初中数学《圆的基本性质》中考集锦含答案.docx
《初中数学《圆的基本性质》中考集锦含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学《圆的基本性质》中考集锦含答案.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中数学《圆的基本性质》中考集锦含答案
初中数学《圆的基本性质》好题集锦
一、圆的有关线段和角
1.如图所示,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BOC=120°,延长BO交⊙O于D点.
(1)试求∠BAD的度数;
(2)求证:
△ABC为等边三角形.
2.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB于点E,AM⊥BC于点M,交CD于点N,连接AD.
(1)求证:
AD=AN;
(2)若AB=
,ON=1,求⊙O的半径.
3.已知,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点C.、P在AB的两侧,AC=
AB,连接CP,BP.
(Ⅰ)如图①,若CP经过圆心,求∠P的大小;
(Ⅱ)如图②,点D是PB上一点,CD⊥PB,若CP⊥AB,求∠BCD的大小.
4.如图,⊙P的圆心的坐标为(2,0),⊙P经过点
.
(1)求⊙P的半径r;
(2)⊙P与坐标轴的交点A,E,C,F的坐标;
(3)点B关于x轴的对称点D是否在⊙P上,请说明理由.
5.如图,AB是⊙O的直径,C是
的中点,CE⊥AB于 E,BD交CE于点F.
(1)求证:
CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,求CE的长.
6.已知:
如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:
∠DAC=∠DBA;
(2)求证:
P是线段AF的中点;
(3)连接CD,若CD=3,BD=4,求⊙O的半径和DE的长.
7.如图,四边形ABCD为圆内接四边形,对角线AC、BD交于点E,延长DA、CB交于点F,且∠CAD=60°,DC=DE.求证:
(1)AB=AF;
(2)A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心).
二、圆与四边形
8.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连结AE.
(1)求证:
四边形AECD为平行四边形;
(2)连结CO,求证:
CO平分∠BCE.
9.如图,正方形ABCD的外接圆为⊙O,点P在劣弧
上(不与C点重合).
(1)求∠BPC的度数;
(2)若⊙O的半径为8,求正方形ABCD的边长.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.
(1)求证:
四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.
11.我们不妨约定:
对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中,一定是“十字形”的有________.
(2)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,且CB=CD
①证明:
四边形ABCD是“十字形”;
②若AB=2.∠BAD=60°,∠BCD=90°,求四边形ABCD的面积.
(3)如图2.A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,若∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD.满足AC+BD=3,求线段OE的取值范围.
三、圆的综合运用
12.已知圆O的直径AB=12,点C是圆上一点,且∠ABC=30°,点P是弦BC上一动点,
过点P作PD┴OP交圆O于点D.
(1)如图1,当PD∥AB时,求PD的长;
(2)如图2,当BP平分∠OPD时,求PC的长.
13.如图,点E为⊙O的直径AB上一个动点,点C、D在下半圆AB上(不含A、B两点),且∠CED=∠OED=60°,连OC、OD
(1)求证:
∠C=∠D;
(2)若⊙O的半径为r,请直接写出CE+ED的变化范围(用含r的代数式表示).
14.如图,有两条公路 OM、ON 相交成 30°角,沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A.当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时,在以 P 为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪 声的影响,且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大.若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时.
(1)求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离;求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间.
15.如图,以点P(﹣1,0)为圆心的圆,交x轴于B、C两点(B在C的左侧),交y轴于A、D两点(A在D的下方),AD=2
,将△ABC绕点P旋转180°,得到△MCB.
(1)求B、C两点的坐标;
(2)请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状(不必证明),求出点M的坐标;
(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转,到与BC重合时停止,设直线l与CM交点为E,点Q为BE的中点,过点E作EG⊥BC于G,连接MQ、QG.请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?
若不变,求出∠MQG的度数;若变化,请说明理由.
16.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CF垂直直径BD于点E,交边AB于点F.
(1)求证:
∠BFC=∠ABC.
(2)若⊙O的半径为5,CF=6,求AF长.
《圆的基本知识好题》参考答案
1.解:
(1)∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°(直径所对的圆周角是直角).
(2)证明:
∵∠BOC=120°,∴∠BAC=
∠BOC=60°.又∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形.
2.
(1)证明:
∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,
∴∠BAD=∠BCD,
∵AE⊥CD,AM⊥BC,∴∠AEN=∠AMC=90°,∵∠ANE=∠CNM,∴∠BAM=∠BCD,
∴∠BAM=∠BAD,,∴△ANE≌△ADE(ASA),∴AN=AD;
(2)解:
∵AB=4
,AE⊥CD,∴AE=2
,又∵ON=1,∴设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,OD=OE+ED=2x-1,解图,连接AO,则AO=OD=2x-1,
第2题解图
3.解:
(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AC=
AB,∴∠ABC=30°,∴∠A=90°-∠ABC=60°,
∴∠P=∠A=60°;(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,AC=
AB,∴∠A=60°,∴∠BPC=∠A=60°,
∵CD⊥PB∴∠PCD=90°-BPC=30°,∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴BC=BP,∴∠P=∠BCP=60°,∴∠BCD=∠BCP-∠PCD=60°-30°=30°.
4..解:
(1)过点B作x轴的垂线,交x轴于点G,连接BP.
则点G坐标为(4,0).
在Rt△PBG中,PG=4-2=2,BG=
,斜边PB=
∴⊙P的半径r=
.
(2)点E坐标为(2-
,0),点F坐标为(2+
,0)∵点A坐标的y值=
,∴点A坐标为(0,
).点C坐标为(0,-
).
(3)∵⊙P关于x轴对称,又∵B与D关于x轴对称,∴D在⊙P上.
5.证明:
如图.∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°.∴∠2=90°-∠ACE=∠A.
又∵C是弧BD的中点,∴∠1=∠A.∴∠1=∠2,∴ CF=BF.
(2)此时,CE=
6.
(1)证明:
∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA,
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,
∴∠DAC=∠DBA;
(2)证明:
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AB于E,
∴∠DEB=90°,∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°,∴∠1=∠5=∠2,
∴PD=PA,∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°,且∠ADB=90°,∴∠3=∠4,
∴PD=PF,∴PA=PF,即P是线段AF的中点;
(3)解:
连接CD,∵∠CBD=∠DBA,∴CD=AD,∵CD=3,∴AD=3,
∵∠ADB=90°,AB=5,⊙O的半径为2.5,∵DE×AB=AD×BD,∴5DE=3×4,
∴DE=2.4.即DE的长为2.4.
7.
(1)证明:
∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC
=120°﹣(60°+∠ADE)=60°﹣∠ADE,
而∠F=60°﹣∠ACF,
因为∠ACF=∠ADE,
所以∠ABF=∠F,所以AB=AF.
(2)证明:
四边形ABCD内接于圆,所以∠ABD=∠ACD,
又DE=DC,所以∠DCE=∠DEC=∠AEB,
所以∠ABD=∠AEB,
所以AB=AE.
∵AB=AF,
∴AB=AF=AE,即A是三角形BEF的外心.
8.
(1)根据圆周角定理知∠E=∠B,
又∵∠B=∠D,∴∠E=∠D.
∵AD∥CE,∴∠D+∠DCE=180°,
∴∠E+∠DCE=180°,
∴AE∥DC,∴四边形AECD为平行四边形.
(2)如图,连结OE,OB,
由
(1)得四边形AECD为平行四边形,
∴AD=EC.
又∵AD=BC,∴EC=BC.
∵OC=OC,OB=OE,
∴△OCE≌△OCB(SSS),
∴∠ECO=∠BCO,即OC平分∠BCE.
9.11.解:
连接OB,OC,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,∴∠BPC=
∠BOC=45°;
(2)解:
过点O作OE⊥BC于点E,∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠OBE=45°,∴OE=BE,∵OE2+BE2=OB2,∴BE=
∴BC=2BE=
10.解析:
(1)∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,
∵AB=AC,∴BE=CE,
∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AC=AB,∴四边形ABFC是菱形.
(2)设CD=x.连接BD.
∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2,
∴(7+x)2﹣72=42﹣x2,
解得x=1或﹣8(舍弃)
∴AC=8,BD=
,
∴S菱形ABFC=
.
∴S半圆=
11.15.
(1)菱形,正方形
(2)解:
①如图1,连接AC,BD
∵AB=AD,且CB=CD
∴AC是BD的垂直平分线,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是“十字形”
②如图,设AC与BD交于点O
∵AB=AD,AC⊥BD
∴∠BAO=
∠BAD=30°
同理可证∠BCO=45°
在Rt△ABO中,OB=1
AO=AB×cos30°=
OB=OC=1
∴AC=AO+CO=1+
,BD=2
∴四边形ABCD的面积=
×AB×BD=
×2×(1+
)=1+
(3)解:
如图2
∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CDB=∠CAB,
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB,
∴∠AED=∠AEB=90°,
∴AC⊥BD,
过点O作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,连接OA,OD,
∴OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM=
AC,DN=
BD,四边形OMEN是矩形,
∴ON=ME,OE2=OM2+ME2,
∴OE2=OM2+ON2=2﹣
(AC2+BD2)
设AC=m,则BD=3﹣m,
∵⊙O的半径为1,AC+BD=3,
∴1≤m≤2,∴
12.连结OD ∵直径AB=12 ∴OB=6 ∵PD┴OP ∴∠ DPO=90°
∵PD∥AB ∴∠ POB=90°
又∵∠ ABC=30° ,OB=6∴OP=
∵在Rt△POD中, 由勾股定理得PD=
(2)过点O作OH┴BC,垂足为H ∵OH┴BC
∴∠ OHB= OHP=90°∵∠ ABC=30°,OB=6∵在⊙O中,OH┴BC∴CH=BH=
∵BP平分∠OPD ∴PH=3,
13.证明:
(1)延长CE交⊙O于D′,连接OD′
∵∠CED=∠OED=60°,∴∠AEC=60°,OED′=60°,∴∠DEO=∠D′EO=60°,
由轴对称的性质可得∠D=∠D′,ED=ED′,∵OC=OD′,D′=∠C,∴∠C=∠D;
(2)∵∠D′EO=60°,∴∠C<60°,C=∠D′<60°,∴∠COD′>60°,∴CD′>OC=OD′,
∵CD′<OC+OD′,∵CE+ED=CE+ED′=CD′,∴r<CE+ED<2r.
14.解:
(1)过点 A 作 AD⊥ON 于点 D,
∵∠NOM=30°,AO=80m,AD=40m,即对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米;
由图可知:
以 50m 为半径画圆,分别交 ON 于 B,C 两点,AD⊥BC,BD=CD=
BC,OA=80m,
∵在 Rt△AOD 中,∠AOB=30°,AD=
OA=
×80=40m,
在 Rt△ABD 中,AB=50,AD=40,由勾股定理得:
BD=30m, 故BC=2×30=60 米,即重型运输卡车在经过 BC 时对学校产生影响.
∵重型运输卡车的速度为 18 千米/小时,即300 米/分钟,
∴重型运输卡车经过 BC 时需要 60÷300=0.2(分钟)=12(秒).
答:
卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒.
15.
(1)连接PA,如图1所示.∵PO⊥AD,∴AO=DO.∵AD=2
,∴OA=
.点P坐标为(﹣1,0),∴OP=1.∴PA=
=2.∴BP=CP=2.
∴B(﹣3,0),C(1,0).
(2)连接AP,延长AP交
⊙P于点M,连接MB、MC.如图2所示,线段MB、MC即为所求作.
四边形AC
MB是矩形.理由如下∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得,
∴四边形ACMB是平行四边形.∵BC是⊙P的直径,∴∠CAB=90°.
∴平行四边形ACMB是矩形.过点M作MH⊥BC,垂足为H,如图2所示.
在△MHP和△AOP中,∵∠MHP=∠AOP,∠HPM=∠OPA,MP=AP,
∴△MHP≌△AOP.∴MH=OA=
,PH=PO=1.∴OH=2.∴点M的坐标为(﹣2,
).
(3)在旋转过程中∠MQG的大小不变.∵四边形ACMB是矩形,BMC=90°.EG⊥BO,
∴∠BGE=90°.∴∠BMC=∠BGE=90°.∵点Q是BE的中点,∴QM=QE=QB=QG.
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心,QB为半径的圆上,如图3所示.
∴∠MQG=2∠MBG.∵∠COA=90°,OC=1,OA=
,∴tan∠OCA=
.
∴∠OCA=60°.∴∠MBC=∠BCA=60°.MQG=120°.
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变,始终等于120°.
16.
(1)证明:
连结AD,
∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∵CF⊥BD,∴∠BEF=90°,∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ABD+∠BFE=90°,∴∠BFC=∠ADB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ACB=∠ADB,∴∠BFC=∠ABC.
(2)解:
连结CD,∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°,∵∠BFC=∠ABC,
∴BC=CF=6,∵BD=10,∴CD=8
在Rt△BCE中,BE=
,CE=
,
,
∴AF=AB-BF=