第12章 整式的乘除.docx

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第12章整式的乘除

第12章　整式的乘除

12．1　幂的运算

12．1.1　同底数幂的乘法

1．掌握同底数幂的乘法法则，并能运用它进行熟练的计算．

2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单实际的问题．

重点

同底数幂乘法法则的推导与运用．

难点

同底数幂的乘法法则的运用．

一、创设情境

某地区在退耕还林期间，有一块长m米，宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米，用不同的方法表示这块林区现在的面积，便可以得到一个等式．

（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb

提出问题：

1．扩大后的林区面积是多少？

2．你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？

教师活动：

操作投影仪，引导，启发．

学生活动：

观察，主动探索，回答．

教学方法和媒体：

投影显示创设情境，讨论，交流．

二、回顾

1．什么叫做乘方？

2．an表示的意义是什么？

三、探究新知

做一做

（1）23×24＝（2×2×2）×（2×2×2×2）＝2（　　）；

（2）53×54＝________________＝5（　　）；

（3）a3·a5＝________________＝a（　　）．

提出问题：

（1）这几道题目有什么共同特点？

（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？

教师活动：

提出问题，引导规律．

学生活动：

书面练习，讨论、探究、回答．

教学方法与媒体：

投影显示“做一做”的题目，合作交流．

学生通过“做一做”以及探索规律，用乘方的概念进行推算，再从特殊中构建出一般的规律，教师通过问题的提出，如把指数用字母m，n表示，而后通过

得到aman＝am＋n（m，n为正整数），即同底数幂相乘，通过乘方的意义推导出：

底数不变，指数相加，概括出幂的第一个运算法则．（可让学生自行概括）

教师板演：

am·an＝am＋n（m，n为正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

四、练习巩固

1．a·a2·a3＝________.

2．（x－y）3·（x－y）2·（y－x）＝________.

3．（－x）4·x7·（－x）3＝________.

4．已知3a＋b·3a－b＝9，则a＝________.

5．如果xm－n·x2n＋1＝x11，且ym－1·y4－n＝y5，求m，n的值．

五、小结与作业

小结

1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：

在乘积中，幂的底数不变，指数相加．

2．同底数幂的乘法可以拓展，例如，对含有三个或三个以上的同底数幂，仍成立．底数和指数，它既可取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式．

3．幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．

作业

教材第19页练习第1，2题．

本节课从故事引入，激发学生探究同底数幂乘法法则的兴趣，探究同底数幂乘法法则时，注意用乘方的意义让学生自己发现归纳．始终遵循从特殊到一般的认知规律．在同底数幂乘法法则的运用中，不断渗透转化方程的数学思想．

12．1.2　幂的乘方

1．理解幂的乘方法则．

2．运用幂的乘方法则计算．

重点

理解幂的乘方法则．

难点

幂的乘方法则的灵活运用．

一、创设情境

大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？

我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍．假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？

（球的体积公式为V＝

πr3）

学生活动：

进行计算，并在黑板上演算．

解：

设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V木星＝

π（102）3.

二、探究新知

做一做

根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：

（1）（23）2＝23×23＝2（　　）；

（2）（32）3＝32×32×32＝3（　　）；

（3）（a3）4＝a3·a3·a3·a3＝a（　　）．

提出问题：

（1）同学们通过上述这几道题的计算，观察一下，这几道题目有什么共同特点？

（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？

教师活动：

组织学生进行思考与交流，让学生通过讨论、争议，探究出规律．

学生活动：

合作学习．

教学方法：

合作探究．

点评：

学生通过“做一做”以及探索规律，充分应用乘方的意义和同底数幂的乘法法则导出规律：

（23）2＝23×2＝26，（32）3＝32×3＝36，（a3）4＝a3×4＝a12.

提出问题：

根据上述探索所得的规律，完成下面的填空：

（am）n＝a（　　）．

有（am）n＝amn（m，n为正整数）．

教师活动：

提出问题，引导、启发．

学生活动：

自主探索、讨论、回答．

教学方法：

合作交流．

通过问题的提出，再依据“做一做”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动构建，获得新知：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

三、练习巩固

1．108＝（　　）2＝（　　）4.

2．p2n＋2＝（　　）2.

3．（－x3）5＝________.

4．x2·x4＋[（－x）2]3＝________.

5．已知xm·x2m＝3，则x9m＝________.

6．计算：

（1）（103）5；

（2）（b3）4.

四、小结与作业

小结

1．幂的乘方（am）n＝amn（m，n为正整数）使用范围是：

幂的乘方．方法：

底数不变，指数相乘．

2．知识拓展：

这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式或多项式．

3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，一个是“指数相加”．

作业

教材第24页习题12.1第2题．

本节课在熟悉乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则，在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题．在拓展新知时，注意联想与逆向思维能力的培养．

12．1.3　积的乘方

1．理解积的乘方法则．

2．运用积的乘方法则计算．

重点

理解并掌握积的乘方法则．

难点

积的乘方法则的灵活运用．

一、回顾与思考

1．口述同底数幂的运算法则．

2．口述幂的乘方运算法则．

3．计算：

（1）（x4）3；

（2）a·a2；（3）x4·x3.

二、探究新知

做一做

（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a（　）b（　）．

（2）（ab）3＝________＝________＝a（　）b（　）．

（3）（ab）4＝________＝________＝a（　）b（　）．

提出问题：

（1）同学们通过上述这几题的计算，观察一下，你能得到什么规律？

（2）如果设n为正整数，将上述的指数改成n，即（ab）n，其结果是什么呢？

教师活动：

提出问题，引导，启发．

学生活动：

计算、观察、讨论、回答．

教学方法与媒体：

投影显示问题，学生自主探索，讨论交流．

点评：

积的乘方是幂的第三个运算法则，也是整式乘法的基础，在处理上仍然先通过数字的指数为例让学生计算，而后引导学生自主探索，讨论交流，归纳出一般指数情形的性质，即概括出：

有（ab）n＝anbn（n为正整数）．

尽可能地让学生主动建模，获得新知，通过动脑、动口、动手提高自我总结能力．教学时引导学生关注每一步的依据．

三、练习巩固

1．计算：

（1）（2b）3；

（2）（2a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4.

2．计算：

（－3a3）2·a3＋（－4a）2·a7－（5a3）3.

3．已知（a－2）2＋

＝0，求a2018·b2017的值．

四、小结与作业

小结

1．积的乘方（ab）n＝anbn（n为正整数），使用范围：

底数是积的乘方．方法：

把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数也可以是整式，对三个以上因式的积也适用．

3．要注意运算过程，注意每一步的依据，还应防止符号上的错误．

4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系．

作业

教材第24页习题12.1第4题．

本节课是采用探究与自主学习相结合的模式完成的，探究的目的是让学生会推导积的乘方法则．通过小组合作学习增强学习的主动性，突出学生的主体地位．并注意在其中的及时引导，发挥教师的主导作用．教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用．

12．1.4　同底数幂的除法

1．理解同底数幂的除法法则．

2．运用同底数幂的除法法则计算．

重点

掌握同底数幂的除法法则．

难点

同底数幂的除法的应用．

一、创设情境

1．叙述同底数幂的乘法运算法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an＝am＋n（m，n是正整数）．

2．问题：

一种数码照片的文件大小是25KB，一个存储量为26MB（1MB＝210KB）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

移动存储器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210＝216KB，所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28.

216，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？

二、探究新知

1．试一试

用你熟悉的方法计算：

（1）25÷22＝________；

（2）107÷103＝________；

（3）a7÷a3＝________（a≠0）．

2．概括

由上面的计算，我们发现：

25÷22＝23＝________；107÷103＝104＝________；a7÷a3＝a4＝________.

在学生讨论、计算的基础上，教师可提问：

你能发现什么？

由学生回答，教师板书，发现：

25÷22＝23＝25－2；

107÷103＝104＝107－3；

a7÷a3＝a4＝a7－3.

你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？

分组讨论：

各组选出一个代表来回答问题，师生达成共识，除法与乘法是逆运算，所以除法的问题实际上是“已知乘积和一个乘数，去求另一个乘数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决．即

（　）×22＝25　（　）×103＝107　（　）×a3＝a7

一般地，设m，n为正整数，m＞n，a≠0，有

am÷an＝am－n

这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．

3．利用除法的意义来说明这个法则的道理．（让学生仿照问题2的解决过程，讲清道理，并请几位同学回答问题，教师加以评析）

因为除法是乘法的逆运算，am÷an＝am－n实际上是要求一个式子（　），使an·（　）＝am，而由同底数幂的乘法法则，可知an·am－n＝an＋（m－n）＝am，所以要求的式子（　），即商为am－n，从而有am÷an＝am－n.

三、练习巩固

1．下面运算正确的是（　　）

A．x3＋x3＝2x6B．x12÷x2＝x6

C．xn＋2÷xn＋1＝xD．（－x5）4＝－x20

2．在下列计算中，①3a2＋2a2＝5a4；②2a2·3a3＝6a6；③（－a3）÷（－a）2＝－a；④4a3·a3－（2a2）3＝－6a6.正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．一台计算机每秒可进行1012运算，它进行1015次运算需要________秒时间．

4．若y2m－1÷y＝y2，求m＋2的值．

四、小结与作业

小结

运用同底数幂的除法法则时应注意以下问题：

（1）运用法则的关键是看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；

（2）因为零不能作除数，所以底数a≠0，这是此法则成立的前提条件；

（3）注意指数“1”的情况，如a4÷a＝a4－1＝a3，不能把a的指数当作0；

（4）多个同底数幂相除时，应按顺序计算．

作业

教材第25页习题12.1第7题．

本节课探究新知部分，注意如何使学生从特殊中发现规律，得到一般性结论，再由同底数幂的乘法法则（同底数幂除法法则）证明规律．积极鼓励学生主动地探索数学问题，加深对数学问题的理解，养成良好的思维习惯，提高学生的数学素养．

12．2　整式的乘法

12．2.1　单项式与单项式相乘

1．通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则．

2．掌握单项式相乘的几何意义．

3．会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题．

4．培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯．

重点

单项式与单项式相乘的法则．

难点

单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义．

一、回顾

我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？

1．判断下列计算是否正确，如有错误，请加以改正：

（1）a3·a5＝a10；

（2）a·a2·a5＝a7；

（3）（a3）2＝a9；（4）（3ab2）2·a4＝6a2b4.

2．计算：

（1）10×102×104＝（　　）；

（2）（a＋b）·（a＋b）3·（a＋b）4＝（　　）；

（3）（－2x2y3）2＝（　　）．

教师活动：

我们刚才已经复习了幂的运算性质．从本节开始，我们学习整式的乘法．我们知道，整式包括什么？

（包括单项式和多项式）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式．这节课我们就来学习最简单的一种：

单项式与单项式相乘．

二、探究新知

计算：

（1）2x2·5x2；

（2）3x2y5·（－2xy2z）．

教师活动：

操作投影仪，启发引导．

学生活动：

主动探索、逐步认识．

点评：

可先提示，运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数、相同的字母分别结合，然后相乘.2x3和5x2可看成是2·x3和5·x2，同样3x2y5和－2xy2z可看成是3·x2·y5和（－2）·x·y2·z.

2x3·5x2＝（2×5）（x2·x3）＝10x5；

3x2y5·（－2xy2z）＝[3×（－2）]（x2·x）·（y5·y2）·z＝－6x3y7z.

通过两式计算，可以引导学生归纳出：

1．系数相乘作为积的系数．

2．相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加．

3．只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式．

4．单项式与单项式的积仍是单项式．

三、练习巩固

1．边长分别为2a和a的两个正方形如图所示摆放，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2a2　　　　　B．2

C．5a2－3aD.

a2

2．光速约为3×105km/s，太阳光照射到地球所需的时间为5×102s，则太阳与地球之间的距离是________km.

3．纳米是一种长度单位，1米＝109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？

四、小结与作业

小结

1．本节内容是单项式乘以单项式．重点是在对运算法则的理解和应用上，试问：

你能归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？

2．在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意什么？

作业

教材第29～30页习题12.2第1，2题．

这节课内容较为简单，在探索单项式乘以单项式的法则时，注意让学生自己归纳，以提高学生使用数学语言的能力，在推导的过程中，注意每步依据为后面几何证明服务，从而培养逻辑思维能力，变式训练中表示阴影部分面积，旨在培养学生直观图感，将图形语言向数学符号语言转化的能力，同时注意转化数学思想的应用．

12．2.2　单项式与多项式相乘

1．能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式．

2．会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算．

3．通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．

重点

掌握单项式乘以多项式的法则．

难点

熟练地运用法则、准确地进行．

一、创设情境

1．教师引导学生复习单项式乘以单项式法则．

整式的乘法实际上就是

单项式×单项式

单项式×多项式

多项式×多项式

（点评：

培养学生前后知识的连续性．）

前面我们已经学过单项式×单项式，今天我们来学习单项式×多项式．

2．教师演示宣传画的面积问题．

宁宁作一幅画，所用纸为长方形，其长为mx米，宽为x米，她在纸的左右两边都留了

x米的空白，则这幅画的面积是多少？

说说你的理由．

学生通过讨论，有的学生列出式子：

x（mx－

x）；有的学生列出式子：

mx2－

x2.那么这两个式子一样吗？

你知道为什么吗？

点评：

创设问题情境引入新课，鼓励学生进行探索，学生的方法只要合理就应鼓励．组织学生积极讨论，教师应积极参与学生的讨论过程，并对不主动参与的学生进行指导．

二、探究新知

1．在12×（

－

＋

）中，你是怎样计算的？

用什么方法较简单？

（乘法分配律）

即12×（

－

＋

）＝12×

－12×

＋12×

.

2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m（a＋b＋c）吗？

（引导学生用乘法分配律解决．）

3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证？

（出示右图）

大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a＋b＋c，宽为m，面积是m（a＋b＋c）；二是三个小长方形面积的和，即am＋bm＋cm.它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的，即m（a＋b＋c）＝am＋bm＋cm.

4．在m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc中，“m”是单项式，“a＋b＋c”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律？

（在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述．）

法则：

单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加．

用式子表示为：

m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc.

5．问题思考

（1）当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立？

（2）非零单项式乘以不含同类项的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多项式的项数有什么联系？

三、练习巩固

1．判断题：

（1）3a3·5a3＝15a3；（　　）

（2）6ab·7ab＝42ab；（　　）

（3）3a4·（2a2－2a3）＝6a8－6a12；（　　）

（4）－x2（2y2－xy）＝－2x2y2－x3y.（　　）

2．计算：

（1）a（

a2＋2a）；

（2）y2（

y－y2）；

（3）2a（－2ab＋

ab2）；（4）－3x（－y－xyz）．

3．合作探究，分别计算下面图中阴影部分的面积．

四、小结与作业

小结

1．指导学生总结本节课的知识点、学习过程．

2．单项式×多项式的积的项数、符号（结合去括号法则）及不能漏乘等注意事项给予强调．

3．要善于在图形变化中发现规律，能熟练地对整式加减及单项式与多项式相乘进行运算．

作业

教材第30页习题12.2第3，4题．

本节课法则推导利用乘法的分配律，从数类比到字母，学生亲切易懂，体现用字母代替数的思想，再让学生用长方形面积验证，培养思维严谨性，注重数形结合的思想．

本节课计算量有所加大，如何让学生计算更准确，除熟练运用法则外，还应对学生计算作心理指导．如做一步查一步，不要做完再检查，可通过演算比赛调动计算情绪．

12．2.3　多项式与多项式相乘

1．能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式．会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算．

2．培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．

3．培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力．

重点

掌握多项式乘以多项式的法则．

难点

运用法则进行混合运算时，不要漏项．

一、创设情境

教师引导学生复习单项式乘以多项式的运算法则．

整式的乘法实际上就是

单项式×单项式

单项式×多项式

多项式×多项式

今天我们来学习多项式与多项式相乘．

二、探究新知

组织讨论：

如图，计算此长方形的面积有几种方法？

如何计算？

小组讨论，你从计算过程中发现了什么？

由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一个量，即有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb.

教师活动：

教师引导学生由繁化简，把（m＋n）看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即[（m＋n）（a＋b）]＝（m＋n）a＋（m＋n）b＝ma＋mb＋na＋nb.

教师活动：

教材第28页例图你会验证吗？

教师活动：

问题：

（1）如何表示扩大后的林地的面积？

（2）用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？

学生活动：

学生分组讨论，相互交流得出答案．

教师活动：

观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到？

如果能得到，又是怎样相乘得到的？

（教师示范）

1．你能用语言叙述这个式子吗？

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

即（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb.

2．两个多项式相乘，不先计算能知道结果中（合并同类项前）有几项吗？

3．在计算中怎样才能不重不漏？

这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用？

若适用，应怎样计算？

学生活动：

学生小组讨论、交流、发言汇报．

三、练习巩固

1．计算：

（1）（x＋2）（x－3）；

（2）（3x－1）（2x＋1）．

2．先化简，再求值：

（3x－2y）（y－3x）－（2x－y）（3x＋y），其中x＝

，

y＝1.

3．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：

（2x＋a）·（3x＋b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x＋10.

（1）你能知道式子中a，b的值各是多少吗？

（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．

四、小结与作业

小结

1．多项式乘法，将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘．

2．运用法则时，要有序地逐项相乘，做到不重不漏．

3．在计算含有多项式乘法的混合运算时，要注意运算顺序，计算结果要化简．

作业

教材第30页习题12.2第5，6题．

本节课推导多项式乘多项式法则时，从单项式乘多项式法则入手，用换元思想直接推导，思维有根基．为防止本节课中最大错误——漏乘现象，教师设置了一个探究关于多项式相乘后（没合并同类项前）的项数问题，很好地避免了这个错误．典例精析中的待定系数法初次接触，注意对学习困难的学生进行及时指导．

12．3　乘法公式

12．3.1　两数和乘以这两数的差

1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示．

2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法．

3．通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想．

重点

掌握平方差公式的特点，牢记公式．

难点

具体问题要具体分析，会运用公式进行计算．

一、创设情境

教师展示多媒体，引出问题学生自主解答．

街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少？

解：

（a＋2）（a－2）＝a2－4.

二、探究新知

请同学们计算：

（1）（a＋b）（a－b）；

（2）（x＋3）（x－3）．

并结合计算结果思考下列问题：

1．等式左边的两个多项式有什么特点？

2．等式右边的多项式有什么特点？

3．你能用上面的规律直接计算下列各式吗？

（1）（a＋2）（a－2）；

（2）（3a＋1）（3a－1）．

4．你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？

5．你有什么不清楚的问题想问老师吗？

教师答疑总结：

对问题系列中的关键问题进行提问答疑．教师提出两数和乘以这两数差的乘法公式：

（a＋b）（a－b）＝a2－b2.

学生解决问题：

学生根据教师提出的问题，分组讨论，由