届中考数学一轮复习同步练习卷因式分解.docx

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届中考数学一轮复习同步练习卷因式分解

因式分解

考点一、因式分解的意义

例1．（2019•庆云县二模）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．8x2y3＝2x2⋅4y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1

C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2

【变式训练】

1.（2019•嘉祥县一模）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（　　）

A．m（a+b+c）＝ma+mb+mcB．x2+5x＝x（x+5）

C．x2+5x+5＝x（x+5）+5D．a2+1＝a（a

）

2．（2015秋•南江县期末）若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于　　．

3．（2013•成都模拟）若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b＝　　．

考点二、公因式

例2．（2019春•大丰区期末）多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（　　）

A．aB．x﹣1C．a（x﹣1）D．a（x2﹣1）

【变式训练】

1.（2019春•三水区期末）多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（　　）

A．a+5B．a﹣5C．a+25D．a﹣25

2．（2019•岳阳二模）多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是　．

3．（2017•长安区校级模拟）多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是　　．

考点三、提公因式法分解因式

例3．（2019•龙华区校级模拟）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（　　）

A．1B．﹣1C．6D．﹣6

【变式训练】

1．（2019•金山区二模）因式分解：

a3+2a＝　　．

2．（2018•南岸区模拟）若x、y互为相反数，则代数式xy+y2﹣5的值是（　　）

A．﹣5B．3C．0D．无法确定

3．（2018•鼓楼区一模）计算999﹣93的结果更接近（　　）

A．999B．998C．996D．933

考点四、利用公式法分解因式

例4．（2019•合肥模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（　　）

A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B．（a2﹣2a+1）2

C．（a﹣1）4D．（a+1）2（a﹣1）2

【变式训练】

1．（2019•庐江县模拟）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A．a2﹣1B．a2﹣2a﹣1C．a2﹣a+1D．a2﹣2a+1

2．（2019•长春三模）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．a2+4b2B．﹣x2+16y2C．﹣a2﹣4b2D．a﹣4b2

3．（2018•江干区一模）将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（　　）

A．2xB．﹣4xC．4x4D．4x

4．（2018秋•徽县期末）因式分解：

（1）x4﹣16y4

（2）x3+9x﹣6x2

5．（2018•槐荫区二模）因式分解：

m3n﹣4m2n+4mn

考点五、利用提公因式法和公式法因式分解

例5．（2019•利川市一模）因式分解：

﹣bx3+2bx2﹣bx＝　　．

【变式训练】

1．（2019•南岗区校级模拟）分解因式5a3b﹣10a2b+5ab＝　　．

2．（2019•邵阳县模拟）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为　　．

考点六、实数范围内因式分解

例6．（2019•曲靖二模）在实数范围内因式分解：

2x3+8x2+8x＝　　

【变式训练】

1．（2019•静安区二模）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是　　．

2．（2019•锡山区校级二模）在实数范围内分解因式：

2x2﹣32＝　　．

3．（2019•碑林区校级二模）因式分解：

x2﹣y2﹣2x+2y＝　　．

4．（2019•邗江区校级模拟）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是　　．

5．（2019•马鞍山二模）因式分解：

4x2﹣y2+2y﹣1＝　　．

考点七、因式分解的综合应用

例7．（2018•沙坪坝区模拟）一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：

722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F（722）＝4．

（1）计算：

F（304）+F（2052）；

（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数），规定：

G（m，n）

．当F（m）+F（n）＝24时，求G（m，n）的值．

【变式训练】

1.（2019•新宁县模拟）如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．

2．（2018•余杭区一模）已知A＝4x2+2x，B＝2x+1，回答下列问题：

（1）求A+B，并将它因式分解．

（2）若A＝B，求满足条件的x的值．

3．（2018•资中县模拟）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．

（1）计算：

F（438）和F（562）；

（2）若a是“相异数”，证明：

F（a）等于a的各数位上的数字之和；

（3）若a，b都是“相异数”，且a+b＝1000，证明：

F（a）+F（b）＝28．

4．（2018•河北模拟）当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：

435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729+435×1000，4356729＝729+6×1000+435×10000．

请阅读以上材料，解决下列问题．

（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：

所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；

（2）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．

参考答案

考点一、因式分解的意义

例1．（2019•庆云县二模）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．8x2y3＝2x2⋅4y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1

C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2

【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；

【解析】①是单项式的变形，不是因式分解；

②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；

③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；

④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D正确；

故选：

D．

点评：

本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．

【变式训练】

1.（2019•嘉祥县一模）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（　　）

A．m（a+b+c）＝ma+mb+mcB．x2+5x＝x（x+5）

C．x2+5x+5＝x（x+5）+5D．a2+1＝a（a

）

【答案】B．

【解析】A、m（a+b+c）＝ma+mb+mc，不符合题意；

B、x2+5x＝x（x+5），符合题意；

C、x2+5x+5＝x（x+5）+5，不符合题意；

D、a2+1＝a（a

），不符合题意，

2．（2015秋•南江县期末）若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于　　．

【分析】通过4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，即方程4x2+5x+a的一个解是

，代入方程求出a的值．

【解析】∵4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，

∴令4x﹣3＝0，则x

，

把x

代入方程4x2+5x+a＝0中得

a＝0，解得：

a＝﹣6．

故答案是：

﹣6．

3．（2013•成都模拟）若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b＝　　．

【分析】由多项式有两个因式为x+1与x+2，得到x＝﹣1与x＝﹣2为x3+ax2+bx+8＝0的解，将两解代入得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出a+b的值．

【解析】由题意得到：

x＝﹣1与x＝﹣2为x3+ax2+bx+8＝0的解，

代入方程得：

，即

，

②﹣①得：

a＝7，

将a＝7代入①得：

b＝14，

则a+b＝7+14＝21．

故答案为：

21．

考点二、公因式

例2．（2019春•大丰区期末）多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是（　　）

A．aB．x﹣1C．a（x﹣1）D．a（x2﹣1）

【分析】第一个多项式提取a后，利用平方差公式分解，第二个多项式提取a后，利用完全平方公式分解，找出公因式即可．

【解析】多项式ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1），多项式ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，

则两多项式的公因式为a（x﹣1）．

故选：

C．

点评：

此题考查了公因式，将两多项式分解因式是找公因式的关键．

【变式训练】

1.（2019春•三水区期末）多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（　　）

A．a+5B．a﹣5C．a+25D．a﹣25

【答案】B

【解析】多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：

a﹣5．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题关键．

2．（2019•岳阳二模）多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是　．

【答案】x﹣2

【解析】∵3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2），

x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，

∴多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．

故答案为：

x﹣2

3．（2017•长安区校级模拟）多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是　　．

【答案】﹣5mx．

【解析】多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，

故答案为：

﹣5mx．

考点三、提公因式法分解因式

例3．（2019•龙华区校级模拟）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（　　）

A．1B．﹣1C．6D．﹣6

【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而把已知代入求出答案．

【解析】∵x﹣y＝2，xy＝3，

∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）

＝3×2

＝6．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．

【变式训练】

1．（2019•金山区二模）因式分解：

a3+2a＝　　．

【分析】运用提公因式法分解因式即可，提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式．

【解析】a3+2a＝a（a2+2），

故答案为a（a2+2）．

2．（2018•南岸区模拟）若x、y互为相反数，则代数式xy+y2﹣5的值是（　　）

A．﹣5B．3C．0D．无法确定

【分析】由相反数的定义得到x+y＝0，所以提取公因式得到：

y（x+y）﹣5，然后代入求值即可．

【解析】依题意得：

x+y＝0，

则xy+y2﹣5＝y（x+y）﹣5＝y×0﹣5＝﹣5．

故选：

A．

3．（2018•鼓楼区一模）计算999﹣93的结果更接近（　　）

A．999B．998C．996D．933

【分析】根据因式分解解答即可．

【解析】999﹣93＝93（996﹣1）≈999，

故选：

A．

考点四、利用公式法分解因式

例4．（2019•合肥模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（　　）

A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B．（a2﹣2a+1）2

C．（a﹣1）4D．（a+1）2（a﹣1）2

【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．

【解析】（a2+1）2﹣4a2

＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）

＝（a﹣1）2（a+1）2．

故选：

D．

点评：

此题主要考查了公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．

【变式训练】

1．（2019•庐江县模拟）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A．a2﹣1B．a2﹣2a﹣1C．a2﹣a+1D．a2﹣2a+1

【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案．

【解析】A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故此选项错误；

B、a2﹣2a﹣1，无法分解因式，故此选项错误；

C、a2﹣a+1，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；

D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，正确．

故选：

D．

2．（2019•长春三模）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．a2+4b2B．﹣x2+16y2C．﹣a2﹣4b2D．a﹣4b2

【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．

【解析】A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；

B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；故此选项错误；

C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项正确；

D．a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误．

故选：

B．

3．（2018•江干区一模）将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（　　）

A．2xB．﹣4xC．4x4D．4x

【分析】分①4x2是平方项，②4x2是乘积二倍项，③1是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．

【解析】A、4x2+1+2x，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；

B、4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；

C、4x4+4x2+1＝（2x2+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；

D、4x2+1+4x＝（2x+1）2，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；

故选：

A．

4．（2018秋•徽县期末）因式分解：

（1）x4﹣16y4

（2）x3+9x﹣6x2

【分析】

（1）原式利用平方差公式分解即可；

（2）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．

【解析】

（1）原式＝（x2+4y2）（x2﹣4y2）＝（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）；

（2）原式＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2．

5．（2018•槐荫区二模）因式分解：

m3n﹣4m2n+4mn

【答案】mn（m﹣2）2．

【解析】原式＝mn（m2﹣4m+4）

＝mn（m﹣2）2．

考点五、利用提公因式法和公式法因式分解

例5．（2019•利川市一模）因式分解：

﹣bx3+2bx2﹣bx＝　　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解析】原式＝﹣bx（x2﹣2x+1）＝﹣bx（x﹣1）2．

故答案为：

﹣bx（x﹣1）2

点评：

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【变式训练】

1．（2019•南岗区校级模拟）分解因式5a3b﹣10a2b+5ab＝　　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解析】原式＝5ab（a2﹣2a+1）＝5ab（a﹣1）2，

故答案为：

5ab（a﹣1）2

2．（2019•邵阳县模拟）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为　　．

【分析】原式利用十字相乘法，以及平方差公式分解即可．

【解析】原式＝（x2﹣4）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x

）（x

），

故答案为：

（x+2）（x﹣2）（x

）（x

）

考点六、实数范围内因式分解

例6．（2019•曲靖二模）在实数范围内因式分解：

2x3+8x2+8x＝　　

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解析】原式＝2x（x2+4x+4）＝2x（x+2）2，

故答案为：

2x（x+2）2

点评：

此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【变式训练】

1．（2019•静安区二模）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是　　．

【答案】m＞4．

【解答】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，

∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，

∴m＞4．

故答案为：

m＞4．

2．（2019•锡山区校级二模）在实数范围内分解因式：

2x2﹣32＝　　．

【答案】2（x+4）（x﹣4）

【解析】原式＝2（x2﹣16）＝2（x+4）（x﹣4），

故答案为：

2（x+4）（x﹣4）

3．（2019•碑林区校级二模）因式分解：

x2﹣y2﹣2x+2y＝　　．

【答案】（x﹣y）（x+y﹣2）．

【解析】x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2）．

故答案为：

（x﹣y）（x+y﹣2）．

4．（2019•邗江区校级模拟）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是　　．

【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．

【解析】a2﹣2ab+b2﹣1

＝（a﹣b）2﹣1

＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．

故答案为：

（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．

5．（2019•马鞍山二模）因式分解：

4x2﹣y2+2y﹣1＝　　．

【答案】（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．

【解析】4x2﹣y2+2y﹣1

＝4x2﹣（y2﹣2y+1）

＝（2x）2﹣（y﹣1）2

＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）

故答案为：

（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．

考点七、因式分解的综合应用

例7．（2018•沙坪坝区模拟）一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：

722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F（722）＝4．

（1）计算：

F（304）+F（2052）；

（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数），规定：

G（m，n）

．当F（m）+F（n）＝24时，求G（m，n）的值．

【分析】

（1）根据题意代入就可以解决．

（2）根据题意列出方程，再根据解的整数性解出a，b，c的值，再代入G（m，n）可求值．

【解析】

（1）∵30+2×4＝38，38÷19＝2，∴（F304）＝2，

∵205+2×2＝209，209÷19＝11，∴F（2052）＝11，

∴F（304）+F（2052）＝13；

（2）∵m＝3030+101a＝3000+100a+30+a，

∴

，

∵m是魅力数，∴

是整数，

∵0≤a≤9，且a是偶数，∴a＝0，2，4，6，8．

当a＝0时，

不符合题意，

当a＝2时，

不符合题意，

当a＝4时，当

不符合题意，

当a＝6时，当

不符合题意，

当a＝8时，当

符合题意，

∴a＝8，此时m＝3838，F（m）＝F（3838）＝21，

又∵F（m）+F（n）＝24，∴F（n）＝3，

∵n＝400+10b+c，∴

，

∴b+2c＝17，

∵n是魅力数，∴c是偶数，

又∵0≤c≤9，∴c＝0，2，4，6，8，

当c＝0时，b＝17不符合题意，

当c＝2时，b＝13不符合题意，

当c＝4时，b＝9符合题意，此时

，

当c＝6时，b＝5符合题意，此时

，

当c＝8时，b＝1符合题意，此时

．

故G（m，n）的值为

或

或0．

【变式训练】

1.（2019•新宁县模拟）如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．

【分析】根据整式的乘法，可得相等的整式，根据相等整式中同类项的系数相等，可得答案．

【解析】x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得

A＝2，B＝﹣15．

3A﹣B＝3×2+15＝21．

点评：

本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．

2．（2018•余杭区一模）已知A＝4x2+2x，B＝2x+1，回答下列问题：

（1）求A+B，并将它因式分解．

（2）若A＝B，求满足条件的x的值．

【分析】

（1）直接利用合并同类项法则计算得出答案；

（2）直接利用平方根的定义得出x的值．

【解析】

（1）∵A＝4x2+2x，B＝2x+1，

∴A+B＝4x2+2x+2x+1＝（2x+1）2；

（2）A＝B即4x2+2x＝2x+1，

则4x2＝1，

解得：

x＝±

．

3．（2018•资中县模拟）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．

（1）计算：

F（438）和F（562）；

（2）若a是“相异数”，证明：

F（a）等于a的各数位上的数字之和；

（3）若a，b都是“相异数”，且a+b＝1000，证明：

F（a）+F（b）＝28．

【答案】见解析

【解析】

（1）F（438）

15，

F（562）

13；

（2）设：

a对应的三位数是ABC，

F（a）

A+B+C；

（3）设：

a对应的三位数是ABC，b对应的三位数是DEF，

a+b＝1000，即：

100（A+D）+10（B+E）+（C+F）＝1000，

∵A、B、C各个数字不同，D、E、F各个数字也不同，

先考虑900+90+10＝1000的情况：

A+D≤9，当A＝1时，D＝8，100（A+D）＝900，

B+E≤9，B＝2，E＝7，10（B+E）＝90，

C+F＝10，C＝4，F＝6，（C+F）＝10，

符合题意，经验证其它情况均不符合题意，

故：

A＝1、D＝8、B＝2、E＝7、C＝4、F＝6，

∴F（a）+F（b）＝A+D+B+E+C+F＝28．

4．（2018•河北模拟）当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：

435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729+435×1000，4356729＝729+6×1000+435×10000．

请阅读以上材料，解决下列问题．

（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证