人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第15讲圆的有关性质有答案精选学习文档.docx

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第15讲圆的有关性质

第一部分知识梳理

知识点一：

圆的相关概念

1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

3、圆的对称性：

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

知识点二：

弦、弧与圆的相关定义；

1、弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）

2、直径：

经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

3、半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“

”，读作“圆弧AB”

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

等弧：

在同一个圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。

知识点三：

垂径定理及其推论

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

知识点四：

内接四边形

定理：

圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

第二部分考点精讲精练

考点1、圆的认识

例1、生活中处处有数学，下列原理运用错误的是（　　）

A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理

B．修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理

C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理

D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理

例2、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（　　）

A、a=bB、a＜bC、a＞bD、不能确定

例3、到点O的距离等于8的点的集合是．

例4、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是______．

例5、如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，求∠D的度数．

例6、如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．求证：

AF=BE．

举一反三：

1、有下列四个说法：

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（　　）

A、1B、2C、3D、4

2、如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（　　）

A．4πrB．2πrC．πrD．2r

3、如图所示，三圆同心于O，AB=4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为    cm2．

4、如图，点A、B在⊙O上，且AB=BO．∠ABO的平分线与AO相交于点C，若AC=3，则⊙O的周长为______．（结果保留π）

5、已知AB为⊙O的直径，弦ED与AB的延长线交于⊙O外一点C，且AB=2CD，∠C=25°，求∠AOE的度数．

考点2、弧、弦、圆心角的关系

例1、如果两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等

B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D.以上说法都不对

例2、若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（  ）

A．30° B．60° C．90° D．120°

例3、在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦

①若AB=CD，则有    =    ，    =    

②若弧AB=弧CD，则有    =    ，    =    

③若∠AOB=∠COD，则有    =    ，    =    ．

例4、如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30°．过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB＝．

例5、如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CN=4cm，则CD=    cm．

例6、已知：

如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：

AD=DC． 

举一反三：

1、下列语句中，正确的有（）

A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．长度相等的两条弧相等

D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

2、如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=（  ）

A．40°    B．45°    C．50°    D．60°

3、如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：

弧AmC=3：

4，则∠AOC=    度．

4、在半径为1的圆中，长度等于

的弦所对的圆心角是    度．

5、已知：

如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是

的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：

CD=AE=BF．

考点3、圆周角的应用

例1、如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在

上．则∠BPC=（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

例2、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（）

A．35°B．45°C．55°D．65°

例3、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O直径，若∠ABC＝50°，则∠CAD＝________°．

例4、AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．

例5、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

例6、已知：

如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．

（1）求四边形AEOF的面积．

（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．

举一反三：

1、如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）

A．70°B．35°C．45°D．60°

2、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC等于（）

A．65°B．35°C．70°D．55°

3、如图，AB为⊙O的直径，BC=2cm，∠CAB=30°，则AB=    cm．

4、如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，则：

（1）OC与AD的位置关系是______；

（2）OC与BD的位置关系是______；

（3）若OC=2cm，则BD=______cm．

5、如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：

（1）∠BAD=∠ACB；

（2）AE=BE．

考点4、圆内接四边形

例1、四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）

A．1：

3：

2：

4B．7：

5：

10：

8

C．13：

1：

5：

17D．1：

2：

3：

4

例2、如图，AB是半圆的直径，D是

的中点，∠B=40°，则∠A等于（）

A．60°B．50°C．80°D．70°

例3、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，2），M是劣弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）

A．4B．3C．2D．2

例4、如图，已知圆心角∠BOC=80°，那么圆周角∠BAC=    度．

例5、如图，ABCD是圆内接四边形，E为DA延长线上的一点，若∠C=45°，AB=

，则∠BAD=    ，点B到AE的距离为    ．

例6、如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．

（1）求证：

AB为⊙C直径；

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

举一反三：

1、一条弦把圆周分成1：

4两部分，则这条弦所对的圆周角为（）

A．36°B．144°C．150°D．36°或144°

2、如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=140°，∠CBD的度数是（）

A．40°B．50°C．70°D．110°

3、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC=30°，则∠ADC=    ．

（2）（3）

4、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为弧BC上一点，下列结论：

①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°．其中正确的是    （填序号）．

5、如图，已知AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，

求证：

（1）AC是⊙O的切线；

（2）四边形BOAD是菱形．

考点5、垂径定理

例1、在圆中，下列命题中正确的是（）

A．垂直于弦的直线平分这条弦

B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦

C．平分弦的直径垂直于这条弦

D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦

例2、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）

A．

B．9－

C．

D．25－

例3、如图，⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠AEC=45°，OF⊥CD，垂足为F，OF=2，DE=3，则DC=    ．

例4、已知⊙O内有一点M，过点M作圆的弦，在所有的弦中，最长的弦的长度为10cm，最短的弦的长度为8cm，则点M与圆心O的距离为    cm．

例5、已知：

如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．

求证：

（1）PO平分∠BPD；

（2）PA=PC．

例6、如图①所示，已知点0是∠EPF的平分线上的点，以点0为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D．求证：

AB=CD．

（1）若角的顶点P在圆上，如图②所示，上述结论成立吗？

请加以说明；

（2）若角的顶点P在圆内，如图③所示，上述结论成立吗？

请加以说明．

举一反三：

1、如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，则折痕AB长为（）

A．

B．

C．

D．8

2、如图，两个圆都以O为圆心，则下面等式一定成立的是（）

A．AB=CDB．AB=BCC．BC=CDD．AD=2BC

3、如图：

已知∠ACB=90°，AB、CD的交点P是CD的中点，若AB=10，CD=8，则AP的值为   ．

（1）

（2）（3）

4、如图，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过点O，若CD=4，EM=6，则⊙O的半径为    ．

5、如图，⊙O中，弦AB，CD相交于P，且四边形OEPF是正方形，连接OP．若⊙O的半径为5cm，

，求AB的长．

考点6、垂径定理的实际应用

例1、如图，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是（）

A．10hB．20hC．30hD．40h

例2、如图，直径为20cm，截面为圆的水槽⊙O中有一些水，此时水面宽AB=12cm，后来水面上升了一定距离，但仍没有超过圆心，此时水面宽AB=16cm，则水面上升了    cm．

例3、如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：

这条公路是否会穿过自然保护区？

试通过计算加以说明．

例4、高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病．

（1）养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？

到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？

（2）为防止禽流感蔓延，防疫部门规定，离疫点3千米范围内为捕杀区．所有的禽类全部捕杀．离疫点3～5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路AB的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？

（结果保留根号）

举一反三：

1、当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：

cm），那么该圆的半径为（）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

2、某施工队在修建高铁时，需修建随，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA的长为    ．

3、台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？

请说明理由．

4、如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN=30°．点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从P沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多长？

第三部分课堂小测

1、下列说法错误的是（　　）

A、直径是圆中最长的弦B、长度相等的两条弧是等弧

C、面积相等的两个圆是等圆D、半径相等的两个半圆是等弧

2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）

3、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4， BD为⊙O的直径，则BD等于（ ）

A. 4   B. 6   C. 8   D. 12

4、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（）

A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°

5、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？

”用现代的数学语言表示是：

“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）

A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸

6、如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）

A．3B．4C．3

D．4

7、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标是（）

A．（1，2）B．（1，3）C．（2，3）D．（2，4）

8、在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是    ．

9、已知圆中一弦将圆分为1：

2的两条弧，则这条弦所对的圆心角为    度．

10、如图，圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=    度．

11、如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，D是

上任一点（不与A、C重合），则∠ADC的度数是    度．

12、如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=    ．

13、如图，A，B，C三点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为F，若∠A=30°，OF=3，则OA=    ，AC=    ，BC=    ．

14、如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．

15、如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．

16、如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出

（1）中所作圆的半径．

17、如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．

18、如图，P是⊙O外一点，PAB，PCD分别与⊙O相交于A，B，C，D．

（1）PO平分∠BPD；

（2）AB=CD；（3）OE⊥CD，OF⊥AB；（4）OE=OF．

从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明．

第四部分提高训练

1、如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=

，则PA+PB的最小值是。

2、如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：

IG=FD．小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG=FD．

请回答：

小云所作的两条线段分别是OH和OE；

证明IG=FD的依据是矩形的对角线相等，同圆的半径相等和等量代换．

3、如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，

）为圆心，以2

长为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．

（1）求出CP所在直线的解析式；

（2）连接AC，请求△ACP的面积．

4、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=

．

（1）求⊙O的半径；

（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为．

第五部分课后作业

1、中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：

圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）

A．一倍B．二倍C．三倍D．四倍

2、下列语句中，正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；

③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．

A．1个B．2个C．3个D．4个

3、⊙O中，M为

的中点，则下列结论正确的是（）

A．AB＞2AMB．AB=2AM

C．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定

4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30°，则∠ACB的大小为（）

A．60°B．30°C．45°D．50°

5、下列说法错误的是（）

A．圆内接四边形的对角互补B．圆内接四边形的邻角互补

C．圆内接平行四边形是矩形D．圆内接梯形是等腰梯形

6、如图所示，AB是⊙0的直径，AC为弦，0D⊥AC于点D，且0D=1cm，则BC的长为（）

A．3 cmB．2 cmC．1.5 cmD．4 cm

7、四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，∠DCE=70°，则∠BOD等于（）

A．100°B．110°C．140°D．70°

8、如图，AB为⊙O的直径，⊙C与⊙O内切于点A，且经过点O，⊙O的弦AE交⊙C于D，则下列关系不成立的是（）

A．OD⊥AEB．OD=

BEC．OD∥BED．∠B=60°

9、如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10

千米的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（）

A．

小时B．10小时C．5小时D．20小时

10、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=    ．

11、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为。

12、一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB的半径为5，弦AB=8，则弓形高CD为    ．

13、已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A：

∠B：

∠C=2：

5：

7，则∠D=   ．

14、圆心到圆的两条平行弦的距离分别为2和5，则这两条平行弦间的距离为    ．

15、如图：

A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度数．

16、如图，在⊙O中，C为

的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于E，连AE．

（1）求证：

AE是⊙O的直径；  

（2）求证：

AE=DE．

17、如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．

（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；

（2）求证：

∠ADE=∠OEF．

18、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，当水面到拱顶的距离小于3.5米时，需要采取紧急措施．如图所示，正常水位下水面宽AB=60米，水面到拱顶的距离18米．

①求圆弧所在圆的半径．

②当洪水泛滥，水面宽MN=32米时，是否需要采取紧急措施？

计算说明理由．

19、已知：

如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．

（1）试说明：

DE=BF；

（2）若∠DAB=60°，AB=6，求△ACD的面积．

20、如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？

参考答案

第15讲圆的有关性质

第二部分考点精讲精练

考点1、圆的认识

例1、A　

例2、A　

例3、解：

到点O的距离等于8的点的集合是：

以点O为圆心，以8为半径的圆．故答案是：

以点O为圆心，以8为半径的圆．

例4、

例5、

例6、

举一反三：

1、B　

2、B　

3、

4、

5、

考点2、弧、弦、圆心角的关系

例1、D

例2、B 

例3、

例4、

例5、

例6、

举一反三：

1、A

2、A 

3、

4、

5、解：

连接AC、BD，

∵C，D是

的三等分点，

∴AC=CD=BD，

∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，

∴△ACO≌△DCO．

∴∠ACO=∠OCD．

∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，

∴∠OEF=∠OCD，

∴CD∥AB，

∴∠AEC=∠OCD，

∴∠ACO=∠AEC