知识梳理
1.如果记“若P则q,为原命题，那么否命题为“”,逆命题为“”，逆否命题
为"”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与等价，逆命题与
等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.
2.
（1）若p=>q,但Q-I-P'则P是q的条件；
⑵若护>q,但<7=>p,则P是q的条件；
⑶若尸q、且Q=>p,即p<=>g,则P是g的条件：
（4）若尸G且P，则P是q的条件.
3.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立（即条件的）,又要证明它的逆命题成立（即条
件的）.
1.全称量词
我们把表示的量词称为全称量词.
对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号”表不.
含有的命题，叫作全称命题.“对任意实数x≡M,都有p3成立”简记成“Px∈M,P3”.
2.存在量词
我们把表示的量词称为存在疑词.
对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、"某个”、“有些”、“有的”等词，用符号T”表示.
含有的命题，叫作存在性命题存在实数Λb∈W,使Pg）成立”简记成“”.
3.简单逻辑联结词有（符号为V）,（符号为A）,（符号为非）.
4.命题的否定：
W.γ∈JΛP3”与“”互为否定.
5.复合命题的真假：
对P且q而言，当q均为真时，其为:
当P,q中至少有一个为假时，其为—・
对P或g而言，当P,q均为假时，其为:
当P，q中有一个为真时，其为—当P为真时，非P为:
当P为假时，非P为.
6.常见词语的否泄如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的
否定
词语
且
必有一个
至少有
R个
至多有
一个
所有X成立
词语的
否定
1.函数的概念
设月，万是两个的数集，如果按某个确定的，使对于集合£中的元素”，
在集合万中都有的元素y和它对应，那么称为从集合川到集合万的一个函数，记作：
7=
f（x）,.γ∈A其中所有的输入值X组成的集合A叫作函数y=f（x）的:
所有的输岀值y组成的集合叫作
函数P=f（x）的•
2.相同函数
函数的定义含有三个要素，即、和.
当函数的及确定之后，函数的也就随之确泄.当且仅当两个函数的
和都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.函数的表示法：
、和•
1.函数的左义域
（1）函数的泄义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明泄义域，则认为定义域是使得函数解析式的X的取值范围.
（2）分式中分母应；偶次根式中被开方数应为，奇次根式中被开方数为一切实数：
零
指数幕中底数•
（3）对数式中，真数必须,底数必须,三角函数中的角要使该三角函数
有意义等.
（4）实际问题中还需考虑自变量的，若解析式由几个部分组成，则立义域为各个部分相应集合的
交集.
2.求函数值域主要的几种方法
（1）函数的直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过
求得值域.
（2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用求值域.
（3）分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用求值域；分子、分母中含有二次项的
有理函数，常用求值域（主要适用于定义域为R的函数）.
（4）单调函数常根据函数的求值域.
（5）很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用求值域.
（6）有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域.
（7）只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.
1.函数单调性的定义
（1）一般地，对于的函数f3,如果对于属于这个区间的两个自变量弘，a=,当
时，都有（或都有）,那么就说fω在这个区间上是单调增函数（或单调减函数）.
（2）如果函数y=∕ω在某个区间上是单调增函数（或单调减函数），那么就说f（x）在这个区间上具有（严格的）
单调性，这个区间叫作f（x）的•若函数是单调增函数，则称该区间为；若函数为单调减函
数，则称该区间为.
2.复合函数的单调性
对于函数y=f（u）和u=gCr）,如果当曲（a,b）时，UW（Zz?
n）♦且u=g{x）在区间（a,b）上和y=f（u）在区间
Gn刃上同时具有单调性，则复合函数y=f（g（0）在区间（a,R上具有,并且具有这样的规律：
3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法
（1）:
（2）:
（3）.
1.奇、偶函数的泄义
对于函数f（0的怎义域内的AS都有（或f（-T+fCv）=0）,则称f（0为奇函数:
对于函数
f（x）的定义域内的任意X,都有（或）,则称f（x）为偶函数.
2.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，苴立义域关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是英定
义域关于对称）.
（2）奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称.
（3）若奇函数的定义域包含0,则f（0）≡=.
（4）泄义在（一8,+8）上的任意函数f（χ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
1.函数图象的两种作法
⑴描点法：
①；②:
（3.
运用描点法作图前，必须对图象的特征（包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势）做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处.
（2）图2.周期函数：
对于函数y=f3,如果存在一个非零常数T,使得当X取立义域内的任何值时，都有，那么就称函数y=∕（-γ）为周期函数，称T为这个函数的周期.
3.最小正周期：
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个，那么这个就叫作f（x）
的最小正周期.
象变换法：
包括变换、变换、变换.
1.二次函数的三种表示
（1）一般式：
:
（2）两点式：
；
（3）顶点式：
-
2.二次函数f（x）=af+bγ+c（aH0）的图象的形状、对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据.
3.一元二次方程的根的分布问题
二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给泄一元二次方程f（x）=a√+2>-v+c=0（a>0）.
（1）若/（-Y）=0在％,λ）（^n）内有且只有一个实数根，则需满足
⑵若f3=0在（皿M（Xn）内有两个实数根，则需满足
⑶设爼，基为方程f3=0的两个实数根：
①若则f%）0:
②若ιπ<及（4）若方程fθ=O的两个实数根中一根小于加另一根大于n（zn（5）若一元二次方程f（x）=0的两个实数根都大于*则需满足
1.指数的相关概念
（1）m次方根
正数的奇次方根是一个，负数的奇次方根是一个，0的奇次方根是:
正数
的偶次方根是两个绝对值、符号的数，0的偶次方根是,负数
（2）方根的性质
1:
"∣n为奇数时，:
2当n为偶数时，體==
（3）分数指数幕的意义
n
①a=（其中a>0,m,n都是正整数，n>l）;
m
n
②&==（其中a>0,m,”都是正整数，n>l）.
2.指数函数的泄义
_般地，函叫作指数函数.
3.指数函数的性质
（1）定义域:
:
（2）值域:
:
（3）过立点,即牙=时，y=
⑷当&>1时，在R上是函数：
当OVaVl时，在R上是函数.
1.对数的相关概念
（1）对数的建义：
如果√=Λ∙（其中a>0且a≠l）,那么ZJ叫作,记作.
（2）常用对数和自然对数
1常用对数：
以为底N的对数，简记为IgN；
2自然对数：
以为底"的对数，简记为InA：
（3）指数式与对数式的相互转化：
a'=.4（其中a>0且a≠l,Λ>0）.
两个式子表示的a，b,艸三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
2.对数运算的性质（Jf>O,Λ>0,a>0且a≠l）
（1）IOgjclA）—:
<、M
（2）Iogj-=:
（3）logxl∕I=.
3.对数换底公式（Λ>0,a>0且a≠l.b>0且b≠l）
IogzV=・
由换底公式可以得到：
log』=,log#//=,IOg/∙logs=.
4.几个常用的结论（Λ>0,a>0且a≠l）
（1）IOgJcT=,IOgiI=；
（2）IogjZ=,alog*j∖=.
1.对数函数的定义
函数叫作对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是•
2.对数函数的性质
（1）定义域：
;
（2）值域：
—：
（3）过定点,即当X=时，y=；
（4）当a>l时，在（0,+8）上是单调函数：
当OVaVl时，在（0,+8）上是单调函数.
1.幕函数的立义：
一般地，函数叫作幕函数，其中X是自变量，"是常数.
2.所有的幕函数y=x“在区间上都有定义，并且图象都过点•
如果“〉0,那么幕函数的图象过,并且在［0,+8）上是:
如果那么幕函数的
图象在（0,+8）上是,在第一象限内，当X从右边趋向于原点时，图象在y轴的右边无限地逼近
・当X趋向于正无穷时，图象在X轴上方无限地逼近.
3.对于函数y=fGr）,把使方的实数X称为函数y=f（,γ）的零点.
4.函数y=Γ（-γ）的零点就是方程f3=0的,也就是函数y=f（x）的图象与X轴交点的
因此,函数y=f5.如果函数y=f（0在区间［a,刃上的图象是一条连续的曲线，且有,那么函数y=f{χ）在（a,∆）
上有零点，即存在c∈（a,使得f（c）=0,此时C就是方程M=0的根.但反之，不成立.
1.数学模型及数学建模
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.
数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
2.常见的函数模型：
（1）；
（2）:
（3）:
（4）.
3.解函数应用题时，要注意四个步骤：
第一步：
阅读理解.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析岀已知什么、求什么，从中提炼岀相应的数学问题.
第二步：
引入数学符号，建立数学模型.
一般地，设自变虽:
为X，函数为y,必要时引入其他相关辅助变虽，并用”y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
第三步：
利用数学方法对得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.
第四步：
将所得结果再转译成具体问题的解答.
1.函数的平均变化率
一般地，函数f（x）在区间[弘，£]上的平均变化率为.
2.导数的概念
已知函数y=f）上有建义，且Λb∈（a,引，若无限趋近于0,比值学=
ΔX
无限趋近于一个常数月，则称f（x）在X=*处可导，并称该常数月为函数f（x）在A--YO处的导数，记作Tω.
3.基本初等函数求导公式
（1）CYU）,=（"为常数）：
（2）（a^）,=（a>011,（3）（log』）'=（a>0且a≠l）,
（ln-γ）,=；
（4）（SinJV）'=COSx,（COSx）'=.
4.导数的四则运算法则
（1）[f3±g（x）]'=:
（2）∖,f{x）∙ff（x）J,=F（x）g（x）+f（x）g'（at）；
（3）[cf（x）r=（C为常数）：
fX
（4）ξ~I-Z=（^CY）≠0）.
1.导数的几何意义
⑴导数f'（.Y0）的几何意义就是曲线y=f（2）设S=S（M是位移函数，则s'（to）表示物体在戶十。
时刻的•
⑶设r=v（t）是速度函数，则讨0。
）表示物体在f=to时刻的•
1.利用导数研究函数的单调性
在某个区间（a,b）内，如果f（A^O且在Q,3的任意子区间上,那么函数y=f内单调递增：
如果f（X）WO且在区间（a,b）的任意子区间上,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.
2.判定函数单调性的一般步骤
（1）确泄函数y=A-γ）的定义域；
（2）求导函数f（£；
（3）在函数f（x）的泄义域内解不等式f（AO>0或f（x）<0;
（4）根据（3）的结果确左函数的单调区间.
1.函数的极值
如果在函数y=f（χ）的立义域Z内存在閔，使得在及附近的所有点X,都有，则称函数y=f点Ar=-YO处取得极大值，记作:
如果在益附近的所有点at,都有，则称函数y=f（x）在
点Ar=^处取得极小值，记作.
2.求函数极值的步骤
（1）确泄函数fd）的泄义域，求导函数F（0;
（2）求方程f（a-）=O的所有实数根：
（3）观察在每个根竝附近，从左到右，导函数F3的符号如何变化：
如果f3的符号由正变负，那么fg是极大值；如果F3的符号由负变正，那么f（z）是极小值：
如果F3的符号在挞的两侧附近相同，那么弘不是函数f（x）的极值点.
3.函数的最值
如果在函数f（x）的左义域Z内存在使得对于任意的x∈Z,都有,那么称f（x°）为函数的最大
值，记作畑=;如果在函数f3的泄义域Z内存在％使得对于任意的x∈Z,都有,那
么称f（x°）为函数的最小值，记作•
4.求函数y=f（x）在［a,刃上的最值的步骤
（1）求函数f（x）在［a,刃上的极值：
（2）将第一步中求得的极值与f（a）,f（b）比较，得到函数f（x）在［a,刃上的最大值与最小值.
1.最值与不等式
（1）a2f（x）恒成立<=>a2:
（2）a≤f（x）恒成立QaW:
（3）a2f（x）有解oaN:
（4）a≤f（,x）有解Q<3≤.
2.实际应用题
（1）解题的一般步骤：
理解题意，,使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问
题.
（2）注意事项：
注意实际问题的:
实际问题中的函数多数是单邮函数（即在左义域内只有一个极值
点的函数），这样的极值点也是•
1.角的概念的推广
（1）正角、负角和零角：
一条射线绕顶点按方向族转所形成的角叫作正角，按方向旋
转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作.
（2）象限角：
以角的顶点为坐标原点，角的始边为X轴的正半轴，建立平而直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角（轴线角）不属于任何象限.
（3）终边相同的角：
与角a的终边相同的角β的集合为•
2.角的度量
（1）1弧度的角：
长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.
（2）弧度制与角度制的关系：
1°=弧度（用分数表示），1弧度=度（用分数表示）.
（3）弧长公式：
I=.
（4）扇形而积公式：
a?
.3.任意角的三角函数的上义
设角“的终边上任意一点的坐标为HX,y）（除原点），点尸到坐标原点的距离为r（r=√√+p）,则Sinσ=
COSO=,tana=.
4.三角函数的定义域
在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的左义域分别是、、
5.三角函数的符号规律
第一象限全"+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”.简称：
一全、二正、三切、四余.
1.同角三角函数间的基本关系式
（1）平方关系：
.
（2）商数关系：
・
2.三个注意
（1）同角三角函数的关系式的前提是"同角”.
（2）tan是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义.
COSo
（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确泄符号，即要就角所在象限进行分类讨论.
1.诱导公式
—U
π—a
π+
2H—
π
L
π
τ÷α
3π
2（I
3∏
2+"
Sin
—sina
Sino
—sina
—sina
COSa
COSa
—cosa
—cosU
COS
COSa
—cosa
-COSa
COSa
Sina
—sina
—sina
Sina
tan
-tana
-tanG
tana
-tana
/
/
/
/
诱导公m
t的规律可槪括为十个字：
奇变偶不变，符号看象限
>∙
2.运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤
（1）把求任意角的三角函数值化为求0°〜360°角的三角函数值：
（2）把求0°〜360°角的三角函数值化为0°〜90°角的三角函数值;
（3）求0°〜90°角的三角函数值.
1.两角和（差）的三角函数公式
仃）sin（α±0）=sin«COS0±cos«Sin0；
（2）COS（α±0）=；
（3）tan（α±目）=.
2.注意两角和（差）的三角函数公式的变形运用
asinλt+⅛cOSX=
3.注意几种常见的角的变换
（1）α=（α+"）-=（a-0）+；
（2）2"=（a+jβ）+；
（3）2a+0=“+.
1.二倍角公式
⑴二倍角的正弦：
Sin2（J=.
（2）二倍角的余弦：
COS2a=.
⑶二倍角的正切：
tan2a=.
注意：
①在二倍角的正切公式中，角“是有限制条件的，即心,且“工4∈Z）.
②“倍角”的意义是相对的，如4“是的二倍角，a是—的二倍角.
2.二倍角的余弦公式的几个变形公式
（1）升幕公式：
1+COS2a=:
1—cos2a=.
（2）降幕公式：
cos^a=:
Sirfa=.
1.在三角式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同爼的三角函数化成的三角函数，
如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将化为弦.
2.要注意“1”的代换，如1=sir√"+=:
还有1+cos"=,I-COSa=
3.对于Sina∙COSa与Sina+cosa同时存在的情况，可通过换元的思路.如设t=sina±cos",
贝IJSina∙COSa=.
4.常见的“变角”方法有：
2a=（"+0）+:
"=（a+0）—0=（"—0）+.
正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
解析式
y=sinX
y=cosX
y=tan-Y
定义域
R
R
X
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
零点
A∈Z
X=I+守，A∙∈Z
x=k^,⅛∈Z
对称轴
X=k÷-,R∈Z
X=,A∈Z
无
周期性
7=2π
T=2n
T=H
单调
增区间
ππ
2Zr∏2kn÷-
α∈z）
[（2A-I）π,2&兀]
（A∈Z）
（An-τ>Aπ+⅛）
（A∈Z）
单调
减区间
'π3∏'
2A∏÷9>2⅛π÷C
α∈z）
[2Aπ,（2A÷1）π]
α∈z）
无
1.函数y=i4sin（ω.γ÷≠）的图象
（1）用“五点法”画函数y=Jsin（ωA∙+≠）的图象的步骤：
①列表；②描点；③连线.
（2）用'‘变换法”由函数r=sinX的图象得到函数y=Jsin（6Λv+≠）的图象的方法：
1由函数y=sinx的图象向左（≠>0）或向右（≠纵坐标不变，横坐标变为原来的丄，得到函数的图象：
横坐标不变，纵坐标变为原来的月倍，得
（λ）
到函数的图象.
2由函数y=sin*的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的土，得到函数的图象：
向左（/>0）
或向右（0<0）平移个单位长度，得到函数的图象：
横坐标不变，纵坐标变为原来的月倍，
得到函数的图象.
2.函数y=Asin（ωx-∖-φ｝的性质
振幅：
Ai周期：
T=X频率：
f=γ相位：
QX+0：
初相：
M=O时的相位，即Φ.
1.建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤
（1）阅读理解，审淸题意；
（2）创设变量，构建模型：
（3）计算推理，解决模型：
（4）结合实际，检验作答.
2.三角函数模型的主要应用
（1）在解决物理问题中的应用：
（2）在解决测量问题中的应用：
（3）在解决航海问题中的应用.
1.利用平而几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.
正弦立理：
（其中斤为△磁的外接圆的半径，下同）•
a-∖-b~∖-c
SinASinB~SinC=SinJ+sin5+sin合比性质）•
已知两角与任一边，求英他两边和一角;
已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求岀其他的边和角）・
对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.
如：
已知①b和乩用正弦左理求氏解的情况如下
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