秋九年级数学上册28圆教学案新版冀教版.docx
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秋九年级数学上册28圆教学案新版冀教版
第二十八章 圆
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念.
2.认识圆的轴对称性和中心对称性,探索垂径定理,探索并了解弧、弦、圆心角之间的关系,探索并了解圆周角与圆心角及所对弧的关系.
3.了解并证明圆周角定理及其推论,知道圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半,直径所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是直径,圆内接四边形的对角互补.
4.知道三角形的外接圆和外心,会用尺规过不在同一直线上的三点作圆和作三角形的外接圆.
5.会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积.
1.积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动,了解概念,掌握定理及公式.
2.通过探究活动中小组合作交流,培养学生合作意识.
3.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想.
4.让学生经历探究圆及其相关结论的过程,进一步发展学生数学思考和数学推理的能力.
5.探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义,提高学生计算能力和数学思维.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生运用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、分析以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.进一步培养合情推理能力,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能力.
4.进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.
与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主要研究对象,是人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型——三角形、四边形等的基础上,并在小学的基础上,学生已经积累了大量有关圆的经验,本章是在此基础上,进一步研究一个基本的曲线形——圆,对圆的概念和性质进行系统地梳理,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的逻辑思维能力.
在小学学过圆的基础上,进一步学习研究圆的概念和性质,圆的许多性质,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力,圆锥侧面积的计算还可以培养学生的空间观念,所以圆这一章在初中数学学习中占有重要地位.通过本章的学习,对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本章的学习是高中阶段圆锥曲线的学习的基础性工程.
【重点】
1.垂径定理及其推论的推导及应用.
2.圆周角定理及其推论的推导及应用.
3.正多边形的有关计算.
4.弧长和扇形面积、圆锥的侧面积的相关计算.
【难点】
1.垂径定理及其推论的推导及应用.
2.圆周角定理及其推论的推导及应用.
3.圆锥的侧面展开图的理解.
1.圆与现实生活密切联系,在教学中,适当选取贴近学生现实生活中的实例为背景,创设一个有利于学生观察、探索和交流的氛围,教师引导学生通过观察、操作、变换、推理以及合作交流等数学活动,发现和归纳圆的有关性质,较好的展开知识的形成过程.
2.重视知识间的联系和综合,要衔接前面“空间与图形”的内容和要求,了解它们与这部分知识的区别和联系,教学时应注意帮助学生多复习有关图形的知识,做到以新带旧,新旧结合.
3.在组织教学活动的过程中,要充分发扬民主,为学生提供自主探索的空间,促使学生在课堂上积极动手实践、勤于思考,要使学生从事观察、测量、折叠、推理、归纳等活动,帮助他们有意识地积累活动经验,获得成功的体验,同时在课堂教学中要关注学生小组之间的合作与交流,鼓励学生以独立思考、合作交流的方式解决问题,并在活动的过程中不断积累数学活动的经验,提高数学推理能力.
4.圆是一种特殊的图形,它对于培养学生的数学能力,形成数学思想方法具有重要的价值.要加强数学思想方法的教学,在观察、探究和推理活动中,使学生有意识地归纳数学思想方法,在探究圆周角与圆心角之间的关系及弧长、扇形面积公式的教学时,要渗透分类思想、化归思想及由特殊到一般的数学思想方法.
28.1圆的概念及性质
1课时
28.2过三点的圆
1课时
28.3圆心角和圆周角
3课时
28.4垂径定理*
1课时
28.5弧长和扇形面积的计算
1课时
回顾与反思
1课时
28.1 圆的概念及性质
1.理解圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念.
2.认识圆的轴对称性和中心对称性.
3.通过对圆的相关概念的理解,能够从图形中识别“弦、直径”“弧、优弧、劣弧”“半圆、等圆、等弧”.
4.能应用圆的有关概念解决问题.
1.通过感受生活中存在的圆形,提高学生识图能力,体会数学与生活息息相关.
2.通过探索圆的概念的过程,学会用猜想归纳的思想解决问题.
3.经历抽象和建立圆的概念的过程,探究圆的对称性,使学生积累数学活动经验.
1.让学生经历观察、思考、归纳和概括等学习过程,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
2.引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,建立学习的自信心.
【重点】 与圆有关的概念.
【难点】 理解“直径与弦”“半圆与弧”“等弧与长度相等的弧”等概念.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P146~147,圆形纸片.
导入一:
【课件展示】 欣赏图片.
[导入语] 在实际生活中,电动自行车的车轮、皮带传动轮、茶几面和管道的横截面等,都给我们一种圆的形象.圆是现实生活中最常见的图形,许多物体具有圆的形象.圆有哪些性质呢?
这是这一节我们要学习的内容.
导入二:
思考并回答:
1.小学里学习过圆,你能举出哪些生活中圆的例子?
2.为什么车轮都做成圆形?
能不能做成正方形和长方形?
3.如图所示,A,B表示车轮边缘上两点,点O表示车轮的轴心,那么A,O之间的距离与B,O之间的距离有什么关系?
【师生活动】 学生思考后回答,教师适当点评,导出本节课的课题.
[设计意图] 通过欣赏图片,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣,同时让学生体会圆是实际生活中常见的图形,通过小学对圆的初步接触,让学生回忆圆的知识,思考圆的特征,为后面给出圆的定义做准备,从已有的知识体系自然地构建出新知识.
[过渡语] 实际生活中存在着大量的圆的图形,认识一个新图形就要知道它的概念,今天我们一起学习圆的有关概念.
圆的概念
【思考】
1.我们怎样在本上画圆形?
2.我们想在操场上画个圆形,你有什么办法吗?
3.观察我们画圆的过程,圆上的点到到圆心的距离有什么共同特征?
思路一
【师生活动】 学生回答用圆规在本上画圆形,独立思考怎样在操场画圆后,小组合作交流,共同探究画圆的方法及圆上各点的特征.教师课件展示操场上画圆的方法,共同探究圆上各点的特征.
【课件展示】 小惠与小亮合作,按下面的方法画圆.
首先,小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴上一小段竹签,然后,小亮将绳子拉紧,再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是圆.
【师生活动】 通过交流圆上各点的共同特征,教师引导共同归纳圆的有关概念.
【课件展示】 平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫圆心,这条定长叫做圆的半径.如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也称为☉O的半径.
思路二
【师生活动】 教师引导我们平时用圆规画圆,观察小惠和小亮合作是怎样画出圆形的,让学生自主学习教材146-147页,然后学生之间互相交流圆的概念及表示方法.教师对学生的展示作出评价,并课件展示圆的概念.
【课件展示】 平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫圆心,这条定长叫做圆的半径.如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也称为☉O的半径.
追加思考:
1.篮球是圆吗?
太阳是圆吗?
（强调定义中的同一平面内）
2.以3cm为半径画圆,能画出几个圆?
为什么?
（无数个,圆心不确定）
3.以O为圆心画圆,能画出几个圆?
为什么?
（无数个,半径不确定）
4.确定一个圆需要哪几个元素?
（圆心和半径两个元素）
【师生活动】 学生思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,教师强调:
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,圆心和半径两个元素确定一个圆.
[设计意图] 教师引导或自学教材,学生对画圆的过程加深认识,归纳形成概念,让学生经历概念的形成过程,培养自主学习、合作交流的能力.通过追加思考,让学生更深入的理解圆的概念,培养学生严谨的学习态度.
共同探究 圆的对称性
【师生活动】 教师引导学生通过折叠、旋转课前准备的圆形纸片,回答下面的问题.
1.什么是轴对称图形、中心对称图形?
2.圆是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
3.圆是中心对称图形吗?
如果是,它的对称中心是什么?
4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗?
5.直径是圆的对称轴正确吗?
【师生活动】 学生思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这个结论错误的原因.
【课件展示】 圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
实际上,圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合.
[设计意图] 通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生的学习兴趣,探索圆的对称性,了解圆的基本性质,为后边学习圆的性质做铺垫.
[过渡语] 为进一步认识圆的有关性质,我们先了解关于圆的一些概念.
认识圆的有关概念
活动一:
自主学习教材147页.
【学生活动】 互相交流和圆有关的概念及表示方法.
【课件展示】
1.弦、直径:
圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.过圆心的弦叫做这个圆的直径.
2.弧、半圆:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧,这样的一条弧叫做半圆.
大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
如图所示,点A,B,C,D在☉O上.线段AB为☉O的一条弦,AC为☉O的直径.直径AC所分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆ABC.以AB为端点的弧有两条,其中劣弧用来表示,读作“弧AB”,优弧用来表示,读作“弧ADB”.
3.等圆、等弧:
能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合的两条弧叫做等弧.
半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等.
活动二:
思考下列问题:
1.直径是弦,弦是直径正确吗?
直径是最长的弦吗?
2.半圆是弧,弧是半圆正确吗?
半圆是最长的弧吗?
3.长度相等的两条弧是等弧吗?
为什么?
【师生活动】 小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点.
[设计意图] 通过学生自主学习,掌握和圆有关的概念,培养学生的自学能力,同时通过活动2,加深学生对概念的辨析与再认识的过程.
[知识拓展]
1.圆上各点到圆心的距离都等于半径.
2.到圆心的距离等于半径的点都在圆上.
3.圆可以看做到定点的距离等于定长的点的集合.
4.圆是一条封闭的曲线,是指圆周而不是指圆面,圆由圆心确定位置,由半径确定大小.
5.弦是一条线段,它的两个端点都在圆上.
6.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦.
1.圆的定义:
平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫做圆心,这个定长叫做圆的半径.
2.圆的元素:
圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小.
3.圆的对称性:
圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
4.和圆有关的概念:
弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧.
1.下列说法:
①直径不是弦;②半圆是弧,但弧不一定是半圆;③在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长;④长度相等的弧是等弧.其中正确的有（ ）
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:
①直径不是弦,错误;②半圆是弧,但弧不一定是半圆,正确;③在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长,正确;④能够完全重合的弧是等弧,长度相等的弧不一定能重合,错误.故选B.
2.如图所示,在☉O中,弦的条数是（ ）
A.2B.3
C.4D.以上均不正确
解析:
观察可得,AB,BC,BD,CD都是☉O的弦.故选C.
3.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD= .
解析:
∵∠BOC=110°,∠BOC+∠AOC=180°,∴∠AOC=70°,∵AD∥OC,OD=OA,∴∠D=∠A=70°,∴∠AOD=180°-2∠A=40°.故填40°.
4.如图所示,O为圆心.
（1）写出图中所有的直径;
（2）写出图中所有的弦;
（3）写出以A为一个端点的所有弧.
解:
（1）直径有AC,BD.
（2）弦有AB,AC,BD,BC.
（3）以A为一个端点的弧有,,,,,.
28.1 圆的概念及性质
圆的概念
共同探究 圆的对称性
认识圆的有关概念
一、教材作业
【必做题】
教材第148页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第149页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.以点O为圆心作圆,可以作（ ）
A.1个B.2个
C.3个D.无数个
2.下列说法不正确的是（ ）
A.半径相等的两个圆是等圆
B.半圆所对的弦是直径
C.长度相等的弧是等弧
D.直径是圆中最长的弦
3.如图所示,将一个含有60°角的直角三角板摆放在半圆形纸片上,O为圆心,则∠ACO的度数为（ ）
A.150°B.120°
C.100°D.60°
4.已知圆外一点和圆周的最短距离为2,最长距离为8,则该圆的半径是（ ）
A.5B.4C.3D.2
5.已知圆O的半径是3,圆上有一定点P,一动点Q,当Q沿圆周运动时,PQ长度的取值范围是 .
6.如图所示,分别以A,B两点为圆心,线段AB的长为半径的两个圆相交于C,D两点,则∠CAD= .
7.如图所示,已知OA,OB,OC是☉O的三条半径,∠AOC=∠BOC,M,N分别为OA,OB的中点,求证MC=NC.
8.如图所示,AB是☉O的弦（非直径）,C,D是AB上的两点,并且AC=BD.求证OC=OD.
【能力提升】
9.如图所示,以△ABC的边BC为直径的☉O分别交AB,AC于点D,E,连接OD,OE,若∠A=65°,则∠DOE= .
10.如图所示,CD是☉O的直径,∠EOD=84°,AE交☉O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.
【拓展探究】
11.如图所示,☉O的半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且CE=DF.请探究线段AE与BF的数量关系,并给予证明.
12.如图所示,两正方形彼此相邻且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆的直径上,CO=BO,小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,B,E两点在半圆O的直径上,点G在大正方形的边AB上,若小正方形的边长是4cm,求该半圆的半径.
【答案与解析】
1.D（解析:
因为半径没有确定,所以以点O为圆心可以作无数个圆.故选D.）
2.C（解析:
半径相等的两个圆能够完全重合,是等圆,故A正确;半圆所对的弦是直径,故B正确;长度相等的弧不一定能重合,故C错误;直径是圆中最长的弦,故D正确.故选C.）
3.B（解析:
由图可知,∠OBC=60°,∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形,∴∠BCO=60°,则∠ACO=120°.故选B.）
4.C（解析:
圆的直径是8-2=6,∴圆的半径是3.故选C.）
5.0≤PQ≤6（解析:
Q沿圆周运动,PQ的最短距离为P,Q两点重合时,最小值为0,PQ的最长距离为PQ为直径时,最大值为6.故填0≤PQ≤6.）
6.120°（解析:
连接BC,BD.根据题意,得AC=BC=AB=AD=BD,∴∠BAC=∠BAD=60°.∴∠CAD=120°.故填120°.）
7.证明:
∵OA,OB为☉O的半径,∴OA=OB,∵M是OA的中点,N是OB的中点,∴OM=ON,
∵∠AOC=∠BOC,OC=OC,∴△MOC≌△NOC,∴MC=NC.
8.证明:
如图所示,连接OA,OB.∵OB=OA,∴∠A=∠B.又∵AC=BD,∴△AOC≌△BOD,∴OC=OD.
9.50°（解析:
∵∠A=65°,∴∠B+∠C=180°-65°=115°,又∵OB=OD=OE=OC,∴∠BDO=∠DBO,∠OEC=∠OCE,∴∠BDO+∠DBO+∠OEC+∠OCE=2×115°=230°,∴∠BOD+∠EOC=2×180°-230°=130°,∴∠DOE=180°-130°=50°.故填50°.）
10.解:
如图所示,连接OB.∵AB=OC,∴AB=BO,∴∠BOC=∠A,∴∠EBO=∠BOC+∠A=2∠A,又∵OB=OE,∴∠E=∠EBO=2∠A,∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A,而∠EOD=84°,∴3∠A=84°,∴∠A=28°.
11.解:
AE=BF.证明:
如图所示,连接OA,OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,即∠OAE=∠OBF.又OC=OD,CE=DF,∴OE=OF,∴∠OEF=∠OFE,∴∠AEO=∠BFO.在△OAE与△OBF中,∴△OAE≌△OBF（AAS）.∴AE=BF.
12.（解析:
连接OA,设大正方形边长为x,根据勾股定理可得大圆半径,连接OF也可得直角三角形,已知小正方形的边长,在直角三角形中,利用勾股定理即可求解.）
解:
连接OA,OF.设大正方形的边长为2x,圆的半径为R,则BO=x,AB=2x.∵小正方形的边长为4cm,∴小正方形的边长BE=EF=4,由勾股定理,得R2=OB2+AB2=OE2+EF2,即x2+4x2=（x+4）2+42,解得x=4或x=-2（舍去）,∴R==4（cm）.即该半圆的半径为4cm.
圆在实际生活中无处不在,通过观察现实生活中有关圆的实例,激发学生探究有关圆的知识的欲望,同时体会圆在生活中的应用,感受圆上各点的特殊性.本节课通过创设问题情境,引导学生观察、思考、归纳总结形成圆的概念,本节课的主要学习方式为自主学习、合作交流、共同探究、归纳总结,通过让学生动手操作,发现圆的对称性,在整个教学过程中,自主学习、合作交流、归纳总结等学生活动贯穿始终,让学生真正体会数学概念的形成过程,培养了学生自学的能力和与人交流的能力,提高了学生归纳总结的能力.
圆是学生在小学中就认识的一个图形,本节课的内容较少,学习应该是很简单的课时,所以在教学设计时以为学生通过自学就能掌握所有知识,造成在概念形成时过于急躁,对概念的掌握不太牢固,造成概念判断时出错较多,所以在以后的概念教学中,要重视概念的形成过程,淡化某个问题的结论.
圆是生活中常见的几何图形,应用较为广泛,中考中也常会出现以圆为背景的题目,所以在本节课的教学设计中,要重视圆的概念的形成和建构,让学生通过生活实例体会和感受圆的概念,然后通过画圆感受圆上点的特征,在学生观察、思考、动手实践的过程中自然地构建出圆的概念,然后用自主学习、合作交流的形式完成和圆有关的概念的学习,给学生自学和交流的空间,通过学生之间的合作,体会数学学习带来的快乐.
练习（教材第147页）
1.解:
画出的圆如图所示,其中OA=OB=2cm,AC=3cm,AB=4cm,AE=2cm.
2.解:
如图所示,
（1）△A'B'C即为△ABC旋转后得到的三角形.
（2）'为点B所经过的路径,'为点A所经过的路径.
习题（教材第148页）
A组
1.解:
（1）如下表:
名称
圆心
弦
半径
直径
半圆
符号
点O
AB,CD
OA,OB
AB
（2）劣弧:
,,,;优弧:
,,,.
2.解:
在.因为正方形对角线相等且互相平分,则OA=OB=OC=OD.
B组
1.解:
如图所示.
2.解:
相等.∵矩形的两条对角线相等,∴a=BC=OA,b=MD=ON,而OA=ON,∴a=b.
设计数学活动,重视知识形成
本节课主要探究圆的有关概念和性质,是对小学里已学过的圆的认识的巩固,也为本章即将探究的圆的有关知识打下基础.本节课的重点是通过观察、操作、归纳,理解圆的定义,理解和圆有关的弦（直径）、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧的概念,并通过动手操作、归纳总结等数学活动探究圆的对称性.课前准备的生活中的圆形图片,由生活实例入手,激发学生探究圆的知识的欲望,然后通过思考车轮为什么是圆形的,对圆有了直观的认识,通过动手画圆,再次体会圆上各点的共同特征,很自然地归纳总结出圆的概念,通过学生自主学习教材有关概念,通过合作交流解决疑难问题和强化知识点,通过教师精心设计的各种数学活动,把课堂真正交给学生,给学生足够的时间思考和探索,教师只是一个引导者,引导学生经历知识的形成过程,从而强化学习重点,提高学习能力,发展创新精神.
圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10,最小距离是2,求此圆的半径是多少?
解:
如图所示,分两种情况:
①当点P为圆O内一点,过点P作圆O的直径,分别交圆O于A,B两点,
由题意可得P到圆O的最大距离为10,最小距离为2,
则AP=2,BP=10,
所以圆O的半径为=6.
②当点P在圆外时,作直线OP,分别交圆O于A,B两点,
由题可得P到圆O的最大距离为10,最小距离为2,
则BP=10,AP=2,
所以圆O的半径为=4.
综上所述,所求圆的半径为6或4.
28.2 过三点的圆
1.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念.
2.理解“不在同一条直线上的三点确定一个圆”.
3.能熟练掌握应用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法.
1.通过独立思考、动手操作、合作交流等数学活动,不断积累数学活动的经验,提高学生动手操作的能力,体会转化、数形结合思想在数学中的应用.
2.通过学生自己动手作图,在动手参与的过程中探索、发现科学知识,进一步提高学生动手操作的积极性,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.
1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题和解决数学问题的兴趣和欲望.
2.通过小组合作交流,学会与他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
3.增强学生的数学应用意识,提高学生学习数学的兴趣,培养学生永无止境的科学探索精神.
【重点】 “过不在同一条直线上的三点作圆”的方法.
【难点】 如何确定圆的思维过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P150~151.
导入一:
复习提问:
1.根据圆的定义,确定圆的两个基本要素是什么?
2.如何用尺规作图作线段的垂直平分线?
3.线段垂直平分线有什么性质?
4.三角形三边的垂直平分线的交点有几个?
交点与三角形三个顶点之间在距离上有什么关系?
导入二:
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时,发现一圆形瓷器碎片,你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整个圆吗?
[过渡语]
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