各地中考数学模拟优质试题分项解析汇编专题 二次函数的图象性质和应用.docx
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各地中考数学模拟优质试题分项解析汇编专题二次函数的图象性质和应用
2015年江苏省各地中考数学模拟优质试题分项版解析汇编
专题10：
二次函数的图象、性质和应用
一、选择题
1.【昆山市一模】若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（ ）
【答案】A．
【解析】
试题分析：
根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
试题解析：
∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．
∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有A选项．
故选A．
考点：
二次函数的图象；正比例函数的图象．
2.【昆山市一模】如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2-4ac＞0；
（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ）
A、1个B、2个C、3个D、4个
【答案】A．
【解析】
试题分析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
试题解析：
（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2-4ac＞0，正确；
（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；
（3）∵对称轴在-1的右边，∴-
＞-1，又a＜0，∴2a-b＜0，正确；
（4）当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；
故错误的有1个．
故选A．
考点：
二次函数图象与系数的关系．
3.【昆山市二模】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A、1个B、2个C、3个D、4个
【答案】C．
【解析】
试题分析：
由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-
=-1得b=2a，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．
试题解析：
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（-1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（-1，2），
∴a-b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-
=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C．
考点：
1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点．
4.【南京市鼓楼区二模】对函数y=x3的描述：
①y随x的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是（ ）
A、①②B、①③C、②③D、①②③
【答案】A．
【解析】
试题分析：
①根据函数的增减性，可得答案；
②根据中心对称图形的定义，可得答案；
③根据立方的意义，可得答案．
试题解析：
①y=x3的增减性是y随x的增大而增大，故①正确；
②y=x3的图象绕原点旋转180°能与原图相重合，故②正确；
③y=x3的自变量取值范围是全体实数，故③错误；
故选：
A．
考点：
函数的图象；函数自变量的取值范围；中心对称图形．
5.【南京市建邺区一模】“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．--苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2-2x=
-2实数根的情况是（ ）
A、有三个实数根B、有两个实数根C、有一个实数根D、无实数根
【答案】C．
【解析】
试题分析：
将方程变形为：
（x-1）2=
-1，设y1=
-1，y2=（x-1）2，在坐标系中画出两个函数的图象，看其交点个数即可．
试题解析：
将方程变形
-1=（x-1）2，设y1=
-1，y2=（x-1）2，在坐标系中画出两个函数的图象如图所示：
可看出两个函数有一个交点（1，0）．
故方程x2-2x=
-2有一个实数根．
故选C．
考点：
抛物线与x轴的交点．
6.【江阴市青阳片】对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A、开口向下B、对称轴是x=-1C、顶点坐标是（1，2）D、与x轴有两个交点
【答案】C．
【解析】
试题分析：
根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
试题解析：
二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选C．
考点：
二次函数的性质．
7.【南京市高淳区一模】已知二次函数y=a（x-h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（ ）
A、3B、4C、5D、6
【答案】A．
【解析】
试题分析：
把A点和B点坐标分别代入解析式得到方程组，消去k得到可解得a=
，然后利用a＞0得到h的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．
试题解析：
把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x-h）2+k（a，＞0）得
②-①得64a-16ah=1，
解得a=
＞0，
所以h＜4．
故选A．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．
8.【南京市鼓楼区一模】在二次函数y=ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表：
x
…
-2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
则下列说法：
①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（-1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A、①②③B、①③⑤C、①③④D、①④⑤
【答案】B．
【解析】
试题分析：
结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．
试题解析：
∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，
∴
解得：
∴y=x2-2x，
∵c=0，∴图象经过原点，故①正确；
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，故②错误；
把x=-1代入得，y=3，
∴图象经过点（-1，3），故③正确；
∵抛物线的对称轴是x=1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）
∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故选B．
考点：
1.二次函数的性质；2.抛物线与x轴的交点．
9.【苏州市一模】若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0）；且二次函数化为顶点式是y=a（x-h）2+k，则下列说法：
①b2-4ac＞0；②x1+x2=2h；③二次函数y=ax2+bx+2c（a≠0）化为顶点式为y=a（x-h）2+2k；④若c=k，则一定有h=b．正确的有（ ）
A、①②B、①②③C、①②④D、①②③④
【答案】C．
【解析】
试题分析：
首先根据抛物线与x轴交于两个不同点可得到b2-4ac＞0，根据抛物线的顶点坐标公式为（-
，
），对称轴x=x=
=-
来进行判断．
试题解析：
由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），
∴b2-4ac＞0，故①正确；
由二次函数化为顶点式是y=a（x-h）2+k，可知x=
=h，
∴x1+x2=2h，故②正确；
由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化为顶点式是y=a（x-h）2+k可知：
-
=h，
=k，
∴二次函数y=ax2+bx+2c的顶点横坐标为：
-
=h，纵坐标为：
=
≠2k，故③错误；
∵
=k，c=k，
∴
=c，解得b=0，
∴h=-
=0，故④正确；
因此正确的结论是①②④．
故选C．
考点：
抛物线与x轴的交点．
10.【徐州市一模】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：
①b2-4ax＞0；②abc＜0；③a-b＞0；④m＞2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C．
【解析】
试题分析：
根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②③进行判断；由ax2+bx+c-m=0没有实数根得到抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则m＞2，于是可对④进行判断．
试题解析：
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∴a-b＜0，所以③错误；
∵ax2+bx+c-m=0没有实数根，
即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点，
而二次函数的最大值为2，
∴m＞2，所以④正确．
故选C．
考点：
二次函数图象与系数的关系．
11.【宿迁市泗阳县一模】二次函数y=2x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得到的抛物线的表达式为（）
A．y=2（x+1）2+3B．y=2（x+1）2﹣3C．y=2（x﹣1）2+3D．y=2（x﹣1）2﹣3
【答案】C．
【解析】
试题分析：
抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得的抛物线的顶点坐标为（1，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
试题解析：
依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（1，3），
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：
y=2（x﹣1）2+3．
故选C．
考点：
二次函数图象与几何变换．
12.【盐城市大丰市一模】抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表，则下列说法中错误的是（ ）
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-37
-21
-9
-1
3
3
…
A、当x＞1时y随x的增大而增大B、抛物线的对称轴为x=
C、当x=2时y=-1D、方程ax2+bx+c=0一个负数解x1满足-1＜x1＜0
【答案】A．
【解析】
试题分析：
根据图表信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性对各选项分析判断后利用排除法求解．
试题解析：
由图可知，抛物线的对称轴为直线x=
=
，
A、∵抛物线的对称轴为直线x=
=
，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大正确，故本选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x=
正确，故本选项正确；
C、由抛物线的对称轴为直线x=
可知，
+（
+1）=2，即抛物线上的点为（2，-1）和（-1，-1）是对称点，故本选项正确；
D、由图表数据可知，函数y=0时，对应的x的一个值为-1＜x1＜0，故本选项正确．
故选A．
考点：
二次函数的性质．
13.【铜山县】将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）
A．y=（x+2）2+2B．y=（x+2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2﹣2
【答案】B．
【解析】
试题分析：
先利用顶点式得到抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），再利用点平移的规律得到点（0，1）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
试题解析：
抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以所得抛物线的函数关系式y=（x+2）2﹣2．
故选B．
考点：
二次函数图象与几何变换．
二、填空题
1.【昆山市一模】二次函数y=x2-8x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-8x+n=0的一个解为x1=1．则另一个解为x2=
【答案】7.
【解析】
试题分析：
根据方程x2-8x+n=0的一个解为x1=1，得到y=x2-8x+n与x轴的一个交点为（1，0），求出对称轴，得到另一个交点坐标，求出另一个解．
试题解析：
y=x2-8x+n的对称轴为直线x=4，由已知得，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），则另一个交点为（7，0），所以方程x2-8x+n=0的另一个解为x2=7
考点：
抛物线与x轴的交点．
2.【无锡市崇安区一模】若直线y=m（m为常数）与函数y=
的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．
【答案】0＜m＜2.
【解析】
试题分析：
首先作出分段函数y=
的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
试题解析：
分段函数y=
的图象如图：
故要使直线y=m（m为常数）与函数y=
的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2.
考点：
1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．
3.【盐城市滨海县一模】如图，二次函数y=x（x-2）（0≤x≤2）的图象，记为C1，它与x轴交于O、A1两点；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C2016．若P（4031，m）在第2016段图象C2016上，则m=．
【答案】1.
【解析】
试题分析：
求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线C14平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C14的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
试题解析：
令y=0，则x（x-2）=0，
解得x1=0，x2=2，
∴A1（2，0），
由图可知，抛物线C2016在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移4×1006=4024个单位得到C2015，再将C2015绕点A2015旋转180°得C2016，
∴抛物线C2016的解析式为y=-（x-4030）（x-4032）=-（x-4030）（x-4032），
∵P（4031，m）在第2016段图象C2016上，
∴m=-（4031-4030）（4031-4032）=1．
考点：
二次函数图象与几何变换．
4.【高邮市二模】已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
-6
-1
2
3
2
…
则当y＜-1时，x的取值范围是．
【答案】x＜0或x＞4．
【解析】
试题分析：
根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=0，4时，y=-1，然后写出y＜-1，x的取值范围即可．
试题解析：
由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
∴x=0，4时，y=-1，
∴当y＜-1时，x的取值范围为x＜0或x＞4．
考点：
二次函数的性质．
5.【南京市建邺区二模】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：
方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．
【答案】k＜2.
【解析】
试题分析：
先由交点式求出二次函数的解析式，再由方程的根的情况得出判别式△＞0，解不等式即可得出k的取值范围．
试题解析：
根据题意得：
二次函数的图象与x轴的交点为：
（1，0）、（3，0），
设二次函数y=a（x-1）（x-3），
把点（2，2）代入得：
a=-2，
∴二次函数的解析式为：
y=-2（x-1）（x-3）
即y=-2x2+8x-6；
∵方程-2x2+8x-6=k有两个不相等的实数根，
∴-2x2+8x-6-k=0，
△=82-4×（-2）×（-6-k）＞0，
解得：
k＜2.
考点：
抛物线与x轴的交点．
6.【泰州市姜堰区一模】一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：
h=-5（t-1）2+6，则小球距离地面的最大高度是．
【答案】6米．
【解析】
试题分析：
由函数的解析式就可以得出a=-5＜0，抛物线的开口向下，函数由最大值，就可以得出t=1时，h最大值为6．
试题解析：
∵h=-5（t-1）2+6，
∴a=-5＜0，
∴抛物线的开口向下，函数由最大值，
∴t=1时，h最大=6．
考点：
二次函数的应用．
7.【苏州市吴江区一模】若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=-1，图象经过点（1，0），有下列结论：
①abc＜0；②2a-b=0；③a+b+c＞0；④b2＞5ac，则以上结论一定正确的个数是。
【答案】2.
【解析】
试题分析：
①根据题意可知，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴为直线x=-1，b＜0，据此对①作出判断；
②根据对称轴为直线x=-1，即可对②作出判断；
③根据二次函数图象与x轴另一个交点为（1，0），坐标代入解析式，即可对③作出判断；
④根据二次函数图象与x轴有两个交点，即可对④作出判断．
试题解析：
①∵二次函数图象与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=-1，
∴-
=-1，
∴b=2a，
∵a＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴①不正确；
②∵b=2a，
∴2a-b=0，②正确；
③图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，③不正确；
④图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∵ac＜0，
∴b2＞5ac，④正确，
故答案为：
2．
考点：
二次函数图象与系数的关系．
8.【苏州市吴江区一模】设抛物线y=-x2+2x+3的顶点为E，与y轴交于点C，EF⊥x轴于点，若点M（m，0）是x轴上的动点，且满足以MC为直径的圆与线段EF有公共点，则实数m的取值范围是.
【答案】-
≤m≤5．
【解析】
试题分析：
根据题意表示出圆心的坐标、圆的半径、圆心到EF的距离，列出不等式求出答案．
试题解析：
如图：
∵M（m，0），C（0，3），
∴圆心N的坐标（
，
），
圆N的半径为：
，
圆心到EF的距离为：
|1-
|，
由题意得，|1-
|≤
≤
，
解得：
-
≤m≤5．
考点：
1.直线与圆的位置关系；2.二次函数的性质．
三、解答题
1.【昆山市一模】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？
并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
【答案】
（1）y=x2-2x-3；
（2）（4，0）．
【解析】
试题分析：
（1）用顶点式来求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
试题解析：
（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），
∴设二次函数解析式为y=a（x-1）2-4，把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a-4，解得a=1
∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；
（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解方程，得x1=3，x2=-1．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），
∴二次函数图象上的点（-1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．
考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．
2.【泰兴市二模】张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：
张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？
最大利润是多少？
【答案】
（1）y=-200x+12000（20＜x≤40）；
（2）张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是105800元．
【解析】
试题分析：
（1）根据函数图象得出分段函数解析式，注意x的取值范围；
（2）利用函
（1）中函数解析式表示出w，进而利用函数性质得出最值．
试题解析：
（1）根据图象可知当0＜x≤20时，
y=8000（0＜x≤20），
当20＜x≤40时，
将B（20，8000），C（40，4000），代入y=kx+b，得：
，
解得：
，
y=-200x+12000（20＜x≤40）；
（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2800元/吨，
由题意得：
当0＜x≤20时，
W=（8000-2800）x=5200x，
W随x的增大而增大，当x=20时，W最大=5200×20=104000元，
当20＜x≤40时，
W=（-200x+12000-2800）x=-200x2+9200x，
∵a=-200，
∴函数有最大值，
当x=-
=23时，
W最大=
=105800元．
故张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是105800元．
考点：
1.二次函数的应用；2.一次函数的应用
3.【南京市鼓楼区二模】某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：
元）与上市时间x（单位：
天）的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：
①y=ax+b（a≠0）； ②y=a（x-h）2+k（ a≠0）； ③y=
（a≠0）．你可选择的函数的序号是．
（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？
【答案】
（1）②．
（2）最低价格为26元．
【解析】
试题分析：
（1）根据市场价y（单位：
元）与上市时间x（单位：
天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．
（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少
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