线性代数网络教学阶段测试五.docx
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线性代数网络教学阶段测试五
线性代数网络教学阶段测试五
一、单项选择题(共20题)
1.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
2.n元实二次型正定的充分必要条件是( )
A.该二次型的秩=n
B.该二次型的负惯性指数=n
C.该二次型的正惯性指数=它的秩
D.该二次型的正惯性指数=n
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数=n
3.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )
A.A-1正定
B.A没有负的特征值
C.A的正惯性指数等于n
D.A合同于单位阵
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In,两边求逆得到
C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=In
即A合同于In,A正定,因此不应选A。
C是A正定的定义,也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n,故A是正定阵,于是只能B。
事实上,一个矩阵没有负的特征值,但可能有零特征值,而正定阵的特征值必须全是正数。
8.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A-4E|=( )
A.2
B.-6
C.6
D.24
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3
∴|λE-A|展开式含有三个因子乘积:
(λ-1)(λ-2)(λ-3)
∵|λE-A|展开式λ3项系数为1
∴|λE-A|=(λ-1)(λ-2)(λ-3)
∵A为3阶矩阵
∴|A-λE|=(-1)3|λE-A|=(-1)3(λ-1)(λ-2)(λ-3)
将4代入上式得到-6。
9.设
( )
A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.
10.A为三阶矩阵,
为它的三个特征值.其对应的特征向量为
.设
,则下列等式错误的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
11.设A,B为正定阵,则( )
A.AB,A+B都正定
B.AB正定,A+B非正定
C.AB非正定,A+B正定
D.AB不一定正定,A+B正定
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】∵A、B正定
∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX>0;同时XTBX>0。
因此A+B正定,AB不一定正定,甚至AB可能不是对称阵。
12.设A是n阶矩阵,C是n阶正交阵,且B=CTAC,则下述结论( )不成立。
A.A与B相似
B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值
D.A与B有相同的特征向量
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】∵C是正交阵,所以CT=C-1,B=C-1AC,因此A与B相似,A对。
C是正交阵|C|不等于0,CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换,A与B等价,B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值,C对。
(λE-A)X=0,(λE-B)X=0是两个不同的齐次线性方程组,非零解是特征向量,一般情况这两个方程的非零解常常不同,所以只有D不对,选D。
13.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵,那么A的特征值可能是( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】因为实对称矩阵的特征值都是实数,故A,C都不正确;又因为正定矩阵的特征值均为正数,故B也不正确;应用排除法,知答案为D.
14.下列命题错误的是( )
A.属于不同特征值的特征向量必线性无关
B.属于同一特征值的特征向量必线性相关
C.相似矩阵必有相同的特征值
D.特征值相同的矩阵未必相似
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】属于同一特征值的特征向量未必线性相关,比如单位阵的特征值全是1,但它有n个线性无关的特征向量,因此应选择B。
15.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy,则矩阵A与B( )
A.一定合同
B.一定相似
C.即相似又合同
D.即不相似也不合同
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy,即B=PTAP,所以矩阵A与B一定合同。
只有当P是正交矩阵时,由于PT=P-1,所以A与B即相似又合同。
16.二次型
的矩阵为( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
17.设
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】主对角线元素对应x1,x2,x3平方项系数:
1,1,1。
a13和a31系数的和对应x1x3的系数2
18.二次型
的矩阵为( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵的定义
19.实对称矩阵A的秩等于r,又它有t个正特征值,则它的符号差为( )
A.r
B.t-r
C.2t-r
D.r-t
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】A的正惯性指数为t,负惯性指数为r-t,因此符号差等于2t-r。
20.设A的特征值为1,-1,向量α是属于1的特征向量,β是属于-1的特征向量,则下列论断正确的是( )
A.α和β线性无关
B.α+β是A的特征向量
C.α与β线性相关
D.α与β必正交
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】属于不同特征值的特征向量必线性无关,因此选择A。
一、单项选择题(共20题)
1.设
( )
A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.
2.二次型
的矩阵为( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵的定义
3.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy,则矩阵A与B( )
A.一定合同
B.一定相似
C.即相似又合同
D.即不相似也不合同
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy,即B=PTAP,所以矩阵A与B一定合同。
只有当P是正交矩阵时,由于PT=P-1,所以A与B即相似又合同。
4.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵,那么A的特征值可能是( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】因为实对称矩阵的特征值都是实数,故A,C都不正确;又因为正定矩阵的特征值均为正数,故B也不正确;应用排除法,知答案为D.
5.设矩阵
相似.则下列结论错误的是( )
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.
6.设A,B为正定阵,则( )
A.AB,A+B都正定
B.AB正定,A+B非正定
C.AB非正定,A+B正定
D.AB不一定正定,A+B正定
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】∵A、B正定
∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX>0;同时XTBX>0。
因此A+B正定,AB不一定正定,甚至AB可能不是对称阵。
7.n元实二次型正定的充分必要条件是( )
A.该二次型的秩=n
B.该二次型的负惯性指数=n
C.该二次型的正惯性指数=它的秩
D.该二次型的正惯性指数=n
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数=n
8.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值,λ1≠λ2,且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量,当( )时,x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。
A.k1=0且k2=0
B.k1≠0且k2≠0
C.k1·k2=0
D.k1≠0而k2=0
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】A的特征向量不能是零向量,所以k1、k2不同时为零,所以A、C不对;x1、x2是两个不同的方程组的解,两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解,所以A的特征向量不选B。
选D是因为k2=0,k1≠0,x=k1x1仍然是A的特征向量。
9.
的一个特征值.则下列结论错误的是( )
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】根据特征值,特征向量的定义和性质判断A错误.
10.二次型
的矩阵为( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
11.f(x1,x2,x3)=x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】x1,x2,x3平方项系数对应主对角线元素:
1,0,4。
x1x2系数-2,对应a12和a21系数的和,a12=-1,a21=-1。
12.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A-4E|=( )
A.2
B.-6
C.6
D.24
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3
∴|λE-A|展开式含有三个因子乘积:
(λ-1)(λ-2)(λ-3)
∵|λE-A|展开式λ3项系数为1
∴|λE-A|=(λ-1)(λ-2)(λ-3)
∵A为3阶矩阵
∴|A-λE|=(-1)3|λE-A|=(-1)3(λ-1)(λ-2)(λ-3)
将4代入上式得到-6。
13.已知
相似,则有( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】
14.已知f(x)=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f(A)的特征值为( )
A.3,1,1
B.2,-1,-2
C.3,1,-1
D.3,0,1
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】设A的特征值是λ,则f(A)的特征值就是f(λ),把1,0,-1依次代入,得到3,1,1。
15.设A是n阶矩阵,C是n阶正交阵,且B=CTAC,则下述结论( )不成立。
A.A与B相似
B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值
D.A与B有相同的特征向量
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】∵C是正交阵,所以CT=C-1,B=C-1AC,因此A与B相似,A对。
C是正交阵|C|不等于0,CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换,A与B等价,B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值,C对。
(λE-A)X=0,(λE-B)X=0是两个不同的齐次线性方程组,非零解是特征向量,一般情况这两个方程的非零解常常不同,所以只有D不对,选D。
16.已知矩阵
有一个特征值为0,则( )
A.x=2.5
B.x=1
C.x=-2.5
D.x=0
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】|A|=5-2x,A有零特征值,得|A|=0,故x=2.5,显然应选A。
17.设3阶矩阵A与B相似,且已知A的特征值为2,2,3.则
( )
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】
18.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】C是对称阵,必相似于对角阵,故选C。
19.设A为3阶矩阵,且已知
,则A必有一个特征值为( )
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】
20.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量,P为可逆矩阵,则下列向量中( )是P-1AP对应于λ的特征向量。
A.α
B.Pα
C.P-1αP
D.P-1α
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】∵设P-1AP=B∴A=PBP-1
又∵Aα=λ0α∴PBP-1α=λ0α
∴B(P-1α)=λ0(P-1α)
一、单项选择题(共20题)
1.二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3,下列说法正确的是( )
A.是正定的
B.其矩阵可逆
C.其秩为1
D.其秩为2
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵
所以r(A)=1,故选项C正确,选项A,B,D都不正确。
2.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy,则矩阵A与B( )
A.一定合同
B.一定相似
C.即相似又合同
D.即不相似也不合同
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy,即B=PTAP,所以矩阵A与B一定合同。
只有当P是正交矩阵时,由于PT=P-1,所以A与B即相似又合同。
3.已知矩阵
有一个特征值为0,则( )
A.x=2.5
B.x=1
C.x=-2.5
D.x=0
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】|A|=5-2x,A有零特征值,得|A|=0,故x=2.5,显然应选A。
4.二次型
的矩阵为( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵的定义
5.实对称矩阵A的秩等于r,又它有t个正特征值,则它的符号差为( )
A.r
B.t-r
C.2t-r
D.r-t
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】A的正惯性指数为t,负惯性指数为r-t,因此符号差等于2t-r。
6.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】C是对称阵,必相似于对角阵,故选C。
7.设f=XTAX,g=XTBX是两个n元正定二次型,则( )未必是正定二次型。
A.XT(A+B)X
B.XTA-1X
C.XTB-1X
D.XTABX
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】因为f是正定二次型,A是n阶正定阵,
所以A的n个特征值λ1,λ2,…,λn都大于零,
|A|>0,设APj=λjPj,则A-1Pj=
Pj,A-1的n个特征值
,j=1,2,…,n,必都大于零,
这说明A-1为正定阵,XTA-1X为正定二定型,同理,XTB-1X为正定二次型,
对任意n维非零列向量X都有XT(A+B)X=XTAX+XTBX>0。
这说明XT(A+B)X为正定二次型,
由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵,所以XTABX未必为正定二次型。
8.已知
相似,则有( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】
9.f(x1,x2,x3)=x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】x1,x2,x3平方项系数对应主对角线元素:
1,0,4。
x1x2系数-2,对应a12和a21系数的和,a12=-1,a21=-1。
10.设A是n阶矩阵,C是n阶正交阵,且B=CTAC,则下述结论( )不成立。
A.A与B相似
B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值
D.A与B有相同的特征向量
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】∵C是正交阵,所以CT=C-1,B=C-1AC,因此A与B相似,A对。
C是正交阵|C|不等于0,CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换,A与B等价,B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值,C对。
(λE-A)X=0,(λE-B)X=0是两个不同的齐次线性方程组,非零解是特征向量,一般情况这两个方程的非零解常常不同,所以只有D不对,选D。
11.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值,λ1≠λ2,且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量,当( )时,x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。
A.k1=0且k2=0
B.k1≠0且k2≠0
C.k1·k2=0
D.k1≠0而k2=0
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】A的特征向量不能是零向量,所以k1、k2不同时为零,所以A、C不对;x1、x2是两个不同的方程组的解,两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解,所以A的特征向量不选B。
选D是因为k2=0,k1≠0,x=k1x1仍然是A的特征向量。
12.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )
A.A-1正定
B.A没有负的特征值
C.A的正惯性指数等于n
D.A合同于单位阵
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In,两边求逆得到
C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=In
即A合同于In,A正定,因此不应选A。
C是A正定的定义,也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n,故A是正定阵,于是只能B。
事实上,一个矩阵没有负的特征值,但可能有零特征值,而正定阵的特征值必须全是正数。
13.设A为3阶矩阵,且已知
,则A必有一个特征值为( )
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】
14.设
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】主对角线元素对应x1,x2,x3平方项系数:
1,1,1。
a13和a31系数的和对应x1x3的系数2
15.设
( )
A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.
16.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
17.设矩阵
相似.则下列结论错误的是( )
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.
18.设3阶矩阵A与B相似,且已知A的特征值为2,2,3.则
( )
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】
19.n元实二次型正定的充分必要条件是( )
A.该二次型的秩=n
B.该二次型的负惯性指数=n
C.该二次型的正惯性指数=它的秩
D.该二次型的正惯性指数=n
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数=n
20.A为三阶矩阵,
为它的三个特征值.其对应的特征向量为
.设
,则下列等式错误的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
一、单项选择题(共20题)
1.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵,那么A的特征值可能是( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】因为实对称矩阵的特征值都是实数,故A,C都不正确;又因为正定矩阵的特征值均为正数,故B也不正确;应用排除法,知答案为D.
2.已知
相似,则有( )
【正确答案】D
【您的答案】A
【答案解析】
3.二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3,下列说法正确的是( )
A.是正定的
B.其矩阵可逆
C.其秩为1
D.其秩为2
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵
所以r(A)=1,故选项C正确,选项A,B,D都不正确。
4.设A为3阶矩阵,且已知
,则A必有一个特征值为( )
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】
5.设
( )
A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.
6.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )
A.A-1正定
B.A没有负的特征值
C.A的正惯性指数等于n
D.A合同于单位阵
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In,两边求逆得到
C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=In
即A合同于In,A正定,因此不应选A。
C是A正定的定义,也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n,故A是正定阵,于是只能B。
事实上,一个矩阵没有负的特征值,但可能有零特征值,而正定阵的特征值必须全是正数。
7.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
8.设A的特征值为1,-1,向量α是属于1的特征向量,β是属于-1的特征向量,则下列论断正确的是( )
A.α和β线性无关
B.α+β是A的特征向量
C.α与β线性相关
D.α与β必正交
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】属于不同特征值的特征向量必线性无关,因此选择A。
9.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A-4E|=( )
A.2
B.-6
C.6
D.24
【正确答案】B
【您的答案】A
【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3
∴|λE-A|展开式含有三个因子乘积:
(λ-1)(λ-2)(λ-3)
∵|λE-A|展开式λ3项系数为1
∴|λE-A|=(λ-1)(λ-2)(λ-3)
∵A为3阶矩阵
∴|A-λE|=(-1)3|λE-A|=(-1)3(λ-1)(λ-2)(λ-3)
将4代入上式得到-6。
10.已知f(x)=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f(A)的特征值为( )
A.3,1,1
B.2,-1,-2
C.3,1,-1
D.3,0,1
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】设A的特征值是λ,则f(A)的特征值就是f(λ),把1,0,-1依次代入,得到3,1,1。
11.A为三阶矩阵,
为它的三个特征值.其对应的特征向量为
.设
,则下列等式错误的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】
12.
的一个特征值.则下列结论错误的是( )
【正确答案】A
【您的答案】A 【答案正确】
【答案解析】根据特征值,特征向量的定义和性质判断A错误.
13.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )
【正确答案】C
【您的答案】A
【答案解析】C是对称阵,必相似于对角阵,故选C。
14.设f=XTAX,g=XTBX是两个n元正定二次型,则( )未必是正定二次型。
A.XT(A+B)X
B.XTA-1X
C.X