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正交试验法

第一章正交试验法概述

对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。

但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。

正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。

1.1正交试验设计的基本概念

正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。

它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。

例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。

每个因素设置3个水平进行试验。

A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A33个水平；B因素是pH值，设B1、B2、B33个水平；C因素为杀菌温度，设C1、C2、C33个水平。

这是一个3因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能组合有27种。

全面试验：

可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。

但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成。

若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。

正交试验设计的基本特点是：

用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。

正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。

虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。

如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9（34）安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。

1.2正交试验设计的基本原则

在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。

如上例中，3个因素的选优区可以用一个立方体表示（图1-1），3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点，反映在图1-1上就是立方体内的27个“（·）”。

若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表1-1所示。

表1-13因素3水平全面试验方案

C1

C2

C3

A1

B1

A1B1C1

A1B1C2

A1B1C3

B2

A1B2C1

A1B2C2

A1B2C3

B3

A1B3C1

A1B3C2

A1B3C3

A2

B1

A2B1C1

A2B1C2

A2B1C3

B2

A2B2C1

A2B2C2

A2B2C3

B3

A2B3C1

A2B3C2

A2B3C3

A3

B1

A3B1C1

A3B1C2

A3B1C3

B2

A3B2C1

A3B2C2

A3B2C3

B3

A3B3C1

A3B3C2

A3B3C3

3因素3水平的全面试验水平组合数为33=27，4因素3水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这在科学试验中是有可能做不到的。

正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。

图1-1中标有试验号的九个“（·）”，就是利用正交表L9（34）从27个试验点中挑选出来的9个试验点。

即：

（1）A1B1C1

（2）A2B1C2（3）A3B1C3

（4）A1B2C2（5）A2B2C3（6）A3B2C1

（7）A1B3C3（8）A2B3C1（9）A3B3C2

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。

对于A、B、C3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。

从图1-1中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。

9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。

正交表及其基本性质

正交表

由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。

表1-2是一张正交表，记号为L8（27），其中“L”代表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行，用这张正交表安排试验包含8个处理（水平组合）；括号内的底数“2”表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。

表1-2L8（27）正交表

试验编号

列号

1

2

3

4

5

6

7

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

2

3

1

2

2

1

1

2

2

4

1

2

2

2

2

1

1

5

2

1

2

1

2

1

2

6

2

1

2

2

1

2

1

7

2

2

1

1

2

2

1

8

2

2

1

2

1

1

2

常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。

2水平正交表除L8（27）外，还有L4（23）、L16（215）等；3水平正交表有L9（34）、L27（213）……等。

正交表的基本性质

正交性

1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等

例如L8（27）中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9（34）中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。

2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且对出现的次数相等

例如L8（27）中（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）各出现两次；L9（34）中（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3）各出现1次。

即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。

代表性

一方面：

1）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；2）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。

另一方面：

由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。

因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。

综合可比性

1）任一列的各水平出现的次数相等；2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。

这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。

从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。

根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。

所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。

由图1-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含3个“（·）”，任一直线上都包含1个“（·）”，因此，这些点代表性强，能够较好地反映全面试验的情况。

整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。

因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。

如在A、B、C3个因素中，A因素的3个水平A1、A2、A3条件下各有B、C的3个不同水平，即：

A1

B1C1

A2

B1C2

A3

B1C3

B2C2

B2C3

B2C1

B3C3

B3C1

B3C2

在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。

所以A因素3个水平间具有综合可比性。

同样，B、C因素3个水平间亦具有综合可比性。

正交表的三个基本性质中，正交性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果

正交表的类别

1、等水平正交表：

各列水平数相同的正交表称为等水平正交表。

如L4（23）、L8（27）、L12（211）等各列中的水平为2，称为2水平正交表；L9（34）、L27（313）等各列水平为3，称为3水平正交表；

2、混合水平正交表：

各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。

如L8（4×24）表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2。

也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。

再如L16（44×23），L16（4×212）等都混合水平正交表。

第二章正交试验设计程序

正交试验设计分类

试验方案设计步骤

对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法，其设计基本程序如图所示。

正交试验设计的基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。

实例（例2-1）：

为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件。

下面以本试验说明正交试验设计的各个步骤。

试验方案设计

1）明确试验目的，确定试验指标

试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么问题。

试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确定出试验指标。

试验指标可为定量指标，如强度、硬度、产量、出品率、成本等；也可为定性指标如颜色、口感、光泽等。

一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。

对本试验而言，试验目的是为了提高山楂原料的利用率。

所以可以以液化率{液化率=[（果肉重量-液化后残渣重量）/果肉重量]×100%}为试验指标，来评价液化工艺条件的好坏。

液化率越高，山楂原料利用率就越高。

2）选因素、定水平，列因素水平表

根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。

一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。

试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以2-4个水平为宜。

对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过多（≤6），否则试验次数骤增。

因素的水平间距，应根据专业知识和已有的资料，尽可能把水平值取在理想区域。

对本试验分析，影响山楂液化率的因素很多，如山楂品种、山楂果肉的破碎度、果肉加水量、原料pH值、果胶酶种类、加酶量、酶解温度、酶解时间等等。

经全面考虑，最后确定果肉加水量、加酶量、酶解温度和酶解时间为本试验的试验因素，分别记作A、B、C和D，进行四因素正交试验，各因素均取三个水平，因素水平表见表2-1所示。

表2-1因素水平表

水平

试验因素

加水量

（mL/100g）

A

加酶量

（mL/100g）

B

酶解温度

（℃）

C

酶解时间

（h）

D

1

10

1

20

2

50

4

35

3

90

7

50

3）选择合适的正交表

正交表的选择是正交试验设计的首要问题。

确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。

正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。

一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数；因素个数（包括交互作用）应不大于正交表的列数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。

若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。

等水平正交表La（bc）

La（bc）

正交表选择依据：

列：

正交表的列数c≥因素所占列数+交互作用所占列数+空列。

自由度：

正交表的总自由度（a-1）≥因素自由度+交互作用自由度+误差自由度。

此例有4个3水平因素，可以选用L9（34）或L27（313）；因本试验仅考察四个因素对液化率的影响效果，不考察因素间的交互作用，故宜选用L9（34）正交表。

若要考察交互作用，则应选用L27（313）。

4）表头设计

所谓表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各列中去的过程。

在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用，以防止设计“混杂”。

此例不考察交互作用，可将加水量（A）、加酶量（B）和酶解温度（C）、酶解时间（D）依次安排在L9（34）的第1、2、3、4列上，见表2-2所示。

表2-2表头设计

列号

1

2

3

4

因素

A

B

C

D

5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。

把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了正交试验方案（表2-3）。

表2-3试验方案及试验结果

试验号

因素

试验结果

（液化率%）

A

B

C

D

1

1

1

1

1

0

2

1

2

2

2

17

3

1

3

3

3

24

4

2

1

2

3

12

5

2

2

3

1

47

6

2

3

1

2

28

7

3

1

3

2

1

8

3

2

1

3

18

9

3

3

2

1

42

说明：

试验号并非试验顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行；

安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。

例2-2鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。

试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不同增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行4因素4水平正交试验。

试设计试验方案。

（西南农业大学）

有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但大部分属于合成的化学试剂，在卫生安全上得不到保证，并且不符合满足消费者纯天然、无污染的要求。

①明确目的，确定指标。

本例的目的是通过试验，寻找一个最佳的鸭肉天然复合保鲜剂。

②选因素、定水平。

根据专业知识和以前研究结果，选择4个因素，每个因素定4个水平，因素水平表见表2-4。

表2-4天然复合保鲜剂筛选试验因素水平表

水平

因素

A茶多酚浓度/％

B增效剂种类

C被膜剂种类

D浸泡时间/min

1

％维生素C

％海藻酸钠

1

2

％柠檬酸

％海藻酸钠

2

3

％β-CD

％海藻酸钠

3

4

生姜汁

％葡萄糖

4

③选择正交表。

此试验为4因素4水平试验，不考虑交互作用，4因素共占4列，选L16（45）最合适，并有1空列，可以作为试验误差以衡量试验的可靠性。

4表头设计。

4因素任意放置。

5编制试验方案。

试验方案见表2-5。

表2-5天然复合保鲜剂筛选试验方案

试验号

A茶多酚浓度/％

B增效剂种类

C被膜剂种类

D浸泡时间/min

E空列

结果

1

1

2

3

3

2

2

2

4

1

2

2

3

3

4

3

4

3

4

4

2

1

1

3

5

1

3

1

4

4

6

2

1

3

1

4

7

3

1

1

3

1

8

4

3

3

2

1

9

1

1

4

2

3

10

2

3

2

3

3

11

3

3

4

1

2

12

4

1

2

4

2

13

1

4

2

1

1

14

2

2

4

4

1

15

3

2

2

2

4

16

4

4

4

3

4

选择正交表的基本原则

一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的L表。

在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。

1）先看水平数。

若各因素全是2水平，就选用L（2＊）表；若各因素全是3水平，就选L（3＊）表。

若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。

2）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。

要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。

为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为“误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列处理。

3）要看试验精度的要求。

若要求高，则宜取实验次数多的L表。

4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的L表。

5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。

6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选小表而犹豫。

若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。

某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论。

这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。

正交试验结果分析的一般步骤

第三章正交试验结果分析

正交试验结果分析目的

1）、分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；

2）、判断因素对试验指标影响的显著程度；

3）、找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；

4）、分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。

找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向；

5）、了解各因素之间的交互作用情况；

6）、估计试验误差的大小。

分析方法

直观分析法－极差分析法

计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。

以上例为实例来说明极差分析过程。

1、Kjm，kjm

1、计算

极差分析法－R法2、Rj

1、因素主次

2、判断2、优水平

3、优组合

Rj为第j列因素的极差，反映了第j列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。

Rj越大，说明该因素对试验指标的影响越大。

根据Rj大小，可以判断因素的主次顺序。

Kjm为第j列因素m水平所对应的试验指标和，kjm为Kjm平均值。

由kjm大小可以判断第j列因素优水平和优组合。

正交试验的方差分析法

极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推广普及。

但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，无法估计试验误差的大小。

此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。

为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。

方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。

正交试验结果的方差分析思想、步骤同前！

！

正交试验结果的方差分析步骤：

1）偏差平方和分解：

总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和

2）自由度分解：

3）方差：

4）构造F统计量：

5）列方差分析表，作F检验

若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。

6）正交试验方差分析说明

由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。

当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。

误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。

为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因（MS交）<2MSe，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。

表3-1L9（34）正交表

处理号

第1列（A）

第2列

第3列

第4列

试验结果yi

1

1

1

1

1

y1

2

1

2

2

2

y2

3

1

3

3

3

y3

4

2

1

2

3

y4

5

2

2

3

1

y5

6

2

3

1

2

y6

7

3

1

3

2

y7

8

3

2

1

3

y8

9

3

3

2

1

y9

分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。

因素

重复1

重复2

重复3

和

A1

y1

y2

y3

y1＋y2＋y3

K1

A2

y4

y5

y6

y4＋y5＋y6

K2

A3

y7

y8

y9

y7＋y8＋y9

K3

表3-2Ln（mk）正交表及计算表格

总偏差平方和：

列偏差平方和：

试验总次数为n，每个因素水平数为m个，每个水平作r次重复r＝n/m。

当m＝2时，

总自由度：

因素自由度：

F检验法

正交试验结果分析实例

不考察交互作用的试验结果分析

不考虑交互作用等水平正交试验极差分析

1）确定试验因素的优水平和最优水平组合

分析A因素各水平对试验指标的影响。

由表3-1可以看出，A1的影响反映在第1、2、3号试验中，A2的影响反映在第4、5、6号试验中，A3的影响反映在第7、8、9号试验中。

A因素的1水平所对应的试验指标之和为KA1=y1+y2+y3=0+17+24=41，kA1=KA1/3=；

A因素的2水平所对应的试验指标之和为KA2=y4+y5+y6=12+47+28=87，kA2=KA2/3=29；

A因素的3水平所对应的试验指标之和为KA3=y7+y8+y9=1+18+42=61，kA3=KA3/3=。

根据正交设计的特性，对A1、A2、A3来说，三组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。

如果因素A对试验指标无影响时，那么kA1、kA2、kA3应该相等，但由上面的计算可见，kA1、kA2、kA3实际上不相等。

说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。

因此，根据kA1、kA2、kA3的大小可以判断A1、A2、A3对试验指标的影响大小。

由于试验指标为液化率，而kA2>kA3>kA1，所以可断定A2为A因素的优水平。

同理，可以计算并确定B3、C3、D1分别为B、C、D因素的优水平。

四个因素的优水平组合A2B3C3D1为本试验的最优水平组合，即酶法液化生产山楂清汁的最优工艺条件为加水量50mL/100g，加酶量7mL/100g，酶解温度为50℃,酶解时间为。

2）确定因素的主次顺序

根据极差Rj的大小，可以判断各因素对试验指标的影响主次。

本例极差Rj计算结果见表1-8，比较各R值大小，可见RB>RA>RD>RC,所以因素对试验指标影响的主→次顺序是BADC。

即加酶量影响最大，其