初中函数知识的应用.docx
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初中函数知识的应用
初中函数知识的应用
初中函数知识的应用
学习目标：
1.复习一次函数、二次函数、反比例函数及锐角三角函数的概念，联系实际生活中的问题，抽象为函数，通过计算解决问题。
2.理解方程，不等式等一些重要的数学内容，同函数有极为密切的联系，是函数的特殊情况。
3.学会借助函数的图象和性质解决实际问题。
二.重点、难点
重点：
初中函数知识的应用
难点：
把一个数学问题或实际问题归结为函数问题。
【典型例题】
例1.已知矩形的面积是4，把这个矩形的长y表示成宽x的函数。
点拨：
因为矩形的面积为xy＝4，则是反比例函数，x表示矩形的宽，应有，使，自变量要符合实际。
解：
函数解析式为（）
例2.分别写出下列函数关系式，并求自变量取值范围
（1）设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V与底面半径R的关系
（2）等腰三角形的顶角度数y与底角的度数x的关系
解：
（1）（）
（2）由三角形内角和定理得
，
，
自变量x的取值范围是
点拨：
在应用题中，自变量的取值范围不仅应使函数关系式有意义，也要使实际问题有意义。
例3.有一个角是的直角三角形如图1，求它的面积与边长之间的函数关系式。
图1
解：
易知角所对的直角边长为，则另一直角边长为
点拨：
在解决与直角三角形有关的函数问题时，应充分应用直角三角形的性质。
例4.用砖可砌长48米的墙，要盖三间平房如图2，问怎样砌，才能使房屋的面积最大？
图2
解：
设每间房长为x米，则三间房的总宽为米（）
房屋面积：
当，即时，S取最大值，此时总宽为12，因此，每间房长6米时，三间房总宽12米时，房屋的面积最大。
点拨：
在本例中求的是面积的最大值，面积就是目标。
面积的表达式就是目标函数，解决此类问题的关键就在于求出目标函数，由此就把实际问题化归为求二次函数最值的问题了。
例5.在一块底边长为a，高为h的三角形铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大？
图3
解：
设内接矩形EFGH中，
EH//BC，设EF＝x（）
则
，即
设矩形EFGH的面积为S
则
当时，
点拨：
用“配方法”求最值在函数应用中是很常见的。
例6.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的，如图如果放在桌上，对桌面的压强是200Pa，翻过来放对桌面的压强是多少？
解：
由物理知识可知，压力F，压强P与受力面积S之间的关系是，因为是同一物体，F的数值不变，所以P与S成反比例，设上底面积是a，则下底面积是4a，由，且时，
有
是同一物体
是定值，时
因此当圆台翻过来放对桌面的压强是800Pa
例7.有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进出水量都是一定的，设从某时刻开始的4分种内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系，如图4
（1）每分钟进水多少？
（2）时，x与y何关系？
（3）若12分钟后只放水不进水，求y的表达式。
图4
解：
（1）由图可见4分钟时，进水20升，故每分钟进水5升
（2）当时，y的图象是线段，所以y是x的一次函数，故可设
点（4，20），（12，30）在直线上
x与y的关系是，
（3）在0～4分钟时，每分钟进水5升，在4～12分钟时，既进水又出水，由可知，每分钟水增加升
实际上每分钟出水量为升
而在12分钟时，有水（升）
每分钟水放出升
（时间）与（水量）的关系是，
点拨：
此题中的三小题层次性很强，且存在着联系，解此类题目要注意每一问之间的联系。
例8.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，如图5，求：
（1）y与x之间的函数关系式；
（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数
图5
（1999年南京）
解：
（1）设一次函数关系式是
当时，
当时，
所求函数关系式是，
（2）当时，
旅客最多可免费携带30公斤行李
例9.已知矩形面积是，长是xcm，宽是ycm
（1）确定出y与x的函数关系式；
（2）画出这个函数图象
点悟：
因为矩形长是xcm，宽是ycm，因此面积是
已知矩形面积是，所以有，从而是反比例函数
解析：
（1）由矩形的面积公式，长×宽＝面积
得，
（2）作图如图6
点拨：
这是一个归结为反比例函数来解的应用题，从求函数解析式到画图象，都要结合实际问题，确定自变量的取值范围，此题自变量的取值为正，函数值也为正，所以它的图象仅为双曲线在第一象限的一个分支。
例10.利用现有的20米长的竹篱，围成一个矩形鸡场，怎样围鸡场的面积最大？
点悟：
因为竹篱的长是20米，所以矩形鸡场周长只能是20米，若设其长是x米，则宽就是（10－x）米
于是鸡场的面积是，是关于x的二次函数，且有最大值
解：
设矩形鸡场的长是x米，则鸡场的宽是（10－x）米
面积是S平方米，所以
（）
当，即时，函数S有最大值25
点拨：
函数最值问题，得判断取最值时，自变量是否在定义域内。
【模拟试题】（答题时间：
45分钟）
一.选择题
1.下列各关系中，属反比例关系的是（）
A.正三角形的面积与边长
B.等腰三角形腰长为定值时，底边与底边上的高
C.圆的弧长和它与圆心连结后构成的扇形面积
D.电压一定时，导体中电流强度与电阻
2.下列各组中，属于反比例关系的是（）
A.正方形的边长与对角线
B.矩形面积为定值时，它的长和宽
C.圆面积和半径
D.直角三角形中，三条边的关系
3.甲、乙两个同学在操场上，甲从旗杆底部出发先向西走10米，再向南走15米停在A点，乙也从旗杆底部出发先向东走20米，再向北走15米停在B点，则A、B两点距离是（）
A.米B.米C.米D.米
4.每上5级台阶升高1米，则升高米数h是台阶数S的函数，即（）
A.B.C.D.
5.水池储水800米3，每小时放水P米3，t小时后水池中水为Q米3，则解析式为（）
A.B.
C.D.
6.某汽车油箱中存油20千克，油从管道中匀速流出，100分钟可流完，则油箱中剩的油量Q（千克）与流出时间t（分钟）之间的函数关系式是（）
A.（）
B.（）
C.（）
D.以上都不对
二.填空题
7.下列各题中是正比例关系的有____________；是反比例关系的有__________；是二次函数关系的有_____________
A.正方形的周长P和边长a
B.正方形的面积S和边长a
C.圆的面积S和直径的平方
D.同圆中的弦和弦心距d
E.匀速直线运动中，路程s一定，速度v和时间t
8.如图矩形ABCD中边长常数，设，矩形面积为y
（1）用x表示y，得y＝________
（2）自变量x的变化范围
9.某班有学生48人，共收书费y元与每个学生交费x元的函数关系式为_________
10.等腰三角形底角度数y与顶角度数x的函数关系式是___________
11.某厂去年生产机器1万台，今年生产机器y台与今年比去年生产的增长率x的函数关系式是___________
三.解答题
12.求等腰直角三角形的一条直角边长x作为自变量关于三角形周长的函数关系式
13.已知华氏温度F与摄氏温度C之间有一次函数关系，当华氏温度为时，摄氏温度为，而当摄氏温度为时，华氏温度为，试求F与C的函数关系式，并求华氏时，摄氏温度是多少？
14.如图，甲、乙两船分别从A、C两地同时驶出，方向分别为向西和向南，已知海里，甲乙两船速度分别为每小时16海里和12海里，问几分钟后，两船距离最近。
【试题答案】
一.选择题
1.D2.B3.B4.C5.A6.C
二.填空题
7.A和C，E，B
8.
（1）；
（2）
9.
10.
11.
三.解答题
12.
13.，－17.8℃
14.24分钟6海里
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