广东省揭阳市高二数学下学期学业水平考试期末试题.docx

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广东省揭阳市高二数学下学期学业水平考试期末试题

揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试

数学（理科）

（测试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则

A.{1,2}B.{0,1,2}C.D.

【答案】B

【解析】.，

所以，故选B.

2.已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的共轭复数=

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】复数.实部与虚部相等，则.

，.故选C.

3.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b没有公共点”是“平面α和平面β平行”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当“直线a和直线b没有公共点”时，两直线有可能在两个相交平面上。

充分性不成立；

当“平面α和平面β平行”，则，两直线必无公共点，必要性成立，即“直线a和直线b没有公共点”是“平面α和平面β平行”的必要不充分条件.

故选B.

4.若，且，则的值为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】因为，又，所以，所以＝，故选A．

．

5.已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】抛物线的焦点为.

所以椭圆的一个焦点为.即.

.

椭圆的离心率，故选D.

6.在图1的程序框图中，若输入的x值为2，则输出的y值为.

A.0B.C.D.

【答案】C

【解析】根据题意，本程序框图为求y的和

循环体为“直到型”循环结构，输入x=2，

第一次循环：

y=×2−1=0，|0−2|=2>1；x=0，

第二次循环：

y=×0−1=-，|−0|=1，x=-1；

第三次循环：

y=×（-1）−1=−，|−+1|⩽1，

结束循环，输出y=−.

故选：

C.

7.已知向量，，则函数的最小正周期为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】向量，

.

函数的最小正周期为，故选A.

8.在区间上随机选取一个数，若的概率为，则实数的值为

A.B.2C.4D.5

【答案】C

【解析】由题意x⩽1的概率为25,则=25，解得m=4；故选C.

点睛：

（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：

一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

9.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为.

故选B.

点睛：

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：

1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

10.在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是

A.B.2C.－2D.

【答案】B

【解析】由题知则，.

故选B.

11.已知直线：

，点，.若直线上存在点满足，则实数的取值范围为

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，数形结合易得.

故选C.

12.已知函数=，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】当时，函数有两个零点，不符合题意，故，，令得或，由题意知，，且，解得．

故选D.

点睛：

本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：

可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题∽第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题∽第（23）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题

卡相应的横线上．

13.展开式中常数项是_____________．

【答案】60

【解析】试题分析：

由题意可知常数项为.

考点：

二项式定理的有关知识

14.已知实数满足不等式组，则的最小值为_____________.

【答案】-2

【解析】作出可行域：

令

当直线经过点A（0,2）时，有最小值-2.

15.某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：

“小军第一名，小民不是第一名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：

前三名依次为____________.

【答案】小民、小乐、小军

【解析】由老师只才对一个分析知，“小军第一名”肯定不对，不然，“小民不是第一名”也就猜对了；

如果“小民不是第一名”猜对了，则必有，小军不是第一，小乐是第三，三人中没有第一了，不正确；

如果“小乐不是第三名”猜对了，则，小军不是第一，小民是第一，三人排名依次为：

小民，小乐，小军.

16.在△ABC中，角的对边分别为，已知是、的等差中项，且，则△面积的最大值为__________.

【答案】

【解析】由得，由余弦定得,

即，又（当且仅当时等号成立）得，所以

，即△面积的最大值为.

三、解答题：

本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（1）设出数列的公差与公比，利用已知条件列出方程，求解数列的通项公式然后求解的通项公式．

（2）利用数列的通项公式，拆项，通过等差数列和等比数列分别求和即可．

试题解析：

（Ⅰ）由数列是等差数列且

∴公差，

∴，

∵=3，=9，∴

∴数列的公比，

∴，

∴；

（Ⅱ）由得

.

18.如图，已知四棱锥的底面为矩形，D为的中点，AC⊥平面BCC1B1．

（Ⅰ）证明：

AB//平面CDB1;

（Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=,

（1）求BD的长；

（2）求B1D与平面ABB1所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

（1），

（2）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用中位线定理得出DE//AB，即可证得；

（Ⅱ）

（1）在中，利用勾股定理运算即可；

（2）以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立空间直角坐标系，利用向量求解线面角即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：

连结交于E，连结DE，

∵D、E分别为和的中点，

∴DE//AB,

又∵平面,平面,

∴AB//平面CDB1;

（Ⅱ）

（1）∵AC⊥平面BCC1B1，平面，

∴,

又∵,，

∴平面，

∵平面,

∴,

在,∵BC=1，,

∴;

【注：

以上加灰色底纹的条件不写不扣分！

】

（2）依题意知AC、BC、CC1两两互相垂直，以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立空间直角坐标系如图示，

易得，，

，，

故,,,

设平面的一个法向量为，

由得令得，

设与平面所成的角为，则,

即与平面所成的角的正弦值为.

【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D到平面ABB1的距离，（10分）再用公式算与平面所成角的正弦值（12分）】

19.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：

（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；

（Ⅱ）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.

（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的概率;

（2）已知该地区型车每小时的租金为1元，型车每小时的租金为1.2元，设为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求的数学期望.

【答案】（Ⅰ）高一学生人数为3，高二学生的人数为4；（Ⅱ）

（1），

（2）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用各年级的比例，抽样即可；

（Ⅱ）

（1）从7个人里抽三个，总数为，计算抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的情况，作比即可；

（2）的可能取值为：

3,3.2,3.4,3.6，分别计算概率即可.

试题解析：

（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，

高二学生的人数为:

；

（Ⅱ）

（1）解法1：

所求的概率.

解法2：

所求概率.

（2）从小组内随机抽取3人，得到的的可能取值为：

3,3.2,3.4,3.6.（元）

因

故的数学期望.（元）

20.已知如图，圆、椭圆均经过点M，圆的圆心为，椭圆的两焦点分别为.

（Ⅰ）分别求圆和椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过作直线与圆交于、两点，试探究是否为定值？

若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）为定值，其值为2.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）通过计算圆心和半径得圆的方程，根据计算a的值，及焦点得c即可得椭圆方程；

（Ⅱ）由直线和椭圆联立，利用韦达定理，利用坐标表示，计算即可定值.

试题解析：

（Ⅰ）依题意知圆C的半径，

∴圆C的标准方程为：

；

∵椭圆过点M，且焦点为、，

由椭圆的定义得：

，

即，

∴，，

∴椭圆E的方程为：

.

【其它解法请参照给分】

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设为，则的方程为，

由消去得：

，

显然有解，

设、，则，

．

故为定值，其值为2.

点睛：

定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

21.已知函数.

（Ⅰ）确定函数的单调性；

（Ⅱ）证明：

函数在上存在最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求导得，结合定义域得单调区间；

（Ⅱ）由，