（2）凯莱定理：
是所有群G同构于在G上的对称群的子群。
证明：
从初等群论中，知道了对于任何G中元素g必然有g*G=G；并通过消除规则知道了g*x=g*y当且仅当x=y。
所以左乘g充当了双射函数fg:
G→G，通过定义fg（x）=g*x。
所以，fg是G的置换，并因此是Sym（G）的成员。
Sym（G）的子集K定义为
K={fg:
g∈G并且fg（x）=g*x对于所有x∈G}
是同构于G的Sym（G）的子群。
得出这个结果的最快方式是考虑函数T:
G→Sym（G）对于所有G中的g有著T（g）=fg。
（对Sym（G）中的复合使用"·"），T是群同态因为:
（fg·fh）（x）=fg（fh（x））=fg（h*x）=g*（h*x）=（g*h）*x=f（g*h）（x），对于所有G中的x，
因此:
T（g）·T（h）=fg·fh=f（g*h）=T（g*h）。
同态T也是单射因为:
T（g）=idG（Sym（G）的单位元）蕴含了对于所有G中的x有g*x=x，选取x为G的单位元e产生g=g*e=e。
可替代的，T（g）也是单射因为:
g*x=g*x'蕴含x=x'（通过左乘上g的逆元，因为G是群所以一定存在）。
因此G同构于T的像，它是子群K。
T有时叫做G的正规表示。
（3）舒尔定理：
是源于数论中的一个定理，因为是由舒尔（I.Schur）于1916年发表的，由这个定理可知，存在一个最小的整数sn，使得任意划分{1，2，…，Sn}为n个子集S1，S2，…，Sn，都存在一个Si包含x，y，z，满足x+y=z，这个最小数称为舒尔数。
舒尔定理是德国数学家舒尔（I.Schur，1875～1944）在1916年发表的一篇研究有限域上的费马大定理的论文中证明的，论文的题目叫做“论同余式
”，这里所说的舒尔定理是为了证明论文的主要结果而先行证明的结论。
舒尔定理（有限形式） 对任一给定的
，存在
，使得对[n]的任一k-染色
，有
使
（这里的x，y可能相等），上述数n的最小值记为S（k）。
（4）莱布尼兹--莱布尼茨定理：
如果交错级数
满足条件：
（1）
（
=1,2,3,……）；
（2）
，那么级数收敛，且其和
，其余项
的绝对值
。
（5）阿贝尔--阿贝尔定理：
1.如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛。
2.反之，如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。
定理1（阿贝尔第一定理）
（1）若幂级数①
在
收敛
，则幂级数①在
都绝对收敛。
（2）若幂级数①
在
发散，
，则幂级数①在
都发散。
定理2
有幂级数①，即
，若
则幂级数①的收敛半径为
定理3（阿贝尔第二定理）
若幂级数①的收敛半径
，则幂级数①在任意闭区间
都一致收敛。
2.矩阵在中学数学应用的三个例子.（15分）
答：
（1）
，
和
已知，求
和
。
解：
易知
用上述方法即可求出结果。
（2）
,
,求
。
解：
可将
写成
的形式，其中第一行元素为分子，
第二行元素为分母。
则
即
。
（3）
、
已知，求
。
解：
令
则
。
3.多项式在中学数学应用的三个例子.（15分）
答：
（1）求一个次数小于4的多项式
使得
。
解：
由n=3时的拉格朗日插值公式，有
。
（2）设
两两不同。
则n+1个数
中至少有一个不小于
，其中
。
证明：
由拉格朗日插值公式知
=
比较上式
的系数可得，
。
则
，或
。
（3）已知
，使得
。
求的
取值范围。
解：
由于
是偶函数，
令
分别为-1,1,2。
由拉格朗日插值公式得
=
。
4.简述基本群的构造方法.（15分）
答：
定理若在
中引入道路类的乘积运算，则
是群，并称它为空间
的以
为基点的基本群。
下面讨论的基本群，总假定空间
是道路连通的。
定理 设
，且
和
都是基本群。
则
。
提示：
设
是以
为起点，
为终点的道路。
则
，
是同构映射。
上述的同构依赖于
到
的道路类，不同的道路类可能导出不同的同构。
但，如果不计时是什么样的同构，那么
和
可以看作同一个抽象群。
此时无需突出基点，从而可以记作
，并且把这个抽象群称为道路连通空间的基本群。
例 独点空间的基本群是平凡群。
定义 若道路连通空间
具有平凡的基本群，则称
是单连通的。
例如，没有洞的平面区域是单连通的。
它是数学分析和复变函数中单连通概念的推广。
推论 可缩空间是单连通的。
命题 基本群是同伦不变量。
5.简述Riccati方程在常微分方程发展史上的地位和作用？
（15分）
答：
在微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程就是所谓的Riccati方程
。
它最早是由研究声学的威尼斯的RiccatiJacopoGrancesco伯爵于1723年至1724年间通过变量代换从一个二阶方程降阶得到的一个一阶方程。
Riccati的工作之所以者的重视,不仅由于他处理了二阶微分方程,而且由于他有把二阶方程化到一阶方程的想法,使降阶法成为处理高阶方程的主要方法之一。
1686年,Leibniz向数学界推出求解方程
（Riccati方程的特例）的通解的这一挑战性问题,且直言自己研究多年而未果。
如此伟大的数学家,如此简单的方程,激发了许多数学家的研究热情。
虽然此方程形式简单,但经过几代数学家的努力仍不得其解。
1725年,DanielBernoulli用初等方法求解了一个特殊的Riccati方程,他证明了Riccati方程,
（k为正整数）时能化为变量可分离方程。
1760年至1761年,EulerL证明方程在已知一个特解y1的情况下,通过变换
可化为线性方程；D'AlembertJ最先研究了一般形式的Riccati方程,而且对这类方程采用了“Riccati方程”这一名称。
AbelN研究了Abel第一类和第二类方程的若干特殊类型,特别是对于Jacobi方程得到了通解。
1841年,法国数学家Liouville证明了Riccati方程除了某些特殊情形外,对一般的p,q,r不能用初等积分法求其通解.当然,对于一般的非线性方程将更是如此,这与代数学中,五次和五次以上方程没有根式公式解的结论有相似的理论意义。
Riccati的工作迫使人们另辟蹊径,考虑不借助于解的表达式而从方程本身的特点去推断其解的性质（周期性、有界性、稳定性等）,以及寻找各种近似求解的方法,从而导致微分方程理论的研究进入了一个多样化的发展时期。
在物理,力学上所提出的微分方程问题,又大都要求满足某种附加条件的特解,即所谓定解问题的解。
这样,人们开始改变了原来的想法,不去求通解,而从事定解问题的研究。
研究热潮逐渐由求方程的通解转向常微分方程定解问题的适定性。
18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,也迫使数学家转向对解的存在性问题的思考。
常微分方程理论研究中的一个基本问题是微分方程是否有解存在?
如果有解存在,其解是否唯一?
这个问题的解决不仅可以使数学家避免对一些根本无解的方程作无谓的探索,而且直接影响并导致微分方程的基本理论。
这些基本理论包括:
解的存在及唯一性、延展性、解的整体存在性、解对初值和参数的连续依赖性和可微性等。
6.叙述大学数学分析教材中以数学家名字命名的5个定理（需写具体内容）.（15分）
答：
（1）黎曼-勒贝格定理：
定理 设
，则当
时
证明 这里不妨假设f（x）具有周期b-a：
f（x+b-a）=f（x）。
对于正数ε，有全连续函数φ（x）适合
置：
就得到
将δ趋近于0，我们得到
，因为ε是任意的 。
显然地，我们也不妨假设b-a=2π.假设
那么
而
定理证明完毕 。
（2）欧拉定理：
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
证明
将1~n中与n互质的数按顺序排布：
x1,x2……xφ（n）（显然，共有φ（n）个数）
我们考虑这么一些数：
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ（n）=a*xφ（n）
1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR（modn）（这里假定mS更大一些），就有：
mS-mR=a（xS-xR）=qn，即n能整除a（xS-xR）。
但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ（n）个数有φ（n）种余数。
2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r（……），a*xi与n不互质，而这是不可能的。
那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ（n）中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.
由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ（n）（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ（n）.
故得出：
m1*m2*m3……mφ（n）≡x1*x2*x3……xφ（n）（modn）
或者说a^[φ（n）]*（x1*x2*x3……xφ（n））≡x1*x2*x3……xφ（n）
或者为了方便：
K{a^[φ（n）]-1}≡0（modn）这里K=x1*x2*x3……xφ（n）。
可知K{a^[φ（n）]-1}被n整除。
但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。
那么a^[φ（n）]-1必须能被n整除，即a^[φ（n）]-1≡0（modn），即a^[φ（n）]≡1（modn），得证。
（3）泰勒定理：
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
（4）柯西--柯西积分定理：
柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。
另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。
定理
设
是复平面的一个单连通的开子集。
是一个
上的全纯函数。
设
是
内的一个分段可求长的简单闭曲线（即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线），那么：
单连通条件
是单连通表示
中没有“洞”，例如任何一个开圆盘
都符合条件，这个条件是很重要的，考虑中央有“洞”的圆盘：
，在其中取逆时针方向的单位圆路径：
考虑函数
，它在
中是全纯函数，但它的路径积分：
不等于零。
这是因为函数f在“洞”中有奇点。
如果考虑整个圆盘
，就会发现f在圆盘中央的点上没有定义，不是全纯函数。
（5）拉格朗日--拉格朗日中值定理：
如果函数f（x）满足：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；那么在开区间（a,b）内至少有一点
使等式
成立。
其他形式
记
,令
则有
上式称为有限增量公式。
我们知道函数的微分
是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。
7.试阐述贝叶斯（Bayesian）统计的基本原理（10分）
答：
（1）先验分布
它是总体分布参数θ的一个概率分布。
贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于θ的任何统计推断问题中，除了使用样本X所提供的信息外，还必须对θ规定一个先验分布，它是在进行推断时不可或缺的一个要素。
贝叶斯学派把先验分布解释为在抽样前就有的关于θ的先验信息的概率表述，先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。
例如，某甲怀疑自己患有一种疾病A，在就诊时医生对他测了诸如体温、血压等指标，其结果构成样本X。
引进参数θ：
有病时，θ=1；无病时，θ=0。
X的分布取决于θ是0还是1，因而知道了X有助于推断θ是否为1。
按传统（频率）学派的观点，医生诊断时，只使用X提供的信息；而按贝叶斯学派观点，则认为只有在规定了一个介于0与1之间的数p作为事件{θ=1}的先验概率时，才能对甲是否有病（即θ是否为1）进行推断。
p这个数刻画了本问题的先验分布，且可解释为疾病A的发病率。
先验分布的规定对推断结果有影响，如在此例中，若疾病A的发病率很小，医生将倾向于只有在样本X显示出很强的证据时，才诊断甲有病。
在这里先验分布的使用看来是合理的，但贝叶斯学派并不是基于“p是发病率”这样一个解释而使用它的，事实上即使对本病的发病率毫无所知，也必须规定这样一个p，否则问题就无法求解。
（2）后验分布
根据样本X的分布Pθ及θ的先验分布π（θ），用概率论中求条件概率分布的方法，可算出在已知X=x的条件下，θ的条件分布π（θ|x）。
因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。
贝叶斯学派认为：
这个分布综合了样本X及先验分布π（θ）所提供的有关的信息。
抽样的全部目的，就在于完成由先验分布到后验分布的转换。
如上例，设p=P（θ=1）=0.001，而π（θ=1|x）=0.86，则贝叶斯学派解释为：
在某甲的指标量出之前，他患病的可能性定为0.001，而在得到X后，认识发生了变化：
其患病的可能性提高为0.86，这一点的实现既与X有关，也离不开先验分布。
计算后验分布的公式本质上就是概率论中著名的贝叶斯公式（见概率），这公式正是上面提到的贝叶斯1763年的文章的一个重要内容。
贝叶斯推断方法的关键在于所作出的任何推断都必须也只须根据后验分布π（θ│X），而不能再涉及X的样本分布Pθ。
例如，在奈曼－皮尔逊理论（见假设检验）中，为了确定水平α的检验的临界值C，必须考虑X的分布Pθ，这在贝叶斯推断中是不允许的。
但贝叶斯推断在如何使用π（θ│X）上，有一定的灵活性，例如为作θ的点估计，可用后验分布密度h（θ|X）关于θ的最大值点，也可以用π（θ|X）的均值或中位数（见概率分布）等。
为作θ的区间估计，可以取区间[A（X），B（X）]，使π（A（X）≤θ≤B（X）│X）等于事先指定的数1-α（0<；α<1），并在这个条件下使区间长度B（X）-A（X）最小。
若要检验关于θ的假设H：
θ∈ω，则可以算出ω的后验概率 π（ω|X），然后在π（ω│X）<1/2时拒绝H。
如果是统计决策性质（见统计决策理论）问题，则有一定的损失函数L（θ，α），知道了π（θ|X），可算出各行动α的后验风险，即L（θ，α）在后验分布π（θ|X）下的数学期望值，然后挑选行动α使这期望值达到最小,这在贝叶斯统计中称为“后验风险最小”的原则，是贝叶斯决策理论中的根本原则和方法。
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