1．证明线线平行的常用方法
（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；
（2）利用平行四边形进行转换；
（3）利用三角形中位线定理证明；
（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明．
2．证明线面平行的常用方法
（1）利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；
（2）利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行．
3．证明面面平行的方法
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行．
4．证明线线垂直的常用方法
（1）利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
（2）利用勾股定理逆定理；
（3）利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．
5．证明线面垂直的常用方法
（1）利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；
（2）利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；
（3）利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
6．证明面面垂直的方法
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.
真题感悟
1．（2014·辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案 B
解析 方法一 若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；
若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；
若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．
方法二
如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，
但m与n是相交直线，故A错．
B项中，m⊥α，n⊂α，
∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．
C项中，若m为AA′，n为AB，
满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．
D项中，若m为A′B′，n为B′C′，
满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．
2．（2014·辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
（1）求证：
EF⊥平面BCG；
（2）求三棱锥D－BCG的体积．
附：
锥体的体积公式V＝
Sh，其中S为底面面积，h为高．
（1）证明 由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
（2）解 在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝
，
所以VD－BCG＝VG－BCD＝
S△DBC·h
＝
×
BD·BC·sin120°·
＝
.
押题精练
1.
如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：
①PA∥平面MOB；
②MO∥平面PAC；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________（填上所有正确命题的序号）．
答案 ②④
解析 ①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
（1）证明：
平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？
并证明你的结论．
（1）证明 如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以B1C1⊥面ABB1A1.
因为A1B⊂面ABB1A1，
所以B1C1⊥A1B.
又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，
所以A1B⊥面ADC1B1.
因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.
（2）解 当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
取C1D1中点F，连接EF，B1F
易知：
EF∥C1D，且EF＝
C1D.
设AB1∩A1B＝O，连接OE，则B1O∥C1D且B1O＝
C1D，
所以EF∥B1O且EF＝B1O，
所以四边形B1OEF为平行四边形．
所以B1F∥OE.
又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.
所以B1F∥面A1BE.
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一、选择题
1．（2014·广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）
A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析 根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．
3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1B．A1C⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1
答案 D
解析 因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥BB1且DD1＝BB1，所以四边形DD1B1B为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为BD⊄面CB1D1，B1D1⊂面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为AA1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以AA1⊥BD，因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为AC∩AA1＝A，所以BD⊥面A1ACC1，因为A1C⊂面A1ACC1，所以BD⊥A1C，故B正确．同理可证得B1D1⊥面A1ACC1，因为AC1⊂面A1ACC1，所以B1D1⊥AC1，同理可证CB1⊥AC1，因为B1D1∩CB1＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正确．排除法应选D.
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，
又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.
5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案 D
解析 对①，根据线面平行的判定定理知，m∥α；对②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α；对③，在平面α内取一点A，设过A、m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，则m∥α；对④，设α∩β＝l，在α内作m′⊥β，因为m⊥β，所以m∥m′，从而m∥α.故四个命题都正确．
6.
在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2
，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是（ ）
A．12πB．32π
C．36πD．48π
答案 C
解析 由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM，
又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，∴BS⊥面ASC.
即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为
SA＝6.
∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.选C.
二、填空题
7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数为_________________．
答案 2
解析 ①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β，且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故③④正确．
8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________（写出所有符合要求的图形序号）．
答案 ①③
解析 对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.
9.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
答案 a或2a
解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.
易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，
得
＝
，
即
＝
，
整理得x2－3ax＋2a2＝0，
解得x＝a或x＝2a.
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（不含端点）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．
答案
解析 破解此题可采用两个极端位置法，
即对于F位于DC的中点时，t＝1，
随着F点到C点时，
∵CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，
即有CB⊥BD，
对于CD＝2，BC＝1，
∴BD＝
，
又AD＝1，AB＝2，因此有AD⊥BD，
则有t＝
，
因此t的取值范围是
.
三、解答题
11．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，
（1）求证：
AC⊥BC1；
（2）求证：
AC1∥平面CDB1.
证明
（1）直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴AC⊥BC.CC1⊥平面ABC，
AC⊂平面ABC，
∴AC⊥CC1，又BC∩CC1＝C，
∴AC⊥平面BCC1B1，
BC1⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是C1B的中点，
∴DE∥AC1，
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
12．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF＝
AB.
（1）求证：
EF∥平面BC1D；
（2）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由．
（1）证明 取AB的中点M，连接A1M.
因为AF＝
AB，所以F为AM的中点．
又E为AA1的中点，所以EF∥A1M.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，M分别是A1B1，AB的中点，
所以A1D∥BM，A1D＝BM，
所以四边形A1DBM为平行四边形，所以A1M∥BD.
所以EF∥BD.
因为BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，
所以EF∥平面BC1D.
（2）解 设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．
则VE－AFG∶VABC－A1B1C1＝1∶16，
所以
＝
＝
×
×
×
＝
×
，
由题意，
×
＝
，解得
＝
＝
.
所以AG＝
AC>AC，所以符合要求的点G不存在．
13.
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△
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