极限思想在金融领域的应用.docx
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极限思想在金融领域的应用
极限思想在金融领域的应用
摘要
随着时代的快速发展，各个行业之间的联系也日益紧密，高等数学专业在社会中的应用范围也不断扩大，与经济领域之间的关系更为密切。
其一在经济领域中，高等数学可以提升经济领域发展的有效性；其二可以将经济领域有关的理论内容引入到高等数学中，以解决很多实践性问题。
在近代数学中，极限思想是一个较为重要的内容，高等数学很多重要概念都离不开极限思想，这对经济工作也带来了方便。
在对“大量”随机现象进行研究的时候，我们往往会运用极限这一形式，其形成与发展离不开各位科学家的努力，如泊松提出了泊松定理、伯努利提出了大数定律等，这些理论支撑着概率论的发展，也使人们开始研究大数定律、中心极限定理、泊松分布和正态分布等有关的理论内容。
随着研究内容的不断拓展，中心极限定理的重要性也更为凸显，其研究的是随机变量序列分布有关的内容，是一种实践性较强的数学工具。
而金融经济领域的边际、保险、复利以及一些经济生活中的问题，都涉及到极限思想的方法。
关键词：
极限思想棣莫佛-拉普拉斯定理边际保险复利
1.前言
1.1极限思想的由来
极限思维与其它科学的思维方式相同，都是在社会不断发展过程中产生的思维方式，是社会发展的产物。
最初极限思想在远古时代就产生了，刘徽的割礼就是极限思想的体现，其将直觉作为基础对原始极端思想进行了运用。
在中世纪的古希腊，亚里士多德等数学家所提出的穷竭法也属于极端理论的运用，不过因希腊人的“无限恐惧”，所以他们在运用的过程中，将“取极限”规避掉了，不过在证明的时候采用了一种间接方法，即谬误法。
史蒂文作为荷兰较为著名的数学家，他在十六世纪考察三角形重心时对古希腊穷竭法进行了改进，在思考问题的时候大胆引入了极端思想，将传统的回归沉思法摒弃掉。
也正是在这一过程中，其明确了极端方法的发展方向。
1.2什么是极限思想？
极限思想属于一种重要的数学思想，在数学分析中对这种思想进行运用，能够提升分析的有效性和科学性。
数学分析的本质，就是以极限思想为根本原理，开展函数研究的科学。
具体来看，极限思想指的是采用极限概念的方式对问题进行分析与解决的思想。
通常来看，采用极限思想解决问题主要包含了如下的步骤：
第一步，想法围绕被考察未知量构思一个存在关联性的变量；第二步，明确该变量就是当前计算的未知量；第三步，采用极限计算的方式得到结果。
在开展数学分析的过程中，很多时候需要用到极限思想，如分析函数连续性、分析定积分、分析导数等。
我们可以简单将数学分析概括为采用极限思想分析和研究函数的学科。
1.3极限思想的发展
极限思想的发展离不开微积分，在欧洲资本主义处于萌芽时期时，其生产力就得到了较快的发展，技术、生产中的问题越来越为复杂，难以运用初等数学方法进行解决，需要突破常量研究范围，构建可以研究变化过程、运动过程等的工具，这也是微积分、极限思想等发展的渊源。
在刚开始莱布尼茨和牛顿构建微积分的时候，运用了无穷小的概念，但是在分析过程中产生了较大的逻辑困难，因此他们都开始在分析过程中引入极限思想。
在对运动物体平均速度表示的时候，牛顿运用了路程有关的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt进行表示，使Δt无限接近零，以此取得了瞬时速度，也从其中引发出了微分学理论和导数的概念。
这一时期他已经开始认识到极限的重要作用，想要将其视为微积分的基础，他曾经说过，如果两个量之比，难以在有限时间中趋于相等，并且在这一时间没有被终止之前不断靠近，其差要比任意给定的差都小，那么最终就可以相等。
不过我们通过大量分析也发现，牛顿极限观念是将几何直观作为基础的，所以在极限方面难以取得更为严格的表述。
其采用的极限概念，仅仅是与如下直观语言描述相接近：
在n无限增大时，假设an与常数A无限接近，那么就可以认为an以A为极限。
这种对概念的解读比较浅显，人们容易理解。
不过该定义并没有准确描述出两个“无限过程”的关系，因此无法将其视为严格的科学论证依据。
由于在当时的时期中并没有从严格意义上归纳极限的定义，因此很多人员开始质疑微积分理论，如在分析瞬时速度概念的时候，Δt到底是不是等于零？
假设等于零，那么如何用其作除法呢？
假设不等于零，那么又如何去除包含它的那些项呢？
这也是无穷小悖论的体现。
其中对微积分争议最为激烈的是英国贝克莱，他将微积分视为“分明的诡辩”。
通过详细分析可以发现，贝克莱之所以对微积分产生较为强烈的攻击，原因有两个，其一是在当时那个时期中微积分并没有十分稳固的基础，即便是牛顿也难以对极限概念中诸多复杂的理论进行透彻分析；其二是受到宗教服务的影响。
这说明构建严格准确的微积分理论、切实分清楚极限概念是当务之急，不管是从数学家层面来看，还是从认识论上来说都十分重要。
很多人曾经试着对微积分理论基础进行解释，但最终都没有达到理想的结果。
原因在于数学研究对象逐渐开始从常量到变量扩展，但很多人员并不能深入认识变量规律；难以区别常量数学和变量数学之间的关系；不能明确无限与有限之间的对立关系。
如此，人们的思维已经习惯于停留在常量数学的处理中，难以适应变量数学有关的需求，而运用旧概念又无法详细说明“零”与“非零”之间的关系，陷入到了纠纷和矛盾中。
19世纪前期，数学家罗依里埃、达朗贝尔、罗宾斯都针对该内容进行了深化。
其中，达朗贝尔认为，即某个量是其它量的极限，如果第二个量比所有值都趋近于第一个量，那么其就是最趋近于极限定义的量。
不过虽然这些人员都从不同角度对极限进行了定义，但这些定义都对几何存在较大的依赖性，难以脱离其。
原因在于十九世纪之前几何和算术概念基本都是将几何量概念作为基础的。
波尔查诺是第一个采用极限概念给导数正确定义的，其以差商Δy/Δx的极限f′（x）对函数f（x）的导数进行定义，并指出，f′（x）并非两个零的商。
他的研究是有意义的，为很多人们提供了参考，不过他也并没有真正说清楚极限的本质。
法国著名的数学家柯西在19世纪对极限理论以及概念进行了完整阐述，他采用以零为极限的变量来定义无穷小，将传统意义上人们对“似零非零”的浑浊认识变得更为清晰，也说明在变化中，其值能够是非零，不过“零”仅仅是变化趋向，能够与零无限接近。
柯西在研究的时候试图将几何直观消除掉，以便为极限做出更为准确的定义，不过其在定义的时候也存在一些模糊性的词语，如“要多小就多小”、“无限趋近”等，存在物理与几何的痕迹，并非严格意义上消除几何直观。
为了进一步提升定义的准确性，将极限概念直观痕迹消除掉，维尔斯特拉斯通过详细分析提出了静态的极限定义，这使微积分有了更为准确的基础。
an=A本质就是指，假设对任何ε>0，总存在自然数N，那么在n>N时，不等式|an－A|<ε就会恒成立。
他在定义的时候，引入了不等式，在详细分析和论述ε和N关系的时候，刻化了“无限过程”的关系。
所以我们可以认为他的定义是严谨的，能够将其引入到微积分基础论证中，当前这一定义也被很多学者引入到了数学分析过程中。
这种定义单单是与数、大小关系等有关，采用的任取、存在、给定等词语，将“趋近”一词完全摆脱掉了，也将直观思想消除掉了。
我们都知道，常量数学是对数学对象进行的静态研究，在微积分和解析几何出现之后，运动逐渐开始走入数学中，人们会动态对物理过程进行研究。
后来，数学家维尔斯特拉斯又采用静态定义对变量变化趋势进行了刻化。
从静态到动态，又从动态到静态的持续性演变，深刻体现出了数学发展过程中的辩证规律。
假设函数f（x）在点x的去心邻域中存在定义，且有常数A存在，那么随便给定的正数ε（不管其多小），总会存在正数δ，那么就说明在x满足0<|x-x。
|<δ的时候，f（x）都会满足不等式：
|f（x）-A|<ε
那么常数A就叫做函数f（x）当x→x。
时的极限。
2极限思想在边际经济问题中的应用
2.1边际概念
人们通常会用边际来说明两个存在相关关系或者因果关系的变量的动态函数关系。
如果一个经济函数自变量出现了微小单位数量变化，且由此导致因变量出现数量变化值，那么就称其为这一因变量的边际值。
边际分析指的是将追加的收入和支出进行比较，设定双方相等时是临界点，如果最大利润是目标，那么在追加收入与支出等同的时候，该目标就可以被实现。
2.2极限思想解决边际问题
在经济学中我们往往会采用边际和平均来表示一个经济变量y对其它经济变量x的变化。
其中平均概念体现的是y在x某范围中的平均值，很明显，在x范围变化中平均值也在变化。
而边际概念体现的是x的该变量▲x与0相接近时，y与▲x比值Ay/Ox的变化，也就是说在给定值附近x存在微小变化时y发生的瞬时变化。
在这个问题研究中往往会运用到边际利润、边际收入、边际成本等概念。
边际替代率指在满足程度不变或者效用水平被维持的基础上，增加一单位商品消费时消费者对另一商品消费的放弃量。
图2.11示意图
当0X趋近于0时，有边际替代率为：
（2.1）
假设增加Vx1单位商品的消费时消费者对另一商品消费的放弃值为Vx1，那么其对应的边际替代率就是：
（2.2）
这是P到q的平均边际替代率，
在0X持续缩小，与零十分趋近时，属于量变过程，不过在量变满足某种界限时，平均边际替代率就会产生质变，从而得到：
（2.3）
因此我们可以发现，为了得到某点的量，会运用到“以匀代非匀”的方法计算出其近似值，之后采用取极限的方式从近似过度到精确。
在这其中，取极限是“匀”与“非匀”之间相互转化的条件，如果不取极限，那么就不可实现两者的转化，这是在解决边际问题过程中，极限思维的运用方式。
3中心极限定理在保险行业的应用
3.1独立同分布中心极限定理
在数理统计和概率论中，中心权限定理和大数定律是尤为关键的内容，发挥的是承上启下和过度性的作用，在中心极限中列维一林德伯格定理是特殊形式，其运用范围较广。
如：
假设随机变量X,,X,.-.X.,..相互之间都是独立分布，并且，
（3.1）
则对任意实数x,有
（3.2）
3.2棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
该定理也是一个较为重要的定理，假设y是随机变量，且其服从于参数n，p的二项分布，那么随机实数r，存在如下的情况：
（3.3）
证明:
假设X,（i=1,2...,n）相互之间是独立的，同时其服从于B（1,P）随机变量序列，那么E（X,）=P,
D（Xi）=Pq，i=1，2，...n,（3.4）
q-1-p，假设Yn=X1+X2+...+Xn,则Yn~B（n,p）,那么中心极限定理是成立的。
3.3中心极限定理在保险行业的应用
保险业在近年来得到了良好发展，人们对保险的态度也逐渐发生了改变，不再是抵触的情绪，而是开始试着接受保险。
保险的本质是通过某种机制对难以预测的、较大的风险进行预测。
我们可以在大样本的基础上，采用中心极限定理对小概率事件产生概率进行估算。
如，当前有10000人购买固定年龄段的人寿保险，在一年中每位购买者的死亡率为0.001，如果购买者出现死亡的情况，那么其家属能够得到保险公司赔偿的5万资金，且每年每人的保费是80元。
请问，第一，保险公司会有多大的几率亏本？
第二，为了确保99%以上的概率履行兑付责任，保险公司应当备多少金额的保证金？
假设概率是99.9%，又需要准备多少？
第三，假设在现有80元保费不变动的同时使不亏本的概率为99%，那么保险公司要至少签订多少保单？
第四，假设保单数量是10000份，为了确保不亏本的概率至少为99%，那么保险公司要将保费设定为多少？
解:
记
假设个体Xi相互独立,且P（X,=1）=0.001,EX,=0.001,o=VarX>=9.99x10,S=X"x,n=104。
（1）如果收取的保费难以抵御赔偿，也就是80x104<5Sx104，S>16时，保险公司出现了亏本的情况，通过对中心极限定理进行运用，可以计算出，
，所以
，因此亏本率是2.9%。
（2）假设保证金为，在S≤16+20X10-5时，保险公司难以对这些金额进行完全兑付，那么可以通过中心极限定理中推出P{S≤16+20x10}=
如果要求不低于99.9%概率能够完全赔付,同样计算得
>188.363。
（3）根据大数定律可知，随着样本数量的增多，S/n会更为趋近于EX,且收敛也会更为明显，因此随着参保者数量的不断增加，保险公司所面临的风险会不但减小。
假设参数者数量用n来表示，那么8m≥25Sx10-4,即S≤16n*10-4的时候，保险公司才不会发生亏损的情况。
也就是说只要保险公司所拉取到的参保者等于或者高于15019人，那么其就能够确保自身的99%概率不亏损；如果要确保99.9%的概率不出现亏损，那么需要至少拉取到26500位参保者；而要确保99.99%的概率不亏损，需要拉取到至少39382的人。
由此可知，只要有足够多的参保者，那么保险公司就可以达到稳赚不赔的目的。
（4）假设仅仅有10000人可以购买保险，那么为了确保不赔本，保险公司就需要适当对保费进行提升。
假设每年每位参保者需要交纳a元保费，那么在a*104≥5S*104,也就是S≤a/5的时候，才不会出现亏损的情况。
如果要保证99%概率不亏钱，则要求
。
如果要保证99.9%概率不亏钱，则要求
。
也就是说，为了确保不亏损，将1%的亏损概率规避掉，保险公司最少应当增加二十元的保费，如此有可能会导致一些客户流失，降低总体参保者数量，从而会影响到保险公司拓展业务范围，不过为了对风险进行分散，保险公司还可以在险种上努力，开发出其它有关的险种。
如下我们采用中心极限定理进行分析：
假设样本Y,Y,，,Y.之间是独立的，有一致的分布，期望为
方差为
如,且与X1独立,则当m,n充分大且：
与如下应用中标准正态分布的运用相趋同，对应的是不同保险下参保者数量的比值，
类似于这两种保险中全额赔偿对应的比值。
4极限思想在连续复利的应用
4.1从复利谈起
我们先对复利理财概念进行介绍，详细内容如下：
本金指的是投入的具体资金数额；
利率指的是以一年期计算时的收益比例；
利息指的是在结束理财周期之后，可以取得的利息；
复利指的是在结束某理财周期之后，继续将利息和本金投入进去而得到的利息；
投资周期指的是完成某一次投资需要花费的时间。
4.2每年复利若干次
假设P0是初始本金，而r是负利率，t是投资时间，在结束投资周期之后，所取得的投资收益是P（t）.。
为了对P（t）公式进行推导，可以将时间1平均分为m份，t/m是每一份对应的时间。
在m充分大的时候，那么t/m就会充分小。
我们设定在每年中利率分布都是均等的，那么t/m年利率就是元t/m.r，原因在于t年是二年的t/m倍，我们可以通过离散复利公式
（1）计算出：
（4.1）
4.3连续复利
重要极限
存在十分显著的经济性意义，能够在经济领域得到深入运用。
我们设定A是本金、期限是1年，而r是利率，那么依据复利和本息公式就能够得到At=A0（1+r）t
每年计息的次数假设为n次，那么这一年的本息和就是At=A0（1+r/n）nt
由此可以发现，随着计算复利次数的频繁，其所对应的计息周期也会不断缩减，本息数额也就会更大。
我们以r=5%,1=10，本金=100000元为例，能够计算出本息和是164872元。
这也就是说，如果本金不是十分大，那么单纯依靠利息是不能致富的。
因为存在通胀等情况，以10年为期限在银行存款，能否保值并不能准确计算出来。
4.4连续复利下金额的现值
假设r是某投资的年利率，p是初始本金，那么n年之后，得到的本息计算如下：
（4.2）
再假设R是第i年年末的本息和，那么其现值的计算公式为：
（4.3）
假设在n年时间中，每一年末期的资金流量是R,R....R,那么p是这些年中总的资金流量现值，计算公示如下：
（4.4）
假设每年都可以得到R的资金流量，那么永续年金现值就可以采用如下的公式计算：
（4.5）
如果现在有一个公司想要建立希望工程基金，为了救助失学儿童，每年会捐赠资金10000元。
我们将每年复利设定为10%开展对应的计算，工程的期限是十年，也就是说r=0.1,R=R=1,n=10，启动基金计算方式如下：
（4.6）
假设这一工程长久实施下去，那么永续年金现值的计算方式如下：
（4.7）
5极限思想在经济生活中的应用
5.1农夫分牛的数学原理
某农夫总共养了十九头牛，他想要在自己死后将这些牛全部分给儿子们，设立的三个儿子每人的分配比例不同，老大的分配比例为1/2，老二的分配比例为1/4，老三的分配比例为1/5。
不可以杀死牛，也不可将牛换成钱而分钱。
在农夫死后，三个儿子想要根据父亲的方法来分牛，但他们无论如何也算不出到底应当如何划分，不得不请教自己的邻居。
邻居为三个儿子出的主意是，将自己家的一头牛借给这三个儿子，然后让他们划分，如此根据他们父亲遗留下来的规定，老大可以分得10头牛，老二可以分得5头牛，而老三可以分得4头牛，三个人得到的牛加起来刚好是19头，分完之后将邻居借来的牛再还回去。
以此将分牛的问题解决掉了，很多人都对邻居的做法大家鼓励和赞赏。
但是我们反过来在仔细分析一下，如此做真的科学吗？
三个儿子得到的牛真的符合父亲的嘱托吗，下面我们对此进行详细计算。
在第一次对牛进行划分之后，老大、老二、老三所得到的牛分别是19*1/2头、19*1/4头、19*1/5头，因为不能杀死牛，所以不能对牛进行分割，所以在这个问题中分数的分法不可用，这也是为何三个儿子难以计算出答案。
依据农夫设定的规则，在第一次分牛之后，不可以将全部的牛分完。
然后需要继续根据该规则分剩下的牛，在第二次划分之后，依然不能分完，剩下的牛数量是19/202头。
于是需要依据规则继续划分，再继续划分，这属于逐渐收敛的无穷级数。
这些数的公比和0<1g|<1）是：
（5.1）
也就是说,老大得到的牛头数为：
（5.2）
老二得到的牛头数为：
（5.3）
老三得到的牛头数为：
（5.4）
这就可知邻居的分牛方式与极限计算方式得到的结果完全相同，体现出在日常生活中极限思想也具有较大的用处。
5.2城市垃圾的处理问题
城市垃圾处理问题是一件非常重要的问题，若能处理好城市垃圾问题，将会给城市生活带来便利，为社会经济增长带来益处。
我们对某市2010年垃圾问题有关的资料进行了统计，根据资料发现，该市在2010年年末的时候所累计堆积的垃圾达到了一百万吨，通过各项数据的汇总和预测发现，从该年起该市还会依然以每年五万吨的速度堆积新垃圾。
那么假设从2011年开始，该市的垃圾处理中心能够处理去年20%的垃圾，且一直保持这个速度，其垃圾能够被全部处理掉吗？
我们设定从2010年开始往后，该市每年的垃圾分别是a1、a2、a3......那么可以得到:
（5.7）
（5.8）
（5.9）
以此类推，n趋近于无穷大的年后，则其垃圾量为：
（5.10）
根据数列求和极限知识可得：
（5.11）
故：
（万吨）
这也就是说，依据这种处理方式，很难处理掉所有垃圾，且剩下的垃圾会被保持到一种较为固定的水平上。
6总结
由上述分析可知，经济数学中的很多概念都较为重要，与现实生活存在紧密的联系，在教学中要注重从生活出发引导学生学习这方面的知识。
要尽量培养学生四个方面的技能：
第一，在理解经济原理、经济概念的时候尽量采用数学方法、数学概念；第二，善于采用数学模型解答实际问题；第三，具备较高的数学模型求解能力；第四，具有较高的创造性思维。
在解决实际问题的时候善于运用数学思想，能够推动学生更好地掌握数学知识，提升问题解决的能力。
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