中考数学二轮复习规律探索问题2.docx
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中考数学二轮复习规律探索问题2
2019-2020年中考数学二轮复习——规律探索问题2
一、选择题
1.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是xx，则m的值是【】
A．43B．44C．45D．46
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】分析规律，然后找出xx所在的奇数的范围，即可得解：
∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m（m－1）＋1，共有m个奇数。
∵45×（45－1）＋1＝1981，46×（46－1）＋1＝2071，
∴第xx个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m＝45。
故选C。
2.一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为【】
A．B．C．D．
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。
【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=。
同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，
同理跳动n次后，即跳到了离原点的处。
故选D。
3.求1+2+22+23+…+2xx的值，可令S=1+2+22+23+…+2xx，则2S=2+22+23+24+…+2xx，因此2S﹣S=2xx﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+5xx的值为【】
A．5xx﹣1 B．5xx﹣1 C． D．
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。
【分析】设S=1+5+52+53+…+5xx，则5S=5+52+53+54+…+5xx，
∴5S﹣S=5xx﹣1，∴S=。
故选C。
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC
绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，
可得到点P2，此时AP2＝2＋
；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3
＝3＋
；…，按此规律继续旋转，直到得到点Pxx为止，则APxx＝【】
A．2011＋671
B．xx＋671
C．xx＋671
D．xx＋671
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次，APi（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2，
，1，且三次一循环，按此规律即可求解：
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=
。
根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次，APi（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2，
，1，且三次一循环。
∵xx÷3==670…2，
∴APxx=670（3+
）+2+
=xx+671
。
故选B。
5.如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2）．
把一条长为xx个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A—B—C
－D—A一…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【】
A．（1，－1） B．（－1，1）C．（－1，－2） D．（1，－2）
6.如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【】
（A）（B）（C）（D）
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰直角三角形和正方形的性质。
【分析】寻找规律：
∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，
∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形。
∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。
又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。
又∵AB=1，∴C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为。
同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，……正方形AnBnCnDn的边长为。
故选B。
7.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=﹣x分别交于A1，A2，A3，A4…，则点A30的坐标是【】
A．（30，30） B．（﹣8，8） C．（﹣4，4） D．（4，﹣4）
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，解直角三角形。
【分析】∵A1，A2，A3，A4…四点一个周期，而30÷4=7余2，
∴A30在直线y=﹣x上，且在第二象限。
即射线OA30与x轴的夹角是45°，如图OA=8，∠AOB=45°，
∵在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，
∴OA30=8。
∵A30的横坐标是﹣8sin45°=﹣4，纵坐标是4，即A30的坐标是（﹣4，4）。
故选C。
二、填空题
8.观察下列等式
①sin30°=cos60°=
②sin45°=cos=45°=
③sin60°=cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=▲．
【答案】1。
【考点】分类归纳（数字的变化类），互余两角三角函数的关系。
【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案
由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=sin230°+sin260°=；
sin245°+sin2（90°﹣45°）=sin245°+sin245°=；
sin260°+sin2（90°﹣60°）=sin260°+sin230°=；
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1。
9.对于正数，规定，例如：
，，则
▲。
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。
【分析】寻找规律：
当x=1时，f
（1）=；
当x=2时，f
（2）=，当x=时，f（）=，f
（2）＋f（）=1；
当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）=，f（3）＋f（）=1；
······
当x=n时，f（3）=，当x=时，f（）=，f（）＋f（）=1。
∴
。
∴当x=xx时，
。
10.观察分析下列方程：
①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是：
▲．
【答案】x=n+3或x=n+4。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。
【分析】求得分式方程①②③的解，寻找得规律：
∵由①得，方程的根为：
x=1或x=2，
由②得，方程的根为：
x=2或x=3，
由②得，方程的根为：
x=3或x=4，
∴方程的根为：
x=a或x=b，
∴可化为
。
∴此方程的根为：
x－3=n或x－3=n+1，即x=n+3或x=n+4。
11.猜数字游戏中，小明写出如下一组数：
，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵分数的分子分别是：
22=4，23=8，24=16，…2n。
分数的分母分别是：
22+3=7，23+3=11，24+3=19，…2n＋3。
∴第n个数是。
12.某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：
从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），…这样得到的20个数的积为▲。
【答案】21。
【考点】分类归纳（数字的变化类），有理数的运算。
【分析】∵第一同学报（+1）=2，第二位同学报（+1）=，第三位同学报（+1）=，……第20位同学报（+1）=，
∴这20个数的积为
。
13.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an= ▲．
【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。
【分析】分析规律：
∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴。
同理
∴。
14.已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则
=▲
【答案】。
【考点】反比例函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系。
【分析】如图，延长MnPn-1交M1P1于N，
∵当x=1时，y=1，∴M1的坐标为（1，1）；
∵当x=n时，y=，∴Mn的坐标为（n，）。
∴
。
15.如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…
△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=▲。
（用含n的式子表示）
【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，
∴S1＝×B1C1×B1M1＝×1×＝，
，
，
，
……，
。
∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴，即
。
∴。
16.如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面
积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到
的菱形产生的，依此类推……，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为▲_。
（n≥2，且n是正整数）
【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），菱形和矩形的性质，三角形中位线定理。
【分析】观察图形发现，第2个图形中的阴影部分的面积为，
第3个阴影部分的面积为，
…
第n个图形中的阴影部分的面积为。
17.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第xx个点的横坐标为▲．
【答案】45。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。
【分析】观察图形可知，到每一横坐标结束，经过整数点的点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，根据此规律解答即可：
横坐标为1的点结束，共有1个，1=12，
横坐标为2的点结束，共有2个，4=22，
横坐标为3的点结束，共有9个，9=32，
横坐标为4的点结束，共有16个，16=42，
…
横坐标为n的点结束，共有n2个。
∵452=2025，∴第2025个点是（45，0）。
∴第xx个点是（45，13），即第xx个点的横坐标为45。
18.如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去，点Bn的纵坐标为▲（n为正整数）。
【答案】。
【考点】分类归纳（图形变化类），一次函数综合题，等腰直角三角形的性质。
【分析】寻找规律：
由直线y=x的性质可知，∵B2，B3，…，Bn是直线y=x上的点，
∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且
A2B2=OA2=OB1=OA1；
A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；
A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；
……
。
又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1。
∴，即点Bn的纵坐标为。
三、解答题
19.观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
【答案】解：
（1）①275；572。
②63；36。
（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×=×（10b+a）。
证明如下：
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴左边=（10a+b）×=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），
右边=×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）
=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），
∴左边=右边。
∴“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×=×（10b+a）。
【考点】分类归纳（数字的变化类），代数式的计算和证明。
【分析】
（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可：
①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572。
∴52×275=572×25。
②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36。
∴63×369=693×36。
（2）按照
（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可。
20.规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数a用整数n表示的式子；
（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
0
1
2
3
4
5
...
yi
0
1
4
9
16
25
...
yi+1－yi
1
3
5
7
9
11
...
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...
请回答：
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
【答案】解：
（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：
2n+1。
（2）有理数b=（n≠0）。
（3）①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0
1
2
...
yi
0
1
4
...
yi+1－yi
...
故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。
②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi
0
...
yi
0
...
yi+1－yi
...
故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。
【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。
【分析】
（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
（Ⅰ）探究新知：
如图①⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..
（1）求证内切圆的半径r1=1;
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图②若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2）如图③若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值.
【答案】解：
（Ⅰ）
（1）证明：
在图①中，连接OE，OF。
∵点E、F、G是⊙O的切点
∴四边形CEOF是正方形，CE=CF=r1。
又∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5。
∴（3－r1）＋（4－r1）=5，解得r1=1。
（2）连接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r1=1，AG=3－r1=2，
∴tan∠OAG=。
（Ⅱ）
（1）连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E。
则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。
由（Ⅰ）tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，
同理可得：
tan∠O2BE=。
∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2。
∵AD＋DE＋BE=5，∴。
（2）如图③，连接O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnF⊥AB交于点F。
则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。
tan∠O1AD=，tan∠OnBF=,
∴AD=2rn，DE=2rn，…,FB=3rn。
又∵AD+DE+…+FB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，即（2n+3）rn=5，
∴。
【考点】分类归纳（图形的变化类），切线的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（Ⅰ）
（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。
（2）根据锐角三角函数定义直接求得。
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）的结论得tan∠O1AD=，同理可推得tan∠O2BE=，从而由AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2和AD＋DE＋BE=5可求得r2的值。
（2）由（Ⅱ）
（1）有tan∠O1AD=，tan∠OnBF=,从而由AD=2rn，DE=2rn，…,FB=3rn和AD+DE+…+FB=5，2rn+2rn+…+3rn=5可求得rn的值。
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