特殊三角形知识点家教版.docx

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特殊三角形知识点家教版

特殊三角形

三角形

1、三角形的内角和是180°

2、三角形的外角和是360°

3、三角形的任意一个外角都等于和它不相邻的两个内角的和。

4、三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的内角

全等三角形

●全等三角形的性质

1、对应边相等

2、对应角相等

●三角形全等的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等（SSS或边边边）

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或边角边）

3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA或角边角）

4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或角角边）

5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或斜边、直角边）

角平分线

●角的平分线的性质

1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（在三角形内部，到三边相等的点是三角形角平分线的交点）

等腰三角形

●等腰三角形的性质

1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

●等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。

（等角对等边）

等边三角形

●等边三角形的性质

1、等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。

2、三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

直角三角形

●直角三角形的定理

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

●直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

●勾股定理

　　勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

　　勾股定理逆定理：

如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

●中位线

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

1、直角三角形的性质：

⑴、在直角三角形中，两锐角；

⑵、在直角三角形中,上的中线等于的一半.

⑶、在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么.

⑷、在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么.（定理⑵、⑶通常用于证明线段之间的倍分关系;定理⑷通常用于求三角形中角的度数）

⑸、勾股定理内容:

.

2、直角三角形的判定：

⑴、有一个角等于_________的三角形是直角三角形；

⑵、有两个角_____________的三角形是直角三角形；

⑶、如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。

⑷、勾股定理的逆定理内容:

.

常见的勾股数（及其倍数）:

3、直角三角形全等的判定：

斜边、直角边定理:

（1）定理内容:

.

（2）定理作用:

.

4、角平分线的性质和判定定理：

（1）性质定理内容:

.

用符号语言表示:

如图,∵∴.

（2）判定定理内容：

用符号语言表示:

如图,∵,

∴.

◆典例精析

【例题1】判断题：

（正确的画“∨”，错误的画“×”）

（1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（）

（2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（）

（3）等腰三角形两腰上的高相等；（）

（4）等边三角形的三条高相等；（）

（5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（）

（6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（）

评析：

本题主要考查等腰三角形的性质与判定．

（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．

（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等．

答案：

（1）∨

（2）×（3）∨（4）∨（5）×（6）×

评析：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．

【例题2】

（1）已知：

a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断△ABC的形状．

（2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：

△ABC为直角三角形．

解题思路：

由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．

（1）解：

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，

∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，

∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，

∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2，

∴△ABC为直角三角形．

（2）证明：

∵CD⊥AB，

∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2．

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB，

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2．

∴△ABC为直角三角形．

评析：

（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方．

（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，先分别在Rt△ACD和Rt△BCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形．

【例题3】（北京）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

简述理由，并求出面积的最大值．

解题思路：

（1）木棍在滑动过程中，OP始终是Rt△AOB斜边中线，故为斜边AB的一半，而AB的长为定长，所以OP不变．

（2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为AB为定值，当高最大时，△AOB的面积为最大，所以当OP⊥AB（即OA=OB）时，△AOB面积最大．

解：

（1）不变．理由：

在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，由性质有斜边中线OP长不变．

（2）当△AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，如图，若h与OP不相等，则总有h

此时，S△AOB=

AB·h=

×2a·a=a2．

所以△AOB的面积最大值为a2．

评析：

（1）在变化过程中，要抓住不变量，建立起所求量与不变量的关系．

（2）要求面积的最大值转化为三角形底不变，高是变量，即找出高的变化的最大值即得．

◆探究实践

【问题1】已知△ABC的两边AB、AC长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

解题思路：

（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解，再用判别式和根与系数的关系检验．

（2）用求根公式和等腰三角形的性质求解．

解：

（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：

∵AC2+AB2=（AC+AB）2-2AC·AB．

∴25=（2k+3）2-2（k2+3k+2），

∴k1=-5，k2=2．

当k=-5时，方程的两根为负值，不合题意，舍去．

∴k=2，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

（2）∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，∴AC≠AB．

当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4．

k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5．△ABC的周长为14．

k=4时，方程为x2-11x+30=0，x1=5，x2=6．△ABC的周长为16．

评析：

这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解．另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定理，不满足的也要舍去．【问题2】如下左图，图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边的长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；

（2）用这个图形证明勾股定理；

（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用

（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？

请画出拼后的示意图（无需证明）．

解题思路：

由所给出的三个图形拼成直角梯形，抓住面积来证明勾股定理．

解：

（1）如上右图是所拼的图形，它是直角梯形．

（2）∵S梯形=

（a+b）（a+b）=

（a+b）2，

又∵S梯形=

ab×2+

c2=ab+

c2，

∴

（a+b）2=ab+

c2，整理得a2+b2=c2．

（3）拼出能证明勾股定理的图形．（图略）

评析：

这是考察学生综合能力的一个题目，证明勾股定理的方法很多，而本题给出了三个直角三角形，分析直角三角形的边，用面积关系得出勾股定理的一种证明方法．

◆中考演练

一、填空题

1．等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长为______cm．

2．（山西）在△ABC中，如图1，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F=_____度．

（1）

（2）（3）

3．等腰三角形的两外角之比为5：

2，则该等腰三角形的底角为________．

二、选择题

1．如图2，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）．

A．30°B．36°C．45°D．70°

2．下列命题中，错误的是（）．

A．等边三角形的各边相等，各角相等B．等边三角形是一个轴对称图形

C．等边三角形是一个中心对称图形D．等边三角形有一个内切圆和一个外接圆

3．如图3，在△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）．

A．10°B．20°C．30°D．40°

三、解答题

1．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：

S四边形EDFC=

S△ABC．

2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：

AE=CD：

（2）若AC=12cm，求BD的长．

◆实战模拟

一、填空题

1．底角为15°，腰长为a的等腰三角形的面积是_______．

2．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数为______．

3．如图，D为等边三角形ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数是______．

二、选择题

1．（宿迁）如图6的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）．

A．

（1）

（2）（3）B．

（1）

（2）（4）C．

（2）（3）（4）D．

（1）（3）（4）

2．如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）．

A．45°B．55°C．60°D．75°

3．三角形两边的长为6和8，第三边长为方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）．

A．24B．24或8

C．48D．8

三、解答题

1．（兰州）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于O点，给出下列四个条件：

①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．

（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形．（用序号数写出所有情况）

（2）选择

（1）中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

2．（吉林）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°，DF=EF=4．

（1）移动△DEF，使边DE与AB重合（如图①）．再将△DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图②），求BE的长．

（2）将图②中的△DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AF（如图③）．请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由．（不再添加辅助线，不再标注其他字母）

答案:

中考演练

一、1．122．40°3．30°

二、1．B2．C3．B

三、1．连结CD，证△ADE≌△CDF

2．

（1）证△AEC≌△CDB

（2）6cm

实战模拟

一、1．

a22．30°或150°3．30°

二、1．D2．C3．B

三、1．①③，①④，②③，②④

（2）略

2．

（1）BE=AB-AE=4-

=

，Rt△AEF≌△FBA，证略．