完整word版立体几何二面角问题.docx
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完整word版立体几何二面角问题
立体证明题
(2)
1•如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是正方形,AE=EBF为CE上的点,且BF丄
平面ACE
(1)求证:
AE丄平面BCE
(2)求二面角B-AC-E的余弦值.
2•等腰△ABC中,AC=BC=!
AB=2,E、F分别为ACBC的中点,将△EFC沿EF折起,使得C到P,得到四棱锥P-ABFE且AP=BP=W.
(1)求证:
平面EFP1平面ABFE
(2)求二面角B-AP-E的大小.
圉1
囹2
PADL底面ABCD且
3•如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是正方形,侧面
PA=PD=2AD,若E、F分别为PCBD的中点.
(I)求证:
EF//平面PAD
4•如图:
正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且/BCD=90°,ZCBD=30°
(1)求证:
AB丄CD
(2)求二面角D-AB-C的正切值.
ABCD
(1)求证:
平面PADL平面PBD
5•如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PADL平面ABCD^PAD是等边三角形,四边形
是平行四边形,/ADC=120,AB=2AD
6•如图,在直三棱柱ABC-AiBQ中,/ACB=90°,AC=CB=CC2,E是AB中点.
(I)求证:
AB丄平面AiCE
(H)求直线AG与平面AiCE所成角的正弦值.
8•如图,在四棱锥
7•如图,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD/DAB为直角,AB//CD,AD=CD=2AB=2
E,F分别为PC,CD的中点.
(I)证明:
AB丄平面BEF;
(H)若PA=,求二面角E-BD-C.
5
P-ABCD中,PA丄平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足
AB丄AD,BC//AD且BC=4,点M为PC中点.
(1)求证:
DM丄平面PBC;
be
(2)若点E为BC边上的动点,且,是否存在实数人使得二面角P-DE-B的
EC
9•如图,ABED是长方形,平面ABEDL平面ABCAB=AC=5BC=BE=6且M是BC的中点
(I)求证:
AML平面BEC
(H)求三棱锥B-ACE的体积;
(川)若点Q是线段AD上的一点,且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.
10.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,AB//CDAB丄BC,
AB=2CD=2BCEALEB
(1)求证:
EA丄平面EBC
(2)求二面角C-BE-D的余弦值.
D
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,/ADC=90°,平面PADL
底面ABCDO为AD中点,M是棱PC上的点,AD=2BC
(1)求证:
平面POBL平面PAD
12.如图,三棱柱ABC-ABC中,侧棱AA丄平面ABC△ABC为等腰直角三角形,/
BAC=90,且AB=AA,E、F分别是CC,BC的中点.
(1)求证:
平面ABF丄平面AEF;
(2)求二面角B1-AE-F的余弦值.
13.如图,在菱形ABCD中,/ABC=60°,AC与BD相交于点QAE丄平面ABCDCF/AE,AB=AE=2
(I)求证:
BD丄平面ACFE
(II)当直线FQ与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B-EF-D的余弦角.
14.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成,
ADLAF,AE=AD=2
(1)证明:
平面PADL平面ABFE
(2)求正四棱锥P-ABCD的高h,使得二面角C-AF-P的余弦值是—21
3
AC的中点D,且BA丄AG.
/BCA=90°,AC=BC=2A在底面ABC上的射影恰为
(I)求证:
AC丄平面AiBC;
(H)求二面角A-AiB-C的平面角的余弦值.
试卷答案
1.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.
【分析】
(1)由已知中直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是正方形,且BF丄平面ACE我们可以证得BF丄AECB丄AE进而由线面垂直的判定定理可得AE!
平面BCE
(2)连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义,可得/BGF是二面角B-AC-E的平面角,解Rt△BFG即可得到答案.
【解答】证明:
(1)vBF丄平面ACE
•••BF丄AE…
•••二面角D-AB-E为直二面角,且CBLAB,
•CB丄平面ABE
•CB丄AE…
•AE丄平面BCE…
解:
(2)连接BD与AC交于G连接FG设正方形ABCD勺边长为2,
•BG丄AC,BG=一,…
•/BF垂直于平面ACE由三垂线定理逆定理得FGLAC
•ZBGF是二面角B-AC-E的平面角…
由
(1)AE!
平面BCE得AE!
EB,
•/AE=EBBE==
•在Rt△BCE中,.”匚=",…
由等面积法求得「二-I,
ECV63
则nW-汀'
故二面角B-AC-E的余弦值为—
2.
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】
(1)用分析法找思路,用综合法证明•取EF中点0,连接OROC等腰三角形
CEF中有COLEF,即卩ORLEF.根据两平面垂直的性质定理,平面PEF和平面ABFE的交线
是EF,且POLEF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可
利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE
(2)根据第一问分析空间位置关系,可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AER的法
向量的所成角,利用向量角和二面角关系,确定二面角大小.
【解答】解:
(1)证明:
在厶ABC中,D为AB中点,0为EF中点.
由AC=BC=7,AB=2
•••E、F分别为ACBC的中点,
•••EF为中位线,得C0=0D=1COLEF
•••四棱锥P—ABFE中,POLEF,…2分
•••OC丄AB,AD=OD=1•AO=「,
又AP=T,OP=1,
•四棱锥P-ABFE中,有AF^aO+oP,即卩OPLAQ…4分
又AOHEF=QEF、AO?
平面ABFE
•OP丄平面ABFE…5分
又OF?
平面EFP,
•平面EFP!
平面ABFE…6分
(2)由
(1)知ODOF,OP两两垂直,以0为原点,建立空间直角坐标系(如图):
则A(1,-1,0),B(1,1,0),E(0,:
0),P(0,0,1)-7分
•宀、匚:
,U,1・1°
设y,£,二=(『,,£)分别为平面aep平面abp的一个法向量,
2取x=1,得y=2,z=-1
PAlir|s-y-z=0
•—…二T•…分
同理可得一丄:
.’!
.;,…11分
由于:
|-:
-.'I'I:
--I=0,
所以二面角B-AP-E为90°.…12分
p
【解答】证明:
(I)连接AC则F是AC的中点,在△CPA中,EF//PA(3分)且PA?
平面PADEF?
平面PAD
•••EF//平面PAD(6分)
(H)因为平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=AD
又CDLAD所以CDL平面PAD
•CD丄PA(9分)
又PA=PD=AD,
2
所以△PAD是等腰直角三角形,且/APD=_,即PA丄PD(12分)
而CDAPD=D
•PA丄平面PDC又EF//PA所以EF丄平面PDC(14分)
【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定,而其中的转化思想的应用值得注意,将线面平行转化为线线平行;证明线面垂直,转化为线线垂直,在证明线线垂直时,往往还要通过线面垂直来进行.
4.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】
(1)利用平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC可得DCL平面ABC利用线面垂直的性质,可得DCLAB;
(2)过C作CE!
AB于E,连接ED,可证/CED是二面角D-AB-C的平面角.设CD=a则
BC——=忑匕从而EC=BCsin60二耍,在Rt△DEC中,可求tan/DEC
tan302
【解答】
(1)证明:
TDCLBC,且平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC
•DC丄平面ABC
又AB?
平面ABC
•DCLAB.…
(2)解:
过C作CELAB于E,连接ED,
•/AB丄CDAB丄EC,CDHEC=C•••AB丄平面ECD
又DE?
平面ECD•-AB丄ED,
•••/CED是二面角D-AB-C的平面角,
设CD=a则BC=—=:
,
•••△ABC是正三角形,
DC_a_2
在Rt△DEC中,tan/DEC=「.
【考点】MT二面角的平面角及求法;LY:
平面与平面垂直的判定.
【分析】
(1)令AD=1,求出BD=「,从而AD±BD,进而BD丄平面PAD由此能证明平面
PADL平面PBD
(2)以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值.
【解答】证明:
(1)在平行四边形ABCD中,令AD=1,
则BD=.•;•=,
在厶ABD中,AD+B[j=AB,•AD丄BD
又平面PADL平面ABCD
•BD丄平面PADBD?
平面PBD
•平面PADL平面PBD
解:
(2)由
(1)得AD丄BD,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,
过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
令AD=1,则A(1,0,0),B(0,二,0),C(-1,二,0),PC.,0,号),
设平面PAB的法向量为.=(x,
,取y=i,0
AB*n=-x+V3y=0治・二今皿y孚:
设平面PBC的法向量.=(a,b,c),
n*BC=-a=O
晶,取b=1,得血=(°,1,2),~C=0
=色
由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角,
•••二面角A-PB-C的余弦值为-
5
6.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
【分析】(I)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,可知CG丄AC,CG丄BC,/ACB=9°,ACL
BC建立空间直角坐标系C-xyz.则A,B1,E,A,可得,AB],玉,CA]可知,根据画甲冠二0,瓦=C,推断出AB丄CEAB丄CA,根据线面垂直的判定
定理可知AB丄平面ACE
(H)由(I)知.7是平面AQE的法向量;:
二11■;<-,进而利用向量数量积求得直线AC与平面ACE所成角的正弦值
【解答】(I)证明:
TABC-ABC是直三棱柱,
•CCLAC,CCLBC,
又/ACB=9°,
即AC!
BC
如图所示,建立空间直角坐标系C-xyz.A(2,°,°),B1(°,2,2),E(1,1,0),
A(2,0,2),
•••.一,'I..i,「-.一.
又因为厂Ei,<,
•AB丄CEAB丄CA,AB丄平面ACE
=CA二(2,
所以直线AC与平面ACE所成角的正弦值为
7.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】(I)只需证明AB丄BF.AB丄EF即可.
(n)以A为原点,以AB,ADAP为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系,
求出平面CDB的法向量为门j宀丄:
平面EDB的法向量为*门
设二面角E-BD-C的大小为0,贝U
【解答】解:
(I)证:
由已知DF//AB且/DAB为直角,故ABFD是矩形,
从而AB丄BF.
又PA丄底面ABCD二平面PADL平面ABCD
•/AB丄AD,故AB丄平面PAD•AB丄PD
在厶PCD内,E、F分别是PCCD的中点,EF//PD,•AB丄EF.
由此得AB丄平面BEF…
y轴,z轴正向建立空间直角坐标系,
(n)以A为原点,以AB,ADAP为x轴,
[-沈+2尸0一
则,屁可取吋(2,1,-晶)
巴诬二0|汁亍^0
设二面角E-BD-C的大小为0,贝U
口_i”―*―、匚In1*n21VsV2
-•;-•,:
「•■•二.——
1'|niHln21ixVio2
8.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
【分析】
(1)取PB中点N,连结MN,AN•由三角形中位线定理可得四边形ADMN为平行四边形•由AP丄AD,AB丄AD,由线面垂直的判定可得AD丄平面PAB•进一步得到AN丄MN.再由AP=AB,得AN丄PB,贝UAN丄平面PBC.又AN//DM,得DM丄平面PBC;
(2)以A为原点,.吓方向为x轴的正方向,■一方向为y轴的正方向,方向为z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设E(2,t,0)(0Wt吟4,再求得P,D,B的
坐标,得到玮.亘的坐标,求出平面PDE的法向量,再由题意得到平面DEB的一个法向量,由两法向量夹角的余弦值得到实数入的值.
【解答】
(1)证明:
如图,取PB中点N,连结MN,AN.
•/M是PC中点,•••MN//BC,MN==BC=2.
又•••BC//AD,AD=2,
•MN//AD,MN=AD,
•四边形ADMN为平行四边形.
•/AP丄AD,AB丄AD,APAAB=A,
•AD丄平面PAB.
•/AN?
平面PAB,•AD丄AN,贝AN丄MN.
•/AP=AB,•AN丄PB,又MNAPB=N,•AN丄平面PBC.
•/AN//DM,•••DM丄平面PBC;
(2)解:
存在符合条件的入
以A为原点,,:
•;方向为x轴的正方向,,「方向为y轴的正方向,,〔「方向为z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设E(2,t,0)(OWt吟4,P(0,0,2),D(0,2,0),B(2,0,0),
则:
m:
「,「二:
儿-二小
设平面PDE的法向量:
|.=(x,y,z),
取平面PDE的一个法向量为:
.=(2-t,2,2)
又平面DEB即为xAy平面,
故其一个法向量为打尸(0,0,1),
解得t=3或t=1,
•入=3或
9.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【分析】(I)推导出BE丄AMBC丄AM由此能证明AML平面BEC
(H)由Vac=Ve—abc,能求出三棱锥B-ACE的体积.
(川)在平面QEC内作QNLECQN交CE于点NQN与AM共面,设该平面为a,推导出四边形AMN健平行四方形,由此能求出AQ
【解答】证明:
(I):
平面ABEDL平面ABC平面ABECT平面ABC=AB
BE!
AB,BE?
平面ABED
•••BE丄平面ABC又AM?
平面ABC二BEXAM
又AB=AQM是BC的中点,•BC丄AM
又BOABE=BBC?
平面BECBE?
平面BEC
•AM!
平面BEC
解:
(n)由(I)知,BE丄平面ABC•-h=BE=6
在Rt△ABM中,;_.'''J■!
,
又.一匸匸厂訂I;'■-■■:
二
"'z亠上h亠;;匸一
(川)在平面QEC内作QN丄ECQN交CE于点N
•••平面QECL平面BEC平面QE6平面BEC-EC
•QN!
平面BEC又AML平面BEC•QN/AM
•QN与AM共面,设该平面为a,•/ABED是长方形,•AQ//BE
又Q?
平面BECBE?
平面BEC•AQ//平面BEC
又AC?
a,aA平面BEC=MN•AQ//MN又QN/AM
•四边形AMNd平行四方形.•AQ=MN
•••AQ//BE,AQ//MN•MN/BE,又M是BC的中点丄
•AQ=MN=,3
(2)取AB中0,连接EQDO•/EB=EA二EQLAB.
•••平面ABEL平面ABCD
•••EO丄平面ABCD
•/AB=2CDAB//CD,AB丄BC,
•DOLAB,
建立如图的空间直角坐标系O-xyz如图:
0),C(1,-1,0),D(1,0,0),E(0,
设CD=1,则A(0,1,0),B
设x=1,则y=-1,z=1,则•=(1,-1,
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】
(1)证明四边形BCDO1平行四边形,得出OBLAD再证明B0L平面PAD从而证明平面POBL平面PAD
(2)解法一
PJI
':
由「―.,M为PC中点,证明N是AC的中点,MIN/PAPA//平面BMO
解法二:
由
PA//平面BMO证明N是AC的中点,M是PC的中点,得士
K
【解答】解:
(1)证明:
•••AD//BC,:
-O为AD的中点,
•四边形BCDO^平行四边形,
•••CD//BQ
又•••/ADC=90,
•••/AOB=90,即OBLAD
又•••平面PADL平面ABCD且平面PADA平面ABCD=A,
•BO丄平面PAD
又:
BO?
平面POB
•平面POBL平面PAD
(2)解法一:
/-.,即卩M为PC中点,以下证明:
连结AC,交BO于N连结MN
•/AD//BC,O为AD中点,AD=2BC
•N是AC的中点,
又点M是棱PC的中点,•MN/PA
•/PA?
平面BMOMN平面BMO
•PA//平面BMO
解法二:
连接AC,交BO于N,连结MN
•/PA//平面BMO平面BMOA平面PAC=MN
•PA//MN
又•••AD//BCO为AD中点,AD=2BC
•N是AC的中点,
•M是PC的中点,则'"-i
me
12.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定.
【分析】
(1)连结AF,由已知条件推导出面ABCL面BBCC,从而AF丄BiF,由勾股定理得BF丄EF.由此能证明平面ABF丄平面AEF
(2)以F为坐标原点,FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系,利用向量法能求出二面角
B-AE-F的余弦值.
【解答】
(1)证明:
连结AF,vF是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点,
•AFLBC.
又•.•三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
•面ABCL面BBCC,
•AF丄面BBGC,AFLBF.…
设AB=AA=1,则
•••."讦匸=,二BiF丄EF.
又AFnEF=F,•BF丄平面AEF.
而BiF?
面ABF,故:
平面ABF丄平面AEF.
(2)解:
以
F为坐标原点,FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系如图,
设AB=AA=1,
0),A(守..|)
--.r'=亍W"=
B(0,-:
…,1),E(0,
2
(-;;1).…
22
-;;),
由
(1)知,BF丄平面AEF,取平面
—=(0,厂,1).…
AEF的法向量:
设平面BiAE的法向量为
z=0
由』
npAB
z=0
取x=3,得一1I.-.:
.-
设二面角Bi-AE-F的大小为0,
由图可知0为锐角,
•所求二面角B1-AE-F的余弦值为「
A
【考点】MT二面角的平面角及求法;LW直线与平面垂直的判定.
【分析】(I)只需证明DB丄AC,BD丄AE,即可得BD丄平面ACFE
(II)取EF的中点为M以0为坐标原点,以0A为x轴,以0B为y轴,以0M为z
轴,建立空间直角坐标系,贝则卜,〔工U「),D(0,-二0),F(-1,0,h),E
(1,0,2,则[]一汽_技"⑴,「■-.•,利用向量法求解
【解答】(I)证明:
在菱形ABCD中,可得DB丄AC,
又因为AE!
平面ABCD-BDLAE,
且AEnAC=ABD丄平面ACFE
(II)解:
取EF的中点为M以O为坐标原点,以OA为x轴,以OB为y轴,以OM为z
轴,建立空间直角坐标系,
则I:
l:
l,D(0,-一,0),F(-1,0,h),E(1,0,2),贝V
DB=(0,2^3,0),DE=(K血,2),
设平面BDE的法向量□产(X,yfz),由、
ni*DB=2V3y=0
,可取
□,DB=x+V3yf2z=0
n7=(2,0,1),
面角B-EF-D的余弦值为<
【考点】MT二面角的平面角及求法;LY:
平面与平面垂直的判定.
【分析】(I)证明:
AD丄平面ABFE即可证明平面PADL平面ABFE
(H)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P
-ABCD的高.
【解答】(I)证明:
直三棱柱ADE-BCF中,AE丄平面ADE
所以:
AB丄AD,又ADLAF,
所以:
AD丄平面ABFEAD?
平面PAD
所以:
平面PADL平面ABFE-.
(n)TADL平面ABFE•••建立以A为坐标原点,AB,AEAD分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
设正四棱锥P-ABCD勺高为h,AE=AD=2
则A(0,0,0),F(2,2,0),C(2,0,2),
=(1,-h,1),
AF=2x+2y=0
AC=2x+2z=0
.=(2,2,0),