初中数学知识点框架图.docx
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初中数学知识点框架图
第一部分《数与式》知识点
定义：
有理数和无理数统称实数八*有理数：
整数与分数
I分IJ
无理数：
常见类型（开方开不尽的数、与二有关的数、无限不循环小数）法则：
加、减、乘、除、乘方、开方
实数运算』
'运算定律：
交换律、结合律、分配律
数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法
相关概念:
22一
有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子a2,a,∙.a）单项式：
系数与次数
分类J
多项式：
次数与项数
加减法则:
（加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项）
jm4
幂的运算：
aa=a;aFa=a_;（a）=a,（ab）=ab；（_）==；a=1a=—
整式彳
乘法运算:
bb-
'单项式X单项式；单项式X多项式；多项式X多项式"
I单项式÷单项式；多项式÷单项式J
混合运算：
先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先乘法公式卩方差公式：
（^b）（a2弋Ta^b22
、完全平方公式:
（a±b）=a±2ab+b
分式的定义：
分母中含可变字母分式?
分式有意义的条件：
分母不为零
数与式
分式」分式的性质：
a=
分式值为零的条件：
分子为零，分母不为零匚m也;通分与约分的根据）j
Wbxmbb÷m丿
通分、约分，加、减、乘、除
分式的运算L先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）
化简求值2
、「整体代换求值
定义：
式Wa（a≥O叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于O.
C[a（a讪1
=a;Pa=<
ι~a（a≤O）
最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式』二次根式的相关概念?
同类二次根式及合并同类二次根式
分母有理化（“单项式与多项式”型）加减法：
先化最简，再合并同类二次根式二次根式的运算«、LL[a
乘除法:
需Tb=∙√ab;了=%;（结果化简）
定义：
（与整式乘法过程相反，分解要彻底）
]提取公因式法：
（注意系数与相同字母，要提彻底）
八式法平方差公式：
a2-b2=（a'b）（a-b）
方法*厶'完全平方公式：
a2±2ab+b2=（a±b）2
十字相乘法：
X2+（a+b）x+ab=（x+a）（x4b）
I分组分解法：
（对称分组与不对称分组）
第二部分《方程与不等式》知识点
定义与解：
次方程解法步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为应用：
确定类型、找出关键量、数量关系
定义与解：
、宀、工口/如解法：
代入消元法、加减消元法次方程（组）
*简单的三元一次方程组：
简单的二元二次方程组：
次方程定义与判别^=b-4ac）
人勺军法：
直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法八卡七矩定义与根（增根）：
分式方程
J:
解法：
去分母化为式方程，解整式方程，验根
ri.行程问题：
2.工程（效）问题：
3•增长率问题：
（增长率与负增长率）
4•数字问题：
5•图形问题：
6•销售问题：
7•储蓄问题：
类型
方程与不等式方呈的应用
（数位变化）
（周长与面积（等积变换））（利润与利率）
（利息、本息和、利息税）
8•分配与方案问题：
1线段图示法：
常用方法2列表法：
3直观模型法：
儿一次不等/不等式解解法
r^解法：
（借助数轴）
第三部分《函数与图象》知识点
、等式
2不等式与方程
次不等式乱用3不等式与函数
4最佳方案问题
5.最后一个分配问题
②坐标轴上点的特点
X轴：
纵坐标y=0;y轴：
横坐标x=0.
3平行于X轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）
4不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）
关于X轴对称（X相同，y相反）
5对称点的坐标？
关于y轴对称（X相反，y相同）关于原点O对称（x，y都相反）
M丰、士十正比例函数：
y=kX（k≠0）（一点求解析式）厂、三象限角平分线：
y=X函数表达式2二、四象限角平分线:
y=-X
一次函数：
y=kX+b（k≠O）（两点求解析式）
昨增减性：
y=kX与y=kX+b增减性一样，k>0时，X增大y增大；kvθ,x增大y减小.
一次函数J
平移性：
y=kX+b可由y=kX上下平移而来；若y=k1x+b与y=k2x+b2平行，则k1=k2,bl≠b2.
垂直性：
若y=k1x+b1与y=k2x+b2垂直，则k1g2=∕∙
求交点：
（联立函数表达式解方程组）
正负性：
观察图像y>0与yVC时，X的取值范围（图像在X轴上方或下方时，X的取值范围）
k
表达式：
yJ（k≠0）（—点求解析式）
X
I①区域性：
k>C时，图像在一、三象限；kV0时，图像在二、四象限.
k>0在每个象限内，y随X的增大而减小；
kv0在每个象限内，y随X的增大而减小.
3恒值性：
（图形面积与k值有关）
4对称性：
既是轴对称图形，又是中心对称图形.
求交点：
（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）
Y_A=CZK冷t17口亠EE占AtJLrMrF,HT∖dA
i②增减性Jl
函数
反比例函数？
性质Z
1一般式：
y=ax2+bx÷c,其中（aH0）,
表达式！
②顶点式：
y=a（x-k）2+h,其中（a≠0）,（k,h）为抛物线顶点坐标；
③交点式：
y=a（x->ι）（x-血）,其中（a工0）,Xi、X2是函数图象与X轴交点的横坐标;
①开口方向与大小：
a>0向上，av0向下；a越大，开口越小；a越小，开口越小.
2对称性：
对称轴直线X=-—
X增大y增大;X增大y减小;
2a
二次函数2
i③增减性j>0,在对称轴左侧，X增大y减小；在对称轴右侧,
性质*曰减a<0,在对称轴左侧，X增大y增大；在对称轴右侧,
④顶点坐标：
（-^,4?
*）
2a4a
⑤最值：
当a>0时,χ=-2a，y最小值=节；av0时，X=舟
，y最大值=
4ac-b2
4a
示意图：
画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与X、y交点坐标）
Ia与c：
开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定C的值；
Ib的符号：
b的符号由a与对称轴位置有关：
左同右异.
符号判断∙Δ=b2-4ac:
Δ>0与X轴有两个交点；△=0与X轴有两个交点；Δv0与X轴无交点.a4b+c:
当x=1时，y=a+b+C勺值.
、、m-b4c:
当x=-1时，y=a-b+c的值.
①求函数表达式：
P来A.宀中［②求交点坐标：
函数应用<
3求围成的图形的面积（巧设坐标）：
4比较函数的大小.
第四部分《图形与几何》知识要点
两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）角的分类锐角、直角、钝角、平角、周角角』角的度量与比较0=60，1=60；
'余角与补角的性质：
同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等,I角的位置关系：
同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角
定义，垂直的判定，垂线段最短
门mi柏亠妊对顶角：
对顶角相等几何初步相交线＜工心
垂线：
定义:
平行线」性质:
判定
在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线
两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
□的邻边丄G的对边
cos=，tan：
=
斜边G的邻边
3一3
定义：
在tAB中，sin心二斜边边
平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
Sin30=1,cos30-,tan30-；I223
三角函数
j/2/2
特殊三角函数值in45°-,cos40-,tan45=1;
I22
厂
Sin6tf3,cos60=1,tan30=、3.
Ii22
应用：
要构造△,才能使用三角函数
三角形
八*按边分类：
不等边三角形、等腰三角形、等边三角形分类」
［按角分类：
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
［三边关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
边彳I
面积与周长C=a+b=,cS=-底X高.
L2
三角形的内角和等于度，外角和等于6（度；
角』三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
一般三角形中线：
一条中线平分三角形的面积
性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线判定：
至U角两边的距离相等的点在角的平分线上内心：
三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等线段』高：
高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）中位线：
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半「性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；中垂线判定：
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上丁卜心：
三角形三边垂直平分线的交到三个顶点的距离相等性质等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形
质'等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等WE为
有两边相等的三角形是等腰三角形；
有两角相等的三角形是等腰三角形；有一个角为O度的等腰三角形是等边三角形；有两个角是0度的三癒是等边三角形一个角是直角或两个锐角互余；
井击直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
性质』C
直角三角形中C的锐角所对的直角边等于斜边的一半；
:
勾股定理：
两直角边的平方和等于斜边的平方
证一个角是直角或两个角互余；
判定1有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；
勾股定理的逆定理：
a^+b=/，则∠>9O.
等腰三角形
边.
判定
直角三角形
4壬全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；性质彳
全等三角形全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等
判定:
ASASASAASSSSHL.
多边形：
多边形的内角和为（n-2）1800,外角和为360°.
定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
”直角梯形
斗/r■性质：
两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等
梯形
特殊梯形＜举間辟护砌腰相等的梯形是等腰梯形；
等、等腰女梯丿形G
判定」对角线相等的梯形是等腰梯形；
J'同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；
'!
■两组对边分别平行且相等
性质：
平行四边形的*两组对角分别相等
'两条对角线互相平分
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
判定：
两组对边分别相等二的四边形是平行四边形两组对角分别相等
〔对角线互相平分
「曲壬［■共性：
具有平行四边形的所有性质性质§
四边形
I个性：
对角线相等，四个角都是直角矩形$'先证平行四边形，再证有一个直角；
判定彳先证平行四边形，再证对角线相等；
、三个角是直角的四边形是矩形
共性：
具有平行四边形的所有性质.性质＜
I个性：
对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等
菱形t「先证平行四边形，再证对角线互相垂直；
判定＜先证平行四边形，再证一组邻边相等；
四条边都相等的四边形是菱形.
r^性质：
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
正方形；证平行四边形T矩形T正方形
判疋5
J证平行四边形T菱形T正方形
1
梯形：
S=丄（上底•下底）高=中位线高
2
面积求法
平行四边形：
S=底高矩形：
S=长宽
菱形：
S=底高=对角线乘积的一半
J正方形：
S=边长汉边长=对角线乘积的一半
r点在圆外:
d>r
点与圆的三种位置关系点在圆上:
d=r
点在圆内:
dvr
弓形计算：
（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系
圆的轴对称憔去夕宀钿定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
'推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧
_AAU在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系：
I两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别
同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
圆的中心对称性圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是
yd的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆
相交线定理：
圆中两弦5、CD相交于点，贝PAPA=PCPD.
、圆中两条平行弦所夹的弧相等
d>r
d=r（距离法）
dvr
'相离
直线和圆的三种位置关系相切相交的切线‘性质：
圆的切线垂于过切点的直径（或半径）
直线和圆的位置关
系'‘I判疋：
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
弦切角：
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
切线长定理：
如图PA=PBPO平分ZAPB切割线定理：
如图PA2=PCPD.
外心与内心：
仿目离：
外离d>R+r,内含dvR-r）
圆和圆的位置关系相切：
外切d=R+）,内切d=R-）
相交：
R-rvdvR+）
弧长公式:
|弧长=-n2^r=-nJlr
360180
扇形面积公式:
S=丄二r2=1l弧长T
圆的有关计算3602
1
圆锥的侧面积12兀r∙l"rl（r为底面圆的半径|为母线）圆锥的全面积S⅛=叼2+叼1
第五部分《图形的变化》知识点
f①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等
/+匚狂、I②对应点的连线段被对称轴垂直平分
轴对称I）③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行）
'小」④图形折叠后常用勾股定理求线段长
1指一个图形
轴对称图形*
2轴对称图形被对称轴分成的两部分全等
I①平移前后两个图形全等
②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）
平移J
'③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线）
-（④平移的两个要素：
平移方向、平移距离
I①旋转前后的两个图形全等
诒牡I②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角
旋转
3旋转前后对应角相等，对应线段相等
4旋转的三要素：
旋转中心、旋转方向、旋转角
'视图的画法』①大小、比例要适中
2实线、虚线要画清
视图与投影2
平行投影：
平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线
投影』中心投影：
点光源射出的光线下的投影，影子不平行
投影’视点、视线、盲区
J投影的计算：
画好图形，相似三角形性质的应用
L
图形的变化
基本性质:
aJ=ad=bc
bd
比例的性质治比性质:
a=c二a±b=c±d
bdbd
等比性质:
α丄=…=k=⅛a+b+…=k,（条件b+d+...+n≠0）
bdnb十d+...+n
黄金分割：
线段AB被点C分成AC、BC两线段（AoBC）,满足AC2=BC獸B，
贝U点C为AB的一个黄金分割点
々、士疋f⅛质：
相似多边形的对应边成比例、对应角相等
相似多边形｛”
判定：
全部的对应边成比例、对应角相等
'①对应角相等、对应边成比例
相似形2
性质？
②对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比
3面积的比等于相似比的平方
相似图形2
相似三角形？
判定I
①有两个角相等的两个三角形相似
I②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
3三边对应成比例的两个三角形相似
4有一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似射影定理：
在Rt△ABC中，∠C=9O0,CD⊥AB,贝贝AC2=ADAB，
BC2=BDAB，CD2=ADBD（如图）
①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质/位似图形：
②位似图形对应点所确定的直线过位似中心
③通过位似可以将图形放大或缩小
第六部分《统计与概率》知识要点
普查：
总体与个体（研究对象中心词）
抽样调查：
样本与容量（无单位的数量）
折线图（发展趋势与波动性黄纵轴坐标单位长度要统一）三图条形图（纵坐标起点为零高度之比等于频数或频率之比）
扇形图（知道各量的百分比可用加权平均数求平均值）
两查』
统计与概率
「I算术平均数平均数参照平均数
I加权平均数
三数
众数可能不止一个）
II1中位数（排序、定位）
辛方差:
S2=1[（X-）√+（X-X2）2+…+（X-Xn）2]
（一组数据整体被扩n倍，平均数扩大倍，方差扩大倍）；三差牡一组数据整体被增加平均数增加I方差不变）
标准差：
方差的算术平方根
极差：
最大数与最小数之差
'（方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小）
事件」
确定事件必可能事：
不可能事件:
（概率为
不确定事件：
（概率在1之间）频率：
试验值，多次试验后频率会接近理论概率）
比例法（数量之比、面积之比等）两率
概率：
求法列表法（返回与不返回的两步实验求概率）
.树状图（返回与不返回的两步或两步以试验求概率）
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