自动控制原理胡寿松第四版课后答案.docx
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自动控制原理胡寿松第四版课后答案
1-3
解:
系统的工作原理为:
当流出增加时,液位降低,浮球降落,控制器通过移动气动阀门的开度,流入量增加,液位开始上。
当流入量和流出量相等时达到平衡。
当流出量减小时,系统的变化过程则相反。
希望液位
流出量
高度液位高度
控制器气动阀水箱
+流入量
-
浮球
图一
1-4
(1)非线性系统
(2)非线性时变系统
(3)线性定常系统
(4)线性定常系统
(5)线性时变系统
(6)线性定常系统
2-1解:
显然,弹簧力为kx(t),根据牛顿第二运动定律有:
F(t)−kx(t)=m
移项整理,得机械系统的微分方程为:
dx(t)
dt
mdx(t)+kx(t)=F(t)
dt
对上述方程中各项求拉氏变换得:
msX(s)+kX(s)=F(s)
所以,机械系统的传递函数为:
G(s)=
X(s)=
F(s)
1
ms+k
2-2解一:
由图易得:
i(t)R=u(t)−u(t)
u(t)+i(t)R=u(t)
du(t)
i(t)=C
dt
由上述方程组可得无源网络的运动方程为:
C(R+R)du(t)
u(t)=CR
du(t)
u(t)
dt
++
dt
对上述方程中各项求拉氏变换得:
C(R+R)sU(s)+U(s)=CRsU(s)+U(s)
所以,无源网络的传递函数为:
G(s)=U(s)=
U(s)
1+sCR
1+sC(R+R)
解二(运算阻抗法或复阻抗法):
U(s)
1
+R
1+RCs
=Cs=
U(s)
R+1+R
1+(R+R)Cs
Cs
2-5解:
按照上述方程的顺序,从输出量开始绘制系统的结构图,其绘制结果如下图所示:
依次消掉上述方程中的中间变量X,X,X,可得系统传递函数为:
C(s)=
R(s)
G(s)G(s)G(s)G(s)
1+G(s)G(s)G(s)+G(s)G(s)G(s)+G(s)G(s)G(s)G(s)[G(s)−G(s)]
2-6解:
①将G(s)与G(s)组成的并联环节和G(s)与G(s)组成的并联环节简化,它们的
等效传递函数和简化结构图为:
G(s)=G(s)+G(s)
G(s)=G(s)−G(s)
②将G(s),G(s)组成的反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为:
2-7解:
C(s)=
R(s)
G(s)
1+G(s)G(s)
=G(s)+G(s)
1+[G(s)+G(s)][G(s)−G(s)]
由上图可列方程组:
[E(s)G(s)−C(s)H(s)]G(s)=C(s)
R(s)−H
(s)C(s)
G(s)
=E(s)
联列上述两个方程,消掉E(s),得传递函数为:
C(s)=
R(s)
G(s)G(s)
1+H(s)G(s)+H(s)G(s)
联列上述两个方程,消掉C(s),得传递函数为:
E(s)=
R(s)
1+H(s)G(s)
1+H(s)G(s)+H(s)G(s)
2-8解:
将①反馈回路简化,其等效传递函数和简化图为:
G(s)=2s+1=
1+*
2s+1
1
5s+3
将②反馈回路简化,其等效传递函数和简化图为:
1
G(s)=s++1=
5s+3
1+
5s+
++
(s++1)(5s+3)
将③反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为:
*(5s+3)
Θ(s)=5s+++=
+
Θ(s)
1+*Ks(5s+3)
5s
++)s
++)s+
5s
3-3解:
该二阶系统的最大超调量:
σp=e
−ζπ/
1−ζ
*100%
当σ
=5%时,可解上述方程得:
ζ=
当σ
=5%时,该二阶系统的过渡时间为:
t≈
3
ζw
所以,该二阶系统的无阻尼自振角频率w
3-4解:
≈3
ζt
=3
*2
=
由上图可得系统的传递函数:
10*(1+Ks)
C(s)=
R(s)
s(s+2)
1+10*(1+Ks)
s(s+2)
==10*(Ks+1)
s+2*(1+5K)s+10
所以w=
10,ζw=1+5K
⑴若ζ
=时,K≈
所以K≈时,ζ
=
⑵系统单位阶跃响应的超调量和过渡过程时间分别为:
σp=e
−ζπ/
1−ζ
*100%=e
−*/
1−
*100%≈%
ts=
3
ζwn
=3
*
≈
10
⑶加入(1+Ks)相当于加入了一个比例微分环节,将使系统的阻尼比增大,可以有效
地减小原系统的阶跃响应的超调量;同时由于微分的作用,使系统阶跃响应的速度(即变
化率)提高了,从而缩短了过渡时间:
总之,加入(1+Ks)后,系统响应性能得到改善。
3-5解:
由上图可得该控制系统的传递函数:
C(s)=
10K
R(s)
二阶系统的标准形式为:
C(s)
R(s)
s+(10τ+1)s+10K
w
=
s+2ζws+w
所以
=10K
2ζw=10τ+1
由
p
σ=e−ζπ/
π
1−ζ
*100%
tp=
wn
1−ζ2
σp=%
tp=
可得
ζ=
w=10K
ζ=
w=
由和
2ζw=10τ+1
w=
可得:
K=
τ=
t≈
3
ζw
=
3-6解:
⑴列出劳斯表为:
因为劳斯表首列系数符号变号2次,所以系统不稳定。
⑵列出劳斯表为:
因为劳斯表首列系数全大于零,所以系统稳定。
⑶列出劳斯表为:
因为劳斯表首列系数符号变号2次,所以系统不稳定。
3-7解:
系统的闭环系统传递函数:
K(s+1)
C(s)=
R(s)
=
s(2s+1)(Ts+1)=
1+K(s+1)
s(2s+1)(Ts+1)
K(s+1)
K(s+1)
s(2s+1)(Ts+1)+K(s+1)
2Ts+(T+2)s+(K+1)s+K
列出劳斯表为:
s2TK+1
sT+2K
s(K+1)(T+2)−2KTT+2
sK
T>0,T+2>0,(K+1)(T+2)−2KTT+2
>0,K>0
T>0
K>0,(K+1)(T+2)−2KT>0
(K+1)(T+2)−2KT=(T+2)+KT+2K−2KT
=(T+2)−KT+2K=(T+2)−K(T−2)>0
K(T−2)<(T+2)
3-9解:
由上图可得闭环系统传递函数:
C(s)=
KKK
R(s)(1+KKKa)s−KKKbs−KKK
代入已知数据,得二阶系统特征方程:
(1+)s−−K=0
列出劳斯表为:
s1+−K
s−
s−K
可见,只要放大器
−10
3-12解:
系统的稳态误差为:
e
=lime(t)=limsE(s)=lims
R(s)
1+G(s)
⑴G(s)=
10
s+1)+1)
系统的静态位置误差系数:
K=limG
(s)=lim10=∞
s+1)+1)
系统的静态速度误差系数:
K=limsG
(s)=lim
10s
=10
s+1)+1)
系统的静态加速度误差系数:
K=limsG
(s)=lim
10s
=0
s+1)+1)
当r(t)=1(t)时,R(s)=1
s
e
=lims
*1=0
当r(t)=4t时,R(s)=
10s
1+
s+1)+1)
4
s
e=lims
*4=
s
当r(t)=t时,R(s)=
1+10
s+1)+1)
2
s
e
=lim
1+
s*2=∞
10s
s+1)+1)
当r(t)=1(t)+4t+t时,R(s)=1+4+2
sss
3-14解:
e=0++∞=∞
由于单位斜坡输入下系统稳态误差为常值=2,所以系统为I型系统
设开环传递函数G(s)=
K
s(s+as+b)
⇒K=b
闭环传递函数
φ(s)=G(s)=K
1+G(s)s+as+bs+K
Qs=−1±j是系统闭环极点,因此
s+as+bs+K=(s+c)(s+2s+2)=s+(2+c)s+(2c+2)s+2c
⎧K=
⎪K=2c
⎨b=2c+2⇒
⎪⎩a=2+c
⎧K=2
⎪a=3
⎨b=4
⎪⎩c=1
所以G(s)=
2。
s(s+3s+4)
4-1
jω[s]
jω[s]
k→∞
k=0
×
k→∞
k=0
0×
σk=0
×
k→∞
k→∞
k=0σ
0×
(a)(b)
ω
jω[s]
σ
σ
×0×
(c)(d)
4-2
ω
σ
p1=0,
p2=0,
p3=−1
1.实轴上的根轨迹(−∞,−1)(0,0)
1
2.n−m=3
3条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角为
ϕ180°(2q+1)=±60°,180°
3
(q=0,1)
渐近线与实轴的交点为
∑p−∑z
0−0−11
σ=
3.系统的特征方程为
n−m
==−
33
1+G(s)=1+
K=0
s(s+1)
即K=−s(s+1)=−s−s
dK=−3s−2s=0
ds
s(3s+2)=0
根s=0
(舍去)
s=−
4.令s=jω
代入特征方程
1+G(s)=1+
K=0
s(s+1)
s(s+1)+K=0
(jω)(jω+1)+K=0
−ω(jω+1)+K=0
K−ω−jω=0
⎧K−ω=0
⎨
⎩ω=0
ω=0
(舍去)
与虚轴没有交点,即只有根轨迹上的起点,也即开环极点
p1,2=0
在虚轴上。
2
5-1
G(s)=
5
+1
G(jω)=
5
jω+1
A(ω)=
5ω)+1
ϕ(ω)=−arctanω)
输入r(t)=5cos(4t−30°)=5sin(4t+60°)
ω=4
A(4)=
5
*4)+1
=2
ϕ(4)=−arctan*4)=−45°
系统的稳态输出为
c(t)=A(4)*5cos[4t−30°+ϕ(4)]
=2*5cos(4t−30°−45°)
=cos(4t−75°)=sin(4t+15°)
sinα=cos(90°−α)=cos(α−90°)=cos(α+270°)
5-3
或者,
c(t)=A(4)*5sin[4t+60°+ϕ(4)]
=2*5sin(4t+60°−45°)
=sin(4t+15°)
11
(2)
G(s)=
(1+s)(1+2s)
G(jω)=
(1+jω)(1+j2ω)
A(ω)=
1
(1+ω)(1+4ω)
ϕ(ω)=−arctanω−arctan2ω
ϕ(ω)=−arctanω−arctan2ω=−90°arctanω+arctan2ω=90°
ω=1/(2ω)
ω=1/2
A(ω)=
1=
(1+1/2)(1+4*1/2)
2=
3
与虚轴的交点为(0,)
jY(ω)
0ω=∞
ω=0
1
X(ω)
ω
1
(3)G(s)=
1
s(1+s)(1+2s)
G(jω)=
1
jω(1+jω)(1+j2ω)
A(ω)=
ω
1
(1+ω)(1+4ω)
ϕ(ω)=−90°−arctanω−arctan2ω
ϕ(ω)=−90°−arctanω−arctan2ω=−180°arctanω+arctan2ω=90°
ω=1/(2ω)
ω=1/2
A(ω)=
1
1/2(1+1/2)(1+4*1/2)
=2=
3
与实轴的交点为(,-j0)
0
ω=
ω
ω=0
jY(ω)
ω=∞
X(ω)
(4)G(s)=
1
s(1+s)(1+2s)
G(jω)=
1
(jω)(1+jω)(1+j2ω)
A(ω)=
ω
1
(1+ω)(1+4ω)
ϕ(ω)=−180°−arctanω−arctan2ω
ϕ(ω)=−180°−arctanω−arctan2ω=−270°arctanω+arctan2ω=90°
ω=1/(2ω)
ω=1/2
A(ω)=
1=2(1/2)(1+1/2)(1+4*1/2)3
2=
与虚轴的交点为(0,)
ω=
ω=0ω
0
jY(ω)
ω=∞
X(ω)
2
5-4
(2)ω=,ω=1,k=1,υ=0
L(ω)(dB)
0
-20dB
-20dB/dec
ω
110
-40dB/dec
-40dB
(3)ω=,ω=1,k=1,υ=1
L(ω)(dB)
-20dB/dec
20dB-40dB/dec
ω
0
110
-20dB
-40dB
-60dB/dec
(4)ω=,ω=1,k=1,υ=2
L(ω)(dB)
60dB
-40dB/dec
40dB
20dB-60dB/dec
ω
0
110
-20dB
-40dB
-80dB/dec
5-6
G(s)=
1
s−1
是一个非最小相位系统
3
G(jω)=1=
1(−1−jω)=
1e
jω−11+ω
1+ω
G(s)=
1
s+1
是一个最小相位系统
G(jω)=1=
1(1−jω)=
1e
jω+11+ω
1+ω
5-8(a)
ω
ω
ω
ω
系统开环传递函数有一极点在s平面的原点处,因此乃氏回线中半径为无穷小量ε的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧:
ω:
0→0;θ:
-90°→0°→+90°;ϕ(ω):
+90°→0°→-90°
N=P-Z,Z=P-N=0-(-2)=2
闭环系统有2个极点在右半平面,所以闭环系统不稳定
(b)
4
系统开环传递函数有2个极点在s平面的原点处,因此乃氏回线中半径为无穷小量ε的半圆
弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧:
ω:
0→0;θ:
-90°→0°→+90°;ϕ(ω):
+180°→0°→-180°
N=P-Z,Z=P-N=0-0=0
闭环系统有0个极点在右半平面,所以闭环系统稳定
5-10
KK
(1)
G(s)H(s)==
Ts+1
ϕ(ω)(°)
1
s+1
=
s+
ω=
0°
ω
−90°
ϕ(ω)
GsHs=K
1=K
1=
(2)
()()
ϕ(ω)(°)
sTs+1
s1
s+1
s(s+
−90°
ω=
ω
−180°
ϕ(ω)
Kτs+1
1
K
s+1
4K(s+
(3)
G(s)H(s)==
sTs+1s1
=
s(s+2)
s+1
2
L(ω)(dB)
-40dB/dec
-20dB/dec
aω
b0
12
-40dB/dec
5
20lg1
=a−20lgK+20lg1
=40lg1
−20lgK=20lg1
20lg(K)=20lg2
K=1/2=
G(s)H(s)=4K(s+=2(s+
s(s+2)
s(s+2)
−90°
ϕ(ω)(°)
ω=
ω=2
ω
−180°
ϕ(ω)
5-11
ω=0
jY(ω)
ω=+∞
0ω=−∞
(-1,j0)
X(ω)
ω
ω=0
G(s)H(s)=
K
s(s+1)(3s+1)
⇒G(jω)H(jω)=
K
jω(jω+1)(3jω+1)
ϕ(ω)=−90°−arctanω−arctan3ω=−180°arctanω+arctan3ω=90°
ω=1/(3ω)
ω=1/3
A(ω)=
K
1/3(1+1/3)(1+9*1/3)
=3K=1
4
K=4/3=
6
6-2
(1)
6ω
G(s)==
s(s+4s+6)
s(s+2ξωs+ω)
ω=6
ω=6=,2ξω=4ξ=
4=2
=
2ω6
K=1
所以,ω=120lgK=0
⎛2ξω/ω
ϕ(ω)=−90°−arctg
⎞⎛2**1/⎞
=−90°−arctg
⎜1−ω/ω⎟⎜
1−1/⎟
⎝⎠⎝⎠
=−90°−arctg⎛2**1/⎞=−90°−arctg⎛⎞=−90°−arctg
⎜1−1/
⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=−90°−°=−°
γ=180°+ϕ(ω)=180°−°=°
L(ω)(dB)
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-20dB/dec
ω
1
ω
10
-60dB/dec
(2)
ω=1,
ω=1/=5
⎛2ξω/ω
ϕ(ω)=−90°−arctg
⎞⎛ω⎞⎛ω⎞
+arctg−arctg
⎜1−ω/ω⎟⎜ω
⎟⎜ω⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
=−°+arctg⎛1⎞−arctg⎛1⎞=−°+45°−°=−°
⎝⎠⎝⎠
γ=180°+ϕ(ω)=180°−°=°
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L(ω)(dB)
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-20dB