）知，a1＝40，an＝48－8n，
∴Sn＝＝－4n2＋44n．
（3）由
（2）有，Sn＝－4n2＋44n＝－4（n－5．5）2＋121，
故当n＝5或n＝6时，Sn最大，且Sn的最大值为120．
10．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝（an＋1）2，且an＞0．
（1）求a1，a2；
（2）求{an}的通项公式；
（3）令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
解
（1）a1＝S1＝（a1＋1）2⇒a1＝1．
a1＋a2＝（a2＋1）2⇒a2＝3．
（2）当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝[（an＋1）2－（an－1＋1）2]
＝（a－a）＋（an－an－1），
由此得（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0．
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2．
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1．
（3）∵bn＝20－an＝21－2n，
∴bn－bn－1＝－2，b1＝19．
∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列．
∴Tn＝19n＋×（－2）＝－n2＋20n．
故当n＝10时，Tn的最大值为100．
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