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易经莱布尼兹现代科技
易经·莱布尼兹·现代科技
□陈明远
（中国北京，100086）
【内容摘要】要阐明易经八卦与莱布尼兹二进制的关系，首先必须搞清楚什么是“二进制算法”、什么是“电子计算机的理论基础”。
周易的阴阳符号不同于二进制算术符号，阴阳卦来自奇偶卦，原意就是奇一偶二，不能解释为阴0阳1；“伏羲八卦”并没有数学上的0概念，八卦与六十四卦从来没有建立数字排列顺序和运算规则；易经阴阳爻与六十四卦的系列根本上并不是数学的计数制，没有“逢2进1”的进位规则，更不具备基本的算法。
因此，在数学意义上，不能够说易经八卦（及六十四卦）是二进制。
现代电子计算机的基础理论是二进制代数即逻辑代数与二进制逻辑电路；另一方面，“易经八卦”的生成模式，是阴阳奇偶哲理“一分为二”的玄学推演，而不是数学的二进制算法，它跟逻辑代数的运算操作没有任何关联。
因此，没有理由认为“易经八卦与六十四卦”是电子计算机的理论基础。
【关键词《易经》八卦与六十四卦；莱布尼兹；二进制算法；邵雍；阴阳；奇一偶二；逻辑代数；电子计算机的理论基础。
【作者简介】陈明远，人文学者，现居北京。
在近代中西科技文化交流的诸多议题中，最为瞩目的议题之一，就是《易经》八卦与莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646-1716）[1]的关系，但迄今尚未达成定论。
莱布尼兹是微积分、数理逻辑和符号学的创始人之一，以他多学科的杰出贡献被誉为“17世纪的亚里士多德”。
他是最早研究“中国学（汉学）”的德国人。
在西方近代思想家中，他对中国文化的热忱讨论和独到见解，迄今仍受到学术界的很大关注。
本文试从一个新的角度，即进位计数制和算法以及计算机科学的角度，省视“二进制”与伏羲八卦、六十四卦的关系。
笔者认为，阐明莱布尼兹二进制算法本身的实质，才是解决这个问题的关键。
一、莱布尼兹发明“二进制”与他
看到“伏羲八卦图”孰先孰后？
从20世纪90年代以来，我国文史界对于莱布尼兹二进制算法跟“伏羲八卦”[2]之间的关系问题，又展开了新的一轮争论。
例如：
1992年李申曾根据当时国内外的文献资料做了综述：
“近年来已有一些文章，依据确切的历史材料，证明不是莱布尼兹根据‘先天圆图’发明了二进制，而是莱布尼兹发明了二进制以后才见到了‘先天圆图’。
莱布尼兹根据二进制来理解‘先天圆图’，说先天圆图中已包含了他发明的东西。
这是莱布尼兹的理解。
然而有些研究者先把莱布尼兹的理解当作了‘先天圆图’的本义，进而又说莱布尼兹根据‘先天圆图’发明了二进制。
”[3]
据莱布尼兹自己说，他在1679年以前就发明了二进制算法。
1698年5月17日他的一封信中声称，他对于二进制的思考已经有二十多年了。
莱布尼兹的二进制算法，在1700年以前就已形成。
1703年4月1日莱布尼兹收到驻华耶稣会士白晋（J.Bouvet，1656-1730）从北京寄给他的“伏羲八卦图”，到这时他才正式研究八卦符号，并认为自己的二进制体系与伏羲八卦图具有某种相应关系。
1703年5月18日回白晋的信中也表示，他二十多年前就发明了二进制。
此后他写了论文《关于只用0和1的二进制算法的阐释，和对它的用途以及它所给出的中国古代伏羲图的意义的评注》[4]，发表在法国《皇家科学院院刊》上。
国外某些研究者，如《莱布尼兹传》（）的作者艾顿（E.J.Aiton）、《欧洲与中国人》的作者艾田蒲（ReneEtiemble）以及《中国科技史》的作者李约瑟（J.Needham）等学者由此认为：
莱布尼兹独自发明了二进制算法，并非根据“伏羲八卦图”的启示而成。
艾顿依据莱布尼兹跟白晋的通信交往的年代，确定莱布尼兹不是受伏羲八卦的影响发明了二进制，因为白晋所寄的伏羲八卦图晚于莱布尼兹的二进制发明。
艾顿的推断具有一定的说服力，认为莱布尼兹发明二进制与伏羲八卦图无关，正是基于这一点[5]。
但这个论点很快就受到不同意见的反驳。
如，就在《周易研究》发表李申文章的两个月后，沈延发在同一刊物上著文介绍了十三位国外研究《易学》的学者，其中写道：
“比利时耶稣会教士柏应理（PhilippeCouplet，1623-1693），曾在中国传教达二十五年，对周易颇有研究，译著有《周易六十四卦和六十四卦意义》。
莱布尼兹发明二进制，曾提到柏应理著作；莱布尼兹从周易象数与图象中选取0到64（笔者按：
应为63）就是一个二进位的连续数列，与他1679年发明的二进位算术应用于电子计算机完全符合易理，为计算机出现奠定了基础。
”[6]
此后出版了几十篇（部）论著，对于这个议题众说纷纭，其中具有较大影响的，是1995年孙小礼发表的《莱布尼兹对中国文化的两大发现》[7]和1998-2006年胡阳、李长铎陆续发表的《莱布尼兹二进制与伏羲八卦图考》[8][9]以及翟智高发表的《邵雍天根月窟象数理论对电子计算二进制的启蒙》[10][11]等论著。
2011年11月在纪念邵雍诞辰一千周年学术研讨会上，与会学者都认为莱布尼兹“二进制算法”是受了“伏羲八卦图”的启示而发明的。
1998年胡阳、李长铎系统地对艾顿、李约瑟、艾田蒲等人的观点提出了长篇反驳：
“虽然莱布尼兹到1703年才见到白晋寄给他的伏羲八卦图，并不表示这是他首次看到伏羲八卦图，而早在1687年，莱布尼兹就已见到伏羲八卦图了。
1687年，耶稣会士柏应理（PhilippeCouplet，1623-1693）出版了《中国哲学家孔夫子》（）一书，其中共计有十三页对伏羲八卦图做了介绍，书中配有伏羲八卦次序图、伏羲八卦方位图及文王六十四卦图。
而值得一提的是，在伏羲八卦次序图、伏羲八卦方位图及文王六十四卦图中，在相应的卦象上，标有阿拉伯数字1-64。
在莱布尼兹的二进制算法中，通过0与１引申，就可以表示一切数字，如000，001，010，011，100分别代表0-4这五个数字。
而在易经八卦中，通过阴阳引申，就可以表示宇宙万有的原理。
如果把阴爻看作0，把阳爻看作1，所有的卦象于是就可看成0和1的组合（笔者按：
数学概念应为排列）。
比如坤卦就是000000，乾卦就是111111，大有卦就是111101等等。
伏羲图的六十四个卦象，也正好可以看作二进制算术从0-63的数字。
莱布尼兹于《中国哲学家孔子》出版的当年，就阅读了这本书。
在致友人冯·黑森-莱茵费尔（L.E.VonHessen-Rheinfeds）的信中，介绍说自己阅读了这本书。
而在这封信中，还出现了‘Fohi（伏羲）’。
通过这些事实，不难证明，莱布尼兹当年就见过伏羲八卦次序图、伏羲八卦方位图及文王六十四卦图。
”胡阳、李长铎又找到历史文献表明，“早在1679年之前，也就是他发明二进制最早时间之前，欧洲就有关于八卦图的书籍出版，而莱布尼兹1679年之前也见过易图。
1660年学者斯比塞尔（GottliedSpizel，1639-1691）在荷兰出版了《中国文史评析》一书，书中记载了IGing（易经）。
斯比塞尔跟莱布尼兹交往相当密切，而这本书是莱布尼兹为了解中国参考过的一本书。
书中两个部分介绍了易经，介绍了龙马负图出河、伏羲得图做八卦以及太极阴阳八卦学说。
另外，从《中国文史评析》一书中，可以看到1660年以前，斯比塞尔参考的中国文化文献包括耶稣会士卫匡国（MartinoMartini1614-1661）1658年出版的《中国上古史》以及曾德昭1642年出版的《中华帝国》。
《中华帝国》中简单介绍了阴阳八卦学说，而在《中国上古史》中就详细介绍了阴阳生两仪、两仪生四象、四象生八卦的太极八卦演化过程。
有学者认为《中国上古史》可能第一个向欧洲介绍了六十四卦图，并影响了莱布尼兹。
”[12]
邵华泽认为：
“邵雍《伏羲六十四卦方位图》，构思奇妙，符合近代数学原理，经得住二进位制数学的检验，令人折服。
”一直到2011年11月“纪念邵雍诞辰一千周年学术研讨会上”，许多易学研究者认为：
“邵雍首创天根月窟象数互变理论及设计的《伏羲先天六十四卦方圆图》是现代电子计算二进制的启蒙理论。
莱布尼兹是受了邵雍先天图二进制原理的启蒙，才写出了论二进制的论文，后世根据二进制的理论，电子计算机由此而发明。
邵雍当之无愧的成为现代电子计算采用二进制的启蒙者。
”“无论是‘先天易图’对莱布尼兹二进位制数创立的作用影响，还是‘元会运世’与爱因斯坦宇宙大爆炸的不谋而合，乃至生生不息的宇宙衍生模式、‘天人相应’的历史时代演绎，无一不是邵雍伟大学术思想的体现。
”[13]
翟智高认为：
“邵雍精心研究易学，大胆创新设计《伏羲先天六十四卦方圆图》（也称方位图），将八卦的阳爻（｜）叫‘天根’，阴爻（--）叫‘月窟’（月亮似的圆圆的窟隆‘0’）。
仅用0与1组成64种不同组合（笔者按：
数学概念应为排列），构成二进制000-111共8个基本序数，按0到63有规律的排列，无限叠加变幻无穷，可实现意（想法）、言（语音）、象（图像）与数（数码）之间的转换。
揭示出二进制数率奥妙原理。
载于《周易本义》，得以传给后世并传播到国外。
为后世电子计算机发明提供了启蒙性理论模型，邵雍虽然没有发明电子计算机，但他在千年之前提出的只用‘天根｜、月窟0’两个数就可以完成天下万物象与数的转换的理论，实在是不可思议的超前思维，是现代计算机发明最有价值的启蒙理论。
电子计算机发明不仅推动了科技革命，也推动了世界历史的进程。
图像-数字-图像的转变，是｜Ｏ｜Ｏ｜Ｏ起了决定作用，而这｜Ｏ｜Ｏ｜Ｏ的奥秘，邵雍的先天图中早已显示。
天根月窟二进制数码技术实现人们所想到、听到、看到、需用的一切。
邵雍的学术成果超越千古又福泽当今，是对促进中国和世界科学文明进步做出来无与伦比的贡献。
”[14]
董光璧认为：
“邵雍对易学发展的最大贡献，是在《先天图》的基础上创立了先天象数学思想体系。
邵雍绕开《周易》的卦爻辞和《易传》的思想原理，绘制了《先天四图》，即《伏羲八卦次序图》《伏羲八卦方位图》《伏羲六十四卦次序图》《伏羲六十四卦方位图》，并运用《先天四图》的象数图式，进行逻辑推演，把丰富多样的天地万物之理，整合为整齐划一的象数序列，具有划时代的开创意义。
”他又指出：
“中国文化传统是经受住了现代科学的论证的。
德国数学家和物理学家莱布尼兹发现易图的二进制特征，这是17、18世纪发现的。
我们古老的《易经》符号系统，是可以用现代科学去理解的。
”[15]
胡阳、李长铎还批评说：
“中国大陆学者李申在《周易热与科学易》一文中，明显地表露出了受艾顿、李约瑟、艾田蒲等人的观念影响，否定中国大陆一些学者所说的‘莱布尼兹受太极八卦的影响发明了二进制’，并以此反对‘科学易’。
”[16]
以上所述连篇累牍的论著，几乎都环绕着一个问题——莱布尼兹发明“二进制算法”的年代与他看到“伏羲八卦图”的年代，孰先孰后？
如果莱布尼兹看到“伏羲八卦图”的时间在先，那么似乎就可以证明：
“二进制算法”不是莱布尼兹独创的发明，而是受了“伏羲八卦图”的启示，于是中华文化和宋代的邵雍先生随之焕发异彩。
如果莱布尼兹发明“二进制算法”的年代在先，那么似乎就证明：
这是他的独创，在华的耶稣会士白晋和莱布尼兹后来才以“二进制”的观点来看“伏羲八卦图”，并做出某种解释。
似乎两个年代孰先孰后就是解决这个议题的关键。
因此，许多学者把这个议题转化为一个历史考证的难题，在这上面耗费了大量的精力和时间，并且不约而同地倾向前一个答案。
二、什么是“莱布尼兹二进制算法”
笔者认为：
上述两个年代孰先孰后，并不是解决这个议题的关键所在。
要阐明莱布尼兹二进制与易经八卦的关系，首先必须搞清楚什么是“莱布尼兹二进制算法”、什么是“由二进制发展而来的电子计算机的理论基础”。
从多年来争辩这个论题的众多著述看来，我们必须深究这个最根本的关键[17]。
二进制（BinarySystem）是计算技术中广泛采用的一种“计数制”。
在数学中，按进位规则进行计数，称为进位计数制，简称“数制”。
无论哪一种计数制，都必须有
（1）基数和进位规则；
（2）位权表示法；（3）数列顺序及数值大小的比较；（4）运算规则，等等。
二进制数据是用0和1两个数码（基本符号）来表示的数。
它的基数是2，进位规则是“逢2进1”。
二进制的位权表示法：
“位权”是指一个数字在某个位置上所代表的值（如十进制的个位数、十位数、百位数、千位数等等）。
各种进位制中位权的值是基数的若干次乘方。
在二进制中，位权的值是基数2的若干次乘方。
数列顺序及数值大小的比较：
二进制数可以转换为十进制数、八进制数、十六进制数，在算术运算中，都可以比较数值大小，进行顺序排列，从而得到“大于、小于、等于”的数学关系。
运算规则：
二进制数的基本运算规则，最常用的是加法运算和乘法运算。
二进制加法有四种情况：
0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10；二进制乘法有四种情况：
0×0=0，1×0=0，0×1=0，1×1=1；此外还有减法、除法，等等。
我们从以上基本规则，来对比讨论“易经八卦”的情况。
三、“二进制数字”与“伏羲八卦”的根本不同点
莱布尼兹二进制以0与1两个基本数表示一切数，《易经》以阴和阳两个基本符号显示天地万有，例如，乾卦由三个阳爻“—”叠加而成，坤卦由三个阴爻“--”叠加而成。
乾坤二卦象征天地、父母、男女、君臣、昼夜等等。
按照原意，周易的阴阳符号本来就不同于二进制算术符号[18]。
笔者已经考证过，阴阳卦来自奇偶卦，奇偶卦来自1-9的数字卦，最早的数字爻表示为个位数。
十进制个位数的奇偶在1-9的范围内。
八卦形成的过程，是由1-9数字卦到奇偶卦再到阴阳卦。
这就是说，《易经》中的阳爻“—”可对应着奇数“1（以及5、7、9等）”，阴爻“--”可对应着偶数“2（以及6、8等）”，总之，阴阳对应着奇一偶二[19]。
但严格说来阴爻并不可以对应“0”，因为0既不是奇数也不是偶数。
所以应该说，莱布尼兹二进制的数字表示法，与“伏羲八卦”的阴阳符号在根本上就具有不同点。
有人认为，“如果将八卦的阳爻‘’当成1，阴爻‘--’当成0，就算是二进制”。
这是不懂得严格数学概念的牵强附会，因为在八卦出现的年代，还没有产生数学上的0这个数目字。
传说中的所谓“伏羲时代”也就是陶器时代的华夏氏族社会里，先民已经有了计数能力（由数十个指头而得出），但还没有产生“0”这个数字概念。
在数学史上，直到公元628年，印度人Brahmagupta首次使用0这个概念，并且把0列入数字系列；12世纪印度人Bhaskara指出正数的平方根有两个，一正一负；而数字0既不是正数也不是负数。
在数轴上，数字0是正数与负数的分界点。
0不仅可表示“无”或“没有”，而是表示介于正负数之间的一个实在的数；如气温0度，不是没有温度。
数学上有了0这个重要概念，就可建立一个参照系或坐标系，在笛卡尔坐标系中，0是坐标原点。
所以，0概念的发现与应用是数学史上一个划时代的里程碑。
古代汉字有“零”，但是汉字的“零”并不等于数学上的0概念。
汉字“零”的含意是：
其一，部分的，与“整”相对；其二，落，如凋零。
古代汉字“零”的本意并不代表“无”（零的现代意义才可以说是“无”，如格言“一切从零开始”。
但这不是“零”的本意或原始意义。
）
在历史上“伏羲八卦”里面只有1-9这些自然数，还没有0这个数字；所以，严格从数学角度看来，“八卦由0、1构成二进制”就无从谈起。
秦汉之际成书的《易传·系辞》曰：
“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。
”后起的“太极”概念即“无”，“无中生有”，于是产生8个卦。
若“无”等于哲理上的0，太极本身即为0，因此只能说乾坤是奇一偶二的符号、是阴阳的符号，怎么又能说“坤为0”呢？
根本上是说不通的。
总之严格说来，六爻奇偶符号并不是数字0与1、八卦的阴阳符号也不是数字0与1，而原意就是奇数1与偶数2。
这是我们首先要认识清楚的。
四、对于“易经八卦”排列顺序和
运算规则的检验
退一步说，即使勉强把阳爻符号“”当成1，阴爻符号“--”当成0，（此处权且当作表示两个不同的状态），那么，乾卦就算可用二进制数字111代表，对应十进制数字的7；坤卦就算可用二进制数字000代表，对应十进制数字的0；在这样的假设前提下，我们不妨考察“易经八卦的排列顺序”。
八卦分为先天八卦和后天八卦。
先天八卦据传说为伏羲所创，顺序为：
“1乾、2坤、3震、4巽、5坎、6离、7艮、8兑。
”
后天八卦据传说为周文王所创，顺序为：
“1乾、2坎、3艮、4震、5巽、6离、7坤、8兑。
”
我们先看先天八卦的排列顺序：
1乾111，相当于十进制数7，2坤000相当于十进制数0，3震100相当于十进制数4，4巽011相当于十进制数3，5坎010相当于十进制数2，6离101相当于十进制数5，7艮001相当于十进制数1，8兑110相当于十进制数6。
再看后天八卦的排列顺序：
1乾111，相当于十进制数7，2坎010相当于十进制数2，3艮001相当于十进制数1，4震100相当于十进制数4，5巽011相当于十进制数3，6离、7坤000相当于十进制数0，8兑110相当于十进制数6。
而六个爻符转换成的“二进制数”的排列顺序变为：
坤000相当于十进制数0，艮001相当于十进制数1，坎010相当于十进制数2，巽011相当于十进制数3，震100相当于十进制数4，离101相当于十进制数5，兑110相当于十进制数6，乾111，相当于十进制数7。
可见，无论先天八卦还是后天八卦，八个卦的“数”的排列顺序，都不能与各自六个爻符转换成的“二进制数”顺序对应。
再看，数值大小的比较为：
乾111>兑110>离101>震100>巽011>坎010>艮001>坤000
然而，实际上在易经阴阳八卦的原有意义中，并不能进行数值大小的比较，相互间无法定义“大于、小于、等于”的数学关系。
我们再来考察八卦的“二进制基本运算规则”。
此处只说加法运算。
如果认为乾卦就算是二进制数字111，坤卦就算是二进制数字000等等，那么，111+000=111，难道可以说乾加坤就等于乾吗？
100+010=110，难道可以说艮加坎就等于巽吗？
001+110=111，难道可以说震加巽就等于乾吗？
……
更别说乘法、减法和除法运算了。
可见，“易经八卦”根本谈不上什么二进制运算规则。
上述沈延发等学者认为：
“莱布尼兹从周易象数与图象中选取0到64（笔者按：
此处应为63）就是一个二进位的连续数列，与他1679年发明的二进位算术应用于电子计算机完全符合易理，为计算机出现奠定了基础。
”[20]孙小礼等学者认为：
“六十四卦图和二进制数字的联系，即六爻排列的六十四卦图与从0到63的二进制数字的一一对应关系。
这确实是一个空前的惊人发现。
”[21]胡阳、李长铎等学者认为：
“值得一提的是，在伏羲八卦次序图、伏羲八卦方位图及文王六十四卦图中，在相应的卦象上，标有阿拉伯数字1到64。
”“在易经八卦中，通过阴阳引申，就可以表示宇宙万有的原理。
如果把阴爻看作0，把阳爻看作1，所有的卦象于是也就可以看成0和1的组合……伏羲图的六十四个卦象，也正好可以看作二进制算术从0到63的数字。
”[22]
即使如此，六十四卦的“数”，与各自的六个爻符转换成的“二进制数”，在排列顺序上也不能一一对应。
易经中六十四卦的排列次序是很混乱的；在考古发现的易经古本（如：
马王堆帛书）中，六十四卦的排列次序就完全不同。
《易传》中的序卦专门解释六十四卦排列次序，但多为牵强附会之辞，并没有什么二进制规则。
通行的《周易》本，排列顺序是：
乾、坤、屯、蒙……既济、未济。
如果换成二进制数字（爻位由下而上）表示，可相当于：
111111，000000，100010，010001……101010，010101。
对应于十进制数字是：
乾63，坤0，屯34，蒙17……既济42，未济21。
这样混乱无章的顺序，看不出与二进制计数法有什么关联。
“易经八卦（及六十四卦）”只不过是用“阴阳”两种符号叠加起来表示八种及六十四种不同的“复合符号”；八卦（及六十四卦）本身谈不上进位规则，也没有位权表示法，更没有运算规则；八卦或六十四卦的排列顺序，跟“二进制的位权表示”不能一一对应；因此八卦或六十四卦的各个单位之间无从比较数值大小，不能得到“大于、小于、等于”的数学关系。
毛佩奇在《图解周易·家藏四库丛书序》中认为，二进制是“世界上数学进制中最先进的”“20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，其运算模式是二进制，它……也证明了《易经》数理原理是很了不起的”[23]。
毛佩奇代表了我国一部分文化人的观点。
然而须知，数学的计数制并没有“先进”与“落后”之分。
用何种计数制进行数学运算，要看适用于什么场合方便：
十进制、二进制、三进制、八进制、十二进制、十六进制、六十进制等等，各自可以分别适用于不同场合。
例如，一小时60分、一分60秒，是60进制；在程序设计语言中还广泛采用了八进制、十六进制。
不同进制的数可以相互转换，如十进制235，转换成二进制为11101011，二进制的101转换成十进制为5。
显然，若用人工计算十进制的235除以5，十分简捷（小学生心算立即可得答数47），但若换成二进制11101011除以101，人工计算（笔算）起来既费力又费时，在这种场合下二进制反而显得笨拙了。
总而言之，莱布尼兹首创的二进制是计数制和算法；而古往今来没有一个易学家提出过八卦的计数制和运算规则；易经阴阳爻与六十四卦的系列根本上并不是计数制，没有“逢2进1”的进位规则，更不具备基本的算法。
因此，在严格的数学意义上，不能够说易经八卦（及六十四卦）是二进制。
五、二进制运算的发展以及在电子技术上的实现
有些人反复宣称：
“《伏羲先天六十四卦方圆图》是现代电子计算二进制的启蒙理论。
莱布尼兹是受了邵雍先天图二进制原理的启蒙，才写出了论二进制的论文，后世根据二进制的理论，电子计算机由此而发明。
”“早在莱布尼茨发现伏羲的二进制之前，北宋哲学家邵雍（1011年-1077年）在研究《易经》时就提出了比较完备的二进位制思想……当德国数学家莱布尼茨从他的八卦图一眼悟出二进制的奥妙，由此产生灵感，创造二进位制之后，伏羲这个原本只有中国人熟悉的名字迅速为世界所知。
特别是在计算机、互联网迈入寻常百姓家时，人们才真实的感受到二进制的奇妙，它所发明的意义。
”[24]
那么，就让我们看看二进制算法的历史发展以及在电子技术上如何实现。
知识就是力量，数理创造变成技术发明转化为生产力，才产生实际的社会价值。
欧洲工业革命使人类进入机械化时代。
1623年希噶德（WilhelmSchickard）制造了一个能进行六位以内数加减法的计算钟，通过转动齿轮操作。
1625年欧特乐（WilliamOughtred）发明计算尺，1642年法国数学家巴斯卡（Pascal）在计算尺的基础上加以改进，能进行八位计算；1645年他发明了自动进位加法器；莱布尼兹不仅首创了二进制算法，而且在1671年又改进了法国数家巴斯卡设计的机械计算器，可以进行乘法，最终答案可达十六位。
1775年英国查尔斯制成一台与莱布尼兹计算机类似的机器。
后来，法国人科玛（CharlesXavierThomasdeColmar）又发明了可进行四则运算的计算器。
现代计算机技术的真正起源，来自英国数学教授巴贝基（CharlesBabbage），但他反复试验却没有在实用上获得成功。
现代计算机技术到了电子化时代才得以实现。
在计算数学上的关键性突破，来自1848年英国数学家布尔（GeorgeBoole）创立的二进制代数，即“逻辑代数”或布尔逻辑、布尔代数，这才为现代二进制计算机铺平了道路。
布尔利用二进制（二元）符号表示逻辑中的各种概念，建立了一系列运算规则，也就是利用代数算法研究逻辑问题，奠定了数理逻辑的基础。
布尔逻辑只使用两个值：
0（逻辑假·FALSE）和1（逻辑真·TRUE），三种运算：
∧（逻辑与·AND）、∨（逻辑或·OR）、（逻辑非·NOT）。
相应于二进制运算，加法就是逻辑与，乘法就是逻辑或，等等。
莱布尼兹二进制的数值为自然数或实数，运算规则为算术四则；布尔二进制的值为逻辑值（真与假），运算规则
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