小河打水最短距离类型题精编.docx
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小河打水最短距离类型题精编
小河打水问题整理
&如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,修在河边什么地方可使所用的水管最短?
【数学模型】
已知:
直线l和l的同侧两点A、B。
求作:
点C,使C在直线l上,并且AC+CB最小。
作法:
1、作点A关于直线l的对称点A′;
2、连结A′B交l于点C。
点C就是所求的点。
证明略
构建“对称模型”实现转化
☼1.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,最短距离是()米。
A.750B.1000C.1500D.2000
☼2.在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标x=___________。
☼3.如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?
☼4.如图,A、B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短?
☼5.要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短?
☼6.已知点P、Q分别为AB、AC上的点,在BC边上求作一点R,使△PQR周长最小。
(写出画图方法,并说明理由)
☼7.如图,△ABC中,AB=AC,过点A的直线MN∥BC,点P是MN上的任意点,试说明PB+PC≥2AB。
☼8.(2006苏州)台球是一项高雅的体育运动.其中包含了许多物理学、几何学知识。
图①是一个台球桌,目标球F与本球E之间有一个G球阻挡。
(1)击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边,经过一次反弹后再撞击F球。
他应将E球打到AB边上的哪一点?
请在图①中用尺规作出这一点H.并作出E球的运行路线;(不写画法,保留作图痕迹)
(2)如图②,现以D为原点,建立直角坐标系,记A(0,4),C(8,0),E(4,3),F(7,1),求E球按刚才方式运行到F球的路线长度.(忽略球的太小)
☼9.先阅读下文,再回答问题:
你也许很喜欢台球,在玩台球过程中也用到数学知识,如图,四边形ABCD是一矩形的球桌台面,有两个球位于P、Q两点上,先找出P点关于CD的对称点P′,连接P′Q交CD于M点,则P处的球经CD反弹后,会击中Q处的球。
请回答:
如果使P球先碰撞台边CD反弹碰撞台边AB后,再击中Q球,如何撞击呢?
(画出图形)
☼10.如图,CDEF是一个矩形的台球面,有黑白两球分别位于点A、B两点,试问怎样撞击黑球A,使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B?
你还有其他方法使A碰到台边反弹后再击中白球B吗?
☼11.如图是一台球桌,欲使球A先撞击球桌的某一边反弹后,再进入4号洞,你有几种撞击方法,画出图形即可。
如果反弹后,任意进入其中一个洞,那么你共有多少种撞击方法。
☼12.小新所在的班级去农村学农,劳动之余数学老师让同学们做一个游戏,如图,在河岸边放一排水桶,要求同学从A处出发,先去取水桶,然后去河边打水,再把水送到B处的水缸中。
要求同学们找出路程最短的路线。
同学们七嘴八舌地争论,没有得出统一的意见。
请你帮他们出出主意,究竟怎样走才能使所走的路程最短?
☼13.如图,已知∠AOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得△PEF的周长最小。
试画出图形,并说明理由。
☼14.如图,M是∠AOB内部一点。
(1)分别作出点M关于OA、OB的对称点,M1、M2。
连接M1M2,交OA于点P,交OB于Q;
(2)若M1M2=10cm,求△MNQ的周长。
(3)在OA、OB上任取点P′、Q′,连接MP′、P′Q′、MQ′,得到△MP′Q′。
比较△MP′Q′与△MPQ的周长,你得到什么结论?
☼15.如图,C是∠AOB内一点,C1、C2分别是点C关于OA、OB的对称点,若C1、C2的连线交OA于D,交OB于E,C1C2=4.5cm,则△CDE的周长为( )
A.4.5cmB.6.5cmC.5.5cmD.无法求
☼16.如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=18cm,则△PMN的周长为________
☼17.如图,点P在∠AOB内部,且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点C、D,使PC+CD+DP之和最小。
☼18.已知,如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则△AEC的周长为__________
☼19.如图,在△ABC中,AB=BC,边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,若BC=10,AC=6,求△ACE的周长。
☼20.已知:
如图,点P在∠AOB内,且点P与M关于OA对称,PM交OA于Q,点P与N关于OB对称,PN交OB于R,连接MN、OP、OM、ON,若MN=10cm,OP=6cm,求△OMN与△PEF的周长。
☼21.已知,如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,△ABE的周长为14,求AB的长.
☼22.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,若AC=5cm,BC=4cm,则△BDC的周长为________.
☼23.如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
☼24.如图,A、B两村欲在河边建一抽水站,已知A村到河边的距离是100m,B村到河边的距离是300m,且CD的长为300m,若辅设水管的费用是每米100元,问应在河边的何处建水站才能使得辅设水管的费用最低?
在图上画出水站的位置P,并求出辅设水管的最低费用。
☼25.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km,试问:
图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等?
☼26.如图,铁路上A,B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
☼27.(2008年咸宁)如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:
B′、C′;
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
☼28.(2009年孝感)在平面直角坐标系中,有A(3,-2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n=______时,AC+BC的值最小.
(2009年达州)在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____cm。
☼29.(2009陕西)如图,在锐角△ABC中,AB=4
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.
☼30.如图,在正方形ABCD中,点M在CD上,在AC上确定点N,使DN+MN最小。
☼31.(2009年达州)在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____cm。
☼32.在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE=1,P在BD上,则PE和PC的长度之和最小可达到_____________。
如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为_________。
☼33.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_______。
(1)如图1,等腰Rt△ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为;
(2)几何拓展:
如图2,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,求这个最小值;
(3)代数应用:
求代数式
(0≤x≤4)的最小值。
☼34.如图,AC、BD为正方形ABCD对角线,相交于点O,点D为BC边的中点,连长为2cm,在BD上找点P,使DP+CP之和最小。
☼35.(2009年抚顺)如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.2
B.2
C.3D.
☼36.(2009荆门)一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.
☼37.(2010宁德)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM。
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
+1时,求正方形的边长.
☼38.(2010淮安)
(1)观察发现
如题图1,若点A、B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.
做法如下:
作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′,与直线l的交点就是所求的点P。
再如题图2,在等边△ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.
做法如下:
作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.
(2)实践运用
如题图3,已知⊙O的直径CD为4,
的度数为60°,点B是
的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.
(3)拓展延伸
如题图4,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法.
☼39.如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。
(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近。
请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置;
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?
在哪一段路上距离村庄N越来越近,而离村庄M却越来越远?
(3)在公路AB上是否存在这样一点H,使汽车行驶到该点时,与村庄M、N的距离相等?
如果存在,请在图中的AB上画出这一点;如果不存在,请简要说明理由。
☼40.(2008河北)在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄,A、B到l的距离分别是3km和2km,AB=akm(a>1).现计划在河岸l上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.
方案设计:
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:
图13-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为d1,且d1=PB+BA(km)(其中BP⊥l于点P);图13-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d2,且d2=PA+PB(km)(其中点A′与点A关于l对称,A′B与l交于点P).
观察计算
(1)在方案一中,d1=_______km(用含a的式子表示);
(2)在方案二中,组长小宇为了计算d2的长,作了如图13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,d2=______km(用含a的式子表示).
探索归纳:
(1)①当a=4时,比较大小:
d1_______d2(填“>”、“=”或“<”);
②当a=6时,比较大小:
d1_______d2(填“>”、“=”或“<”);
(2)请你参考右边方框中的方法指导,就a(当a>1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二?
☼41.已知点M(3,2),N(1,-1),试在y轴上求一点P,使PM+PN最短。
画出图形,写出点P的坐标。
☼42.如图,已知⊙O的半径是R,C、D是直径AB同侧圆周上的两点,弧AC的度数为96°,弧BD的度数为36°,动点P在AB上,则PC+PD的最小值为()
A.2RB.
RC.
RD.R