初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳二次函数压轴题节选.docx

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初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳二次函数压轴题节选

二次函数各类综合题节选

1.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1,抛物线与x轴交于Ａ、B两点（点Ａ在点B的左侧）,且ＡB＝4,又P是抛物线上位于第一象限的点,直线ＡP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为ｔ.

（1）求点Ａ的坐标和抛物线的表达式;

（2）当ＡE:

EP＝1:

2时,求点E的坐标;

（3）记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求ｔ的值.

2.抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）经过点Ａ（－1,0）,B（

0）,且与y轴相交于点C.

（1）求这条抛物线的表达式;

（2）求∠ＡCB的度数;

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段ＡC上,且DE⊥ＡC,当△DCE与△ＡOC相似时,求点D的坐标.

3.如图1,抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点Ａ（－1,0）,B（4,0）两点,与y轴交于点C,经过点B的直线交y轴于点E（0,2）.

（1）求该抛物线的解析式;

（2）如图2,过点Ａ作BE的平行线交抛物线于另一点D,点P是抛物线上位于线段ＡD下方的一个动点,连结PＡ,EＡ,ED,PD,求四边形EＡPD面积的最大值;

（3）如图3,连结ＡC,将△ＡOC绕点O逆时针方向旋转,记旋转中的三角形为△Ａ′OC′,在旋转过程中,直线OC′与直线BE交于点Q,若△BOQ为等腰三角形,请直接写出点Q的坐标.

4.已知:

二次函数y＝ax2＋2ax－4（a≠0）的图象与x轴交于点Ａ,B（Ａ点在B点的左侧）,与y轴交于点C,△ＡBC的面积为12.

（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式;

（2）点D在y轴上,当以Ａ、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时,求点D的坐标;

（3）点D的坐标为（－2,1）,点P在二次函数图象上,∠ＡDP为锐角,且ｔan∠ＡDP＝2,求点P的横坐标.

5.如图,抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于Ａ,B两点（点Ａ在点B的左侧）,与y轴相交于点C,顶点为D,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点（P不与B,C两点重合）,过点P作x轴的垂线交抛物线于点F,设点P的横坐标为m（0＜m＜3）

（Ⅰ）当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形;

（Ⅱ）设△BCF的面积为S,求S的最大值.

6.在直角坐标平面内,直线y＝

x＋2分别与x轴、y轴交于点Ａ、C.抛物线y＝－

＋bx＋c经过点Ａ与点C,且与x轴的另一个交点为点B.点D在该抛物线上,且位于直线ＡC的上方.

（1）求上述抛物线的表达式;

（2）联结BC、BD,且BD交ＡC于点E,如果△ＡBE的面积与△ＡBC的面积之比为4:

5,求∠DBＡ的余切值;

（3）过点D作DF⊥ＡC,垂足为点F,联结CD.若△CFD与△ＡOC相似,求点D的坐标.

7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝

x2＋bx＋c的图象与x轴交于点Ａ（2,0）、B（－4,0）,与y轴交于点D.

（1）求抛物线的解析式;

（2）连接BD,点P在抛物线的对称轴上,以Q为平面内一点,四边形PBQD能否成为矩形？

若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由;

（3）在抛物线上有一点M,过点M、Ａ的直线MＡ交y轴于点C,连接BC,若∠MBO＝∠BCO,请直接写出点M的坐标.

8.如图,二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过Ａ（－1,0）和B（3,0）两点,且交y轴于点C,M为抛物线的顶点.

（1）求这个二次函数的表达式;

（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部（不包含边界）,求m的取值范围;

（3）点P是抛物线上一动点,PQ∥BC交x轴于点Q,当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.

9.如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2－2mx＋m2＋

m的顶点为Ａ,与y轴交于点B.当抛物线不经过坐标原点时,分别作点Ａ、B关于原点的对称点C、D,连结ＡB、BC、CD、DＡ.

（1）分别用含有m的代数式表示点Ａ、B的坐标.

（2）判断点B能否落在y轴负半轴上,并说明理由.

（3）连结ＡC,设l＝ＡC＋BD,求l与m之间的函数关系式.

（4）过点Ａ作y轴的垂线,交y轴于点P,以ＡP为边作正方形ＡPMN,MN在ＡP上方,如图②,当正方形ＡPMN与四边形ＡBCD重叠部分图形为四边形时,直接写出m的取值范围.

10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋1交y轴于点为Ａ,顶点为D,对称轴与x轴交于点H.

（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）;

（2）当抛物线过点（1,－2）,且不经过第一象限时,平移此抛物线到抛物线y＝－x2＋2x的位置,求平移的方向和距离;

（3）当抛物线顶点D在第二象限时,如果∠ＡDH＝∠ＡHO,求m的值.

11.在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于Ａ（－3,0）,B（1,0）两点,与y轴交于点C.

（1）求这个二次函数的解析式;

（2）点P是直线ＡC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ＡCP的面积最大？

若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;

（3）点Q是直线ＡC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△ＡOC相似？

若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

12.如图,抛物线y＝

x2＋bx＋c过点Ａ（0,－6）、B（－2,0）,与x轴的另一交点为点C.

（1）求此抛物线的解析式;

（2）将直线ＡC向下平移m个单位,使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M,求m的值及点M的坐标;

（3）抛物线上是否存在点P,使△PＡC为直角三角形？

若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

13.在平面直角坐标系xOy中,对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋8过点（－2,0）.

（1）求抛物线的表达式,并写出其顶点坐标;

（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位,所得抛物线的顶点为D,与y轴的交点为B,与x轴负半轴交于点Ａ,过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C,若ＡC∥BD,试求平移后所得抛物线的表达式.

14.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y＝kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后,与x轴交于点B（3,0）,与y轴交于点C,抛物线y＝x2＋bx＋c过点B、C且与x轴的另一个交点为Ａ.

（1）求直线BC及该抛物线的表达式;

（2）设该抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;

（3）如果点F在y轴上,且∠CDF＝45°,求点F的坐标.

15.如图,在平面直角坐标系xOy中,Ａ、B、C三点分别为坐标轴上的三个点,且OＡ＝1,OB＝3,OC＝4.

（1）求经过Ａ、B、C三点的抛物线的解析式;

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以Ａ、B、C、P为顶点的四边形为菱形？

若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

（3）若点M为该抛物线上一动点,在

（2）的条件下,请求出当|PM－ＡM|为最大值时点M的坐标,并直接写出|PM－ＡM|的最大值.

16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y＝

＋bx＋c与x轴交于点Ａ（－2,0）和点B,与y轴交于点C（0,－3）,经过点Ａ的射线ＡM与y轴相交于点E,与抛物线的另一个交点为F,且

.

（1）求这条抛物线的表达式,并写出它的对称轴;

（2）求∠FＡB的余切值;

（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,点P是y轴上一点,

且∠ＡFP＝∠DＡB,求点P的坐标.

17.如图,已知在平面直角坐标系中,已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c（其中a、c为常数,且a＜0）与x轴交于点Ａ,它的坐标是（－3,0）,与y轴交于点B,此抛物线顶点C到x轴的距离为4

（1）求抛物线的表达式;

（2）求∠CＡB的正切值;

（3）如果点P是抛物线上的一点,且∠ＡBP＝∠CＡO,试直接写出点P的坐标.

18.已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点Ａ（1,0）和点B（5,0）,顶点为M.点C在x轴的负半轴上,且ＡC＝ＡB,点D的坐标为（0,3）,直线l经过点C、D.

（1）求抛物线的表达式;

（2）点P是直线l在第三象限上的点,联结ＡP,且线段CP是线段CＡ、CB的比例中项,求ｔan∠CPＡ的值;

（3）在

（2）的条件下,联结ＡM、BM,在直线PM上是否存在点E,使得∠ＡEM＝∠ＡMB？

若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

19.已知在平面直角坐标系xOy（如图）中,已知抛物线y＝

＋bx＋c点经过Ａ（1,0）、B（0,2）.

（1）求该抛物线的表达式;

（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C,第四象限内的点D在该抛物线的对称轴上,如果以点Ａ、C、D所组成的三角形与△ＡOB相似,求点D的坐标;

（3）设点E在该抛物线的对称轴上,它的纵坐标是1,联结ＡE、BE,求sin∠ＡBE.

20.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（1,0）（0,3）,对称轴x＝－1.

（1）求函数解析式;

（2）若图象与x轴交于Ａ、B（Ａ在B左）与y轴交于C,顶点D,求四边形ＡBCD的面积.

21.设a,b是任意两个不等实数,我们规定:

满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:

当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y＝－x＋4,当x＝1时,y＝3;当x＝3时,y＝1,即当1≤x≤3时,恒有1≤y≤3,所以说函数y＝－x＋4是闭区间[1,3]上的“闭函数”,同理函数y＝x也是闭区间[1,3]上的“闭函数”.

（1）反比例函数y＝

是闭区间[1,2018]上的“闭函数”吗？

请判断并说明理由;

（2）如果已知二次函数y＝x2－4x＋k是闭区间[2,ｔ]上的“闭函数”,求k和ｔ的值;

（3）如果

（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点,Ａ为此二次函数图象的顶点,B为直线x＝1上的一点,当△ＡBC为直角三角形时,写出点B的坐标.

22.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）与x轴交于Ａ（－2,0）、B（4,0）两点,与y轴交于点C,且OC＝2OＡ.

（1）试求抛物线的解析式;

（2）直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m＝

试求m的最大值及此时点P的坐标;

（3）在

（2）的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？

如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

23.如图,二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于Ａ、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:

PD＝1:

2,ｔan∠PDB＝

.

（1）则Ａ、B两点的坐标分别为Ａ（　　,　　）;B（　　,　　）;

（2）求这个二次函数的解析式;

（3）在抛物线的对称轴上找一点M使|MC－MB|的值最大,则点M的坐标为　　.

24.如图,已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为B（4,0）,另一个交点为Ａ,且与y轴交于点C（0,4）.

（1）求直线BC与抛物线的解析式;

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,当MN的值最大时,求△BMN的周长.

（3）在

（2）的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,

△ＡBN的面积为S2,且S1＝4S2,求点P的坐标.

25.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2＋bx＋

（a≠0）的图象与一次函数y＝ax－a（a≠0）的图象相交于Ａ、B两点,与x轴的负半轴交于点C,ＡB交y轴于点D,BD:

ＡD＝1:

2,点B坐标为（1,0）.

（1）求该二次函数的函数表达式;

（2）M为线段CB上一动点,将△ＡCM以ＡM所在直线为轴翻折,点C的对称点为点N,若△ＡMN有一个顶点在y轴上,求点N的坐标;

（3）设点E在抛物线的对称轴上,点F在直线ＡB上,问是否存在这样的点E、F,使得以Ａ、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.

26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线

与x轴相交于点Ａ、B,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点N,交线段ＡC于点M.点F是线段MＡ上的动点,连接NF,过点N作NG⊥NF交△ＡBC的边于点G.

（1）求证:

△ＡBC是直角三角形;

（2）当点G在边BC上时,连接GF,∠NGF的度数变化吗？

若变化,请说明理由;若不变,请求出∠NGF的正切值;

（3）设点F的横坐标为n,点G的纵坐标为m,在整个运动过程中,直接写出m与n的函数关系式,并注明自变量n的取值范围.

27.如图1,已知一条直线与抛物线y＝

相交于Ａ,B两点,其中点Ａ,B的横坐标分别是－2、8.

（1）求这条直线的函数表达式;

（2）在x轴上是否存在点C,使得△ＡBC是直角三角形？

若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;

（3）如图2,设直线ＡB分别与x轴、y轴交于点D、E,F为OD的中点,将线段顺时针旋转得到OF',旋转角α（0°＜α＜90°）,连接DF',EF',求DF'＋

EF'的最小值.

28.如图1,抛物线y＝－x2＋mx＋n交x轴于点Ａ（－2,0）和点B,交y轴于点C（0,2）.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）若点M在抛物线上,且S△ＡOM＝2S△BOC,求点M的坐标;

（3）如图2,设点N是线段ＡC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.

29.如图,在同一直角坐标系中,抛物线C1与抛物线C2关于y轴对称,已知抛物线C1的顶点坐标为Ａ（－1,4）,与y轴的交点坐标为（0,3）

（1）求抛物线C1,C2的解析式;

（2）若直线l1:

y＝x＋m与C1仅有唯一的交点,求m的值;

（3）若C2与x轴正半轴交点记作B,在x轴上是否存在一点P,使△PＡB为等腰三角形？

若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

30.如图,抛物线y＝ax2＋bx－3交x轴于点Ａ（－3,0）,点B（1,0）,交y轴于点E.点C是点Ａ关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y＝kx＋3过点C,交y轴于D点.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）点K为线段ＡB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;

（3）在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点Ａ,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.

31.已知:

抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于Ａ、B两点（点Ａ在点B的左边）,与y轴交于点C,直线y＝－x＋3经过B、C两点

（1）填空:

b＝　　（用含有a的代数式表示）;

（2）若a＝－1

①点P为抛物线上一动点,过点P作PM∥y轴交直线y＝－x＋3于点M,当点P在第一象限内时,是否存在一点P,使△PCB面积最大？

若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

②当m≤x≤m＋3时,y的取值范围是2m≤y≤4,求m的值.

32.如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y＝x2的对称轴绕着点P（0,2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于Ａ、B两点,点Q是该抛物线上的一点.

（1）求直线ＡB的函数表达式;

（2）如图①,若点Q在直线ＡB的下方,求点Q到直线ＡB的距离的最大值;

（3）如图②,若点Q在y轴左侧,且点T（0,ｔ）（ｔ＜2）是直线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与△PＡT相似时,求所有满足条件的ｔ的值.

33.如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OＡBC的顶点Ａ、C分别在在x轴、y轴上,点B的坐标是（6,4）,抛物线y＝

x2－

x＋c与矩形OＡBC的边BC和ＡB分别交于点D（

4）和点E,连接DE

（1）求抛物线的解析式;

（2）求直线DE的函数表达式;

（3）点P是抛物线对称轴上一个动点,

①当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;

②将△BDE沿直线DE翻折至△B′DE处,点B的对称点为点B′,连接B′P,请直接写出线段B′P长度的最小值.

34.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知抛物线y＝x2.

（1）写出抛物线y＝x2的开口方向,对称轴和顶点坐标;

（2）已知点Ａ（2,4）,直线x＝2与x轴相交于点B,将抛物线y＝x2从点O沿OＡ方向平移,与直线x＝2交于点P,顶点M到Ａ点时停止移动,设抛物线顶点M的横坐标为m,当m为何值时,线段PB最短？

（3）如图,点C为y轴正半轴上一点,过点C任作直线交抛物线y＝x2于D,E两点,点F为y轴负半轴上一点,且∠CFD＝∠CFE,求证:

OC＝OF.

35.已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为Ａ（1,0）,C（－3,0）,

（1）若已知顶点坐标D为（－1,4）或B点（0,3）,选择适当方式求抛物线的解析式.

（2）若直线DH为抛物线的对称轴,在

（1）的基础上,求线段DK的长度,并求△DBC的面积.

（3）将图

（2）中的对称轴向左移动,交x轴于点p（m,0）（－3＜m＜－1）,与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q,用含m的代数式表示QK的长度,并求出当m为何值时,△BCQ的面积最大？

36.如图,二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点Ａ（－1,0）,B（2,0）,与y轴相交于点C.

（1）求二次函数的解析式;

（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点,当四边形ＡBEC的面积最大时,求点E的坐标,并求出四边形ＡBEC的最大面积;

（3）若点M在抛物线上,且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切,切点为D.以C,D,M为顶点的三角形与△ＡOC相似,请直接写出点M的坐标.

37.如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点Ａ（－1,0）,点B（3,0）和点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标;

（2）点C是否在以BE为直径的圆上？

请说明理由;

（3）点Q是抛物线对称轴上一动点,点R是抛物线上一动点,是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？

若存在,直接写出点Q、R的坐标,若不存在,请说明理由.

38.如图,一次函数

的图象与x轴交于点Ａ,与y轴交于点C.二次函数

的图象经过Ａ、C两点,与x轴的另一个交点为B.

（1）求二次函数的表达式;

（2）点P是该函数在第一象限内图象上的一个动点.

①连接BC、PC,设直线PB交线段ＡC于点D,△PCD的面积为S1,△BCD的面积为S2,求

的最大值;

②过点P作PQ⊥ＡC,垂足为Q,连接PC.若以P、C、Q为顶点的三角形与△ＡOC相似,求出点P的坐标.

39.如图是二次函数y＝（x＋m）2＋k的图象,其顶点的坐标为M（1,－4）.

（1）求出图象与x轴的交点Ａ,B的坐标;

（2）在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PＡB＝

S△MＡB？

若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;

（3）在y轴上是否存在一点Q,使得QM＋QB的和最小,若存在,求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.

40.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c交y轴于点C,过C作CE∥x轴,交抛物线于点E,且OC＝CE＝2.

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图1,如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以MNCE为顶点的四边形是平行四边形？

若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;

（3）如图2,连结EO,延长EO交抛物线于点F,点P为EF上方抛物线上的一个点,过点P作y轴的平行线交EF于点G,作PH⊥EF于点H,请问是否存在点P,使得△HPG的周长最长,若存在,请求出周长的最大值;若不存在,请说明理由.