初二数学最新教案八年级数学全等三角形7 精品.docx

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初二数学最新教案八年级数学全等三角形7精品

第十三章全等三角形单元分析

本章是在在了解了三角形的有关概念和学习了三角形的基本性质的基础上予以展开的。

首先是感受现实生活中，有血多能够重合的图形，这些图形的形状和大小都相同，进而认识全等三角形，共同探索三角形全等的条件，并用这些结果解决一些实际问题，以提高我们用数学解决实际问题的意识和能力。

另外，全等三角形是证明线段相等或角相等的重要工具，因此“全等三角形”是本章的重要内容，学生掌握了判定三角形全等的方法，就为后面的学习做好了准备。

13.1全等三角形

教学内容

13.1全等三角形

教学目标

通过实例表述全等图形的概念和特征，并能找出全等图形；

能叙述全等三角形的定义及其相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角；

总结出全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。

重点

全等三角形的概念_、性质。

难点

对应边和对应角的确定。

课时安排

1

教学准备

课件，剪子，白纸，两个全等的三角形

教学过程

问题与情境

师生活动

备注

（一）生活导入

我们身边经常看到“一模一样”的图形，比如同一版面的记念邮票，同一版面的人民币、用两张纸叠在一起剪出的两张窗花等，请大家举出这类图形的例子。

说明：

通过一些生活中常见的图片，使学生感受到我们的生活中存在着大量相等的事物，引起学生的思考，激发学生的学习兴趣。

让学生在举出实际例子以及对所举例子的辨析中获得对全等图形尽可能多的精确的感知。

（二）新课

问题1：

几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？

（l）形状相同的两个图形叫全等形。

（2）大小相等的两个图形叫全等形。

（3）能够完全重合的两个图形叫全等形。

总结概念：

全等形（congruentfigures）：

能够完全重合的两个图形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

做一做：

请你用两张半透明的薄纸分别描出下中的两个三角形．然后把它们叠放在一起，观察这两个图形是否完全重合．（提高学生的动手能力和观察能力）

结论：

△ABC和△DEF完全重合，因此它们是全等的．

全等的符号：

≌，读作：

全等于

△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌DEF，读作：

“三角形ABC全等于三角形DEF”

思考

在图13.1—1中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF。

在图13.1—2中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC。

在图13.1—3中，把△ABC旋转180°，得到△AED。

各图中的两个三角形全等吗？

可以做两个三角形，根据题目中的要求，进行实际操作，通过讨论，总结出结论：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

把两个全等的三角形重合到一起。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

例如，图13.1—1中的△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边，∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。

思考

图13.1—1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？

对应角呢？

小组讨论，得出全等三角形有这样的性质：

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

（三）练习

课本92页的练习1、2。

（四）补充练习：

要求学生动手操作，将备用的二个三角形合在一起，完成下列变化，且说明：

（1）是怎么得出的？

（语言不要求很准确）

（2）图中有哪些相等的边或相等的角？

教师制作10块投影片，一边按

（1）

（2），（3），

（1）（4），

（1）（5），（5）（6），（6）（7），（7）（8），（8）（9），（9）（10）顺序投影，一边用实物作示范．学生可用兰三色将重叠在一起的三角形的对应边涂成色，辅助寻找对应边．

[由学生动手操作、回答问题，逐步养成独的学习习惯，提高学生动脑、动手、动口的能力，识的相互联系、相互转化的观点．]

（五）小结

引导学生总结出本节的主要知识点。

观察图形的特点形成表象

师文学生思考、判断、生尝试总结，师再总结。

师演示，生跟着做。

师介绍全等的符号

师生共同操作体会平移、旋转、翻转，通过操作，得出结论。

出示对应顶点、对应边、对应角的概念。

小组讨论，关注学生的研究方法。

操作并回答问题。

或者同桌之间互相操作问答。

师引导学生进行总结。

作业

练习册上的相关练习

板书设计

全等三角形

概念

全等三角形的性质

教后录

13.2三角形全等的条件

教学内容

三角形全等的条件

（一）

教学目标

1.学生通过动手实践，自主探索掌握三角形全等的条件

（一），了解三角形的稳定性。

2.学生结合图形能准确表述三角形全等的判定方法“边边边”，为证明线段相等和角相等创造条件。

3.学生能利用“边边边”公理进行三角形全等的判定。

重点

三角形全等的判定方法。

难点

三角形全等条件的分析与探索，三角形全等判定方法的导出过程。

课时安排

1

教学准备

课件、铁丝

教学过程

问题与情境

师生活动

备注

（一）复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

（二）SSS定理的得出

给出任意两个三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我们知道如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′。

问同学们能不能找到一种方法，用较少的条件来判定两个三角形全等呢？

下面就一起来找找这些条件。

（板书课题：

三角形全等的条件）。

探究1

先任意画出一个△ABC。

再画一个△A′B′C′使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个。

你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？

小组讨论下面问题

1.在两个三角形中，有一个角对应相等，或一条边对应相等，这两个三角形是否一定全等？

有两个角对应相等，或两条边对应相等，或一个角和一条边分别对应相等，情况怎样？

有三个角对应相等的情况呢？

2.用来判断两个三角形全等的条件，只有以下三种情况才有可能：

三条边对应相等，或两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等．你认为这种说法对吗？

通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等。

满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？

我们分情况进行讨论。

探究2

分小组活动：

1.用一根长13cm的细铁丝，折成一个边长分别是3cm，4cm，6cm的三角形．把你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

2.用同一根细铁丝，余下1cm，用其余部分折成一个边长分别是3cm，4cm，5cm的三角形，再和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

3.不同小组用同一根细铁丝，任取一组能构成三角形的三边长的数据，和同桌同学分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？

4.先任意画出一个△ABC．再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，B′C′＝BC：

1．画线段B′C′=BC；

2．分别以B′、C′为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点A′；

3．连接线段A′B′，A′C′．

师：

通过咱们的试验，可以得出什么结论呢？

生:

只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了．

师总结定理：

如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等．

师：

咱们试着把这句话压缩一下，用几个字概括，同学们认为什么最合适呢？

生：

边边边

师：

字母记做“SSS”

三角形全等的表示：

我们曾经做过这样的实验：

将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．这里就用到上面的结论．

用上面的结论可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．

（三）例题

例1如图13．2—3，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证△ABD≌△ACD。

分析：

要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．

证明：

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD．

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

从例1可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．

（四）思考

已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD＝FB（图13．2—4）．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC＝FE，BC＝DE以外，还应该有什么条件?

怎样才能得到这个条件?

（五）练习

工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．为什么?

（六）小结

引导学生总结出本节的主要知识点。

师问生答

小组讨论探究解决。

提出问题

生画图解决问题

学生操作探究讨论

师演示生跟着操作。

师总结定理

师说明定理得用途及什么叫做证明。

师生共同分析证明。

师总结并介绍题设结论、已知求证的关系。

小组讨论解决。

讨论解答教师可作适当的提示。

学生尝试总结。

作业

练习册上的相关练习

板书设计

三角形全等的条件

（一）

定理

例题

教学内容

三角形全等的条件

（二）

教学目标

1、学生通过动手实践，自主探索，进一步掌握三角形全等。

2、学生探索出全等三角形的条件“边角边”，结合图形能准确表述三角形全等。

3、学生能利用“角边角”“角角边”的方法进行三角形全等的判定。

重点

掌握全等三角形的条件“边角边”，并能应用它来判定两个三角形的全等。

难点

探索“边角边”及应用。

课时安排

1

教学准备

课件

教学过程

问题与情境

师生活动

备注

（一）探究3

1．学生分组活动：

画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm，2.5cm，其中一个角是30°

画好后同桌两人讨论：

两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形全等么？

有的组说全等，有的组说不全等

让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有三种做法

（1）两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且长为1.5cm的这条边所对应的角是30°，这种做法得出的结论是：

不全等

（2）两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且长为2.5cm的这条边所对应的角是30°，这种做法得出的结论也是：

不全等

（3）两条边长分别是1.5cm，2.5cm，这两条边的夹角为30°，这样做出的两个三角形全等。

提问：

由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三角形全等？

2.将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个△ABC再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使有两边和它们的夹角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A：

1．画∠DA′E＝∠A；

2．在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC；

3．连接B′C′．

总结定理：

如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“边角边”或“SAS”.

注：

有上述活动，我们可以得出“边边角”

无法判定两个三角形全等。

（二）例题

例2：

如图13．2—6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么?

分析：

如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．

在△ABC和△DEC中，CA＝CD，CB＝CE．如果能得出∠1＝∠2，△ABC和△DEC就全等了．

证明：

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（SAS）。

∴AB=DE。

从例2可以看出：

因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．

（三）探究4

我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?

为什么？

有探究3我们知道不一定全等。

现在进一步来说明。

我们可以通过画图回答，还可以通过实验回答。

把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合。

适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（图13．2—7）．

图13.2—7中的△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等。

这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

（四）练习

课本99页的练习

（五）小结

引导学生总结出本节的主要知识点。

师生共同探究、分组讨论、比较：

三种想法，一一探索讨论。

教师可作适当的讨论指导。

生操作验证结论。

生尝试总结定理。

学生分析题意

师生共同分析，师只做指导。

师总结规律。

师生共同探究。

以师讲解为主。

生尝试总结。

作业

练习册上的相关练习

板书设计

三角形全等的条件

（二）

定理

例题

教学内容

三角形全等的条件（三）

教学目标

1、学生通过动手实践，自主探索，进一步掌握三角形全等的条件。

2、学生探索出全等三角形的条件“ASA、AAS”结合图形能准确表达三角形全等。

3、学生能运用“ASA、AAS”的方法进行三角形全等的判定。

重点

掌握三角形全等的条件“ASA、AAS”，并能应用它们来判定两个三角形是否全等。

难点

探索“ASA、AAS”及应用。

课时安排

1

教学准备

课件

教学过程

问题与情境

师生活动

备注

（一）问题的提出：

类比着《边边边公理》和《边角边公理》即“三元素定三角形”，提出：

如果两个三角形两边一个角分别对应相等，这两个三角形能不能全等？

（二）探究5

学生活动

1.按照下面的步骤画三角形，使它的两个内角分别为35°和65°，并且这两个角的夹边的长为2.5cm。

画好后小组交流，比较画出的三角形是否全等

2．活动2：

将两角和它们的夹边的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个△ABC。

再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）。

把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B

1．画A′B′=AB；

2．在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E交于点C′．

4．角边角定理：

如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“角边角”或“ASA”

（三）探究6

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（图13．2—9），△ABC与△DEF全等吗?

能利用角边角条件证明你的结论吗?

提示：

如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角是什么关系？

总结出结论：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

（四）例题

例3如图13．2—10，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．

分析：

如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE．

证明：

在△ACD与△ABE中，

∴△ACD≌△ABE（ASA）。

∴AD=AE。

（五）讨论

三角对应相等的两个三角形全等吗?

（六）练习

1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么?

2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2．求证AB=AD．

（七）小结

三角形全等的判定方法做一个小结．

作业

练习册上的相关练习

板书设计

三角形全等的条件（三）

定理

例题

教学内容

直角三角形全等的条件

教学目标

1、已知斜边和一直角边会做直角三角形。

2、探索直角三角形全等判定的条件，并能应用它来判定两个直角三角形是否全等。

3、熟练利用“斜边、直角边”和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等，使用“分析综合法”探讨解题思路。

4、直角三角形全等的应用。

重点

直角三角形全等的条件

难点

直角三角形全等的条件的应用。

课时安排

1

教学准备

课件

教学过程

问题与情境

师生活动

备注

（一）引入新课

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SSS，SAS，ASA，AAS；我们也知道，“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”。

这些结论适用于所有的各类三角形。

我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）。

特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道：

斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等。

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？

（二）探究8

任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°．再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB．把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗?

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB：

1．画∠MC′N＝90°．

2．在射线C′M上取B′C′＝BC。

3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′．

4．连接A′B′．

图13．2—11给出了画Rt△A′B′C′的方法．探究8的结果反映了什么规律?

我们容易看出探究8反映的规律是：

斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

（三）例题

例4如图13．2—12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证BC＝AD．

证明：

∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角．

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。

∴BC=AD。

（四）练习

课本103页的练习

（五）小结

引导学生总结出本节的主要知识点。

作业

练习册上的相关的练习

板书设计

三角形全等的条件（四）

定理

例题

教后录

13.3角平分线的性质

教学内容

角平分线的性质

教学目标

会作已知角的平分线，能熟练地说出角平分线的性质及判定；

能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

重点

①角平分线的性质及判定；②运用它们来证明两个角相等或两条线段相等。

难点

运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

课时安排

1

教学准备

课件

教学过程

问题与情境

师生活动

备注

复习提问

角平分线的定义？

角平分线与三角形的角平分线有何区别？

提问关于三角形全等的判定定理．

新授

（一）角的平分线的画法

图13．3—l是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗?

1.∠DAC与∠BAC相等的依据是什么？

2．如何做一个角的平分线？

能否由以上的探究得出呢？

通过小组讨论由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法．

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．

（3）作射线OC．射线OC即为所求（图13．3—2）．

练习

平分平角∠AOB．通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD．直线CD与直线AB是什么关系?

应用以上学到的画角的平分线的方法，来画出平角的角平分线（平角只是一种特殊的角），回顾线段的垂直平分线的定义。

进而回答直线CD与直线AB的关系。

（二）角的平分线的性质

1.小组讨论

（1）有一张剪好的角的纸片，怎样找这个角的平分线？

（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线（如图1）．如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕（图2）中的PM和PN）．不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对，由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质，现在我们就来研究这个问题．

2．角的平分线

（1）上述折纸的实验，象图2中的等长折痕PM和PN，我们可以找到无数对，它们既有一般位置的，也有特殊位置的．比如，角平分线上的点到角两边的垂线就是特殊位置的等线段．你能用推理论证的方法说明“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这一角平分线的重要性质吗？

通过讨论我们得到角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

小组讨论

1.在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相离”的点吗？

为什么？

2.角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？

为什么？

思考

如图13．3—4，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）?

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

小组讨论：

到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?

利用三角形全等，可以得到

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了．

（三）例题

例如图13．3—5，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：

点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

证明：

过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．

∵BM