八年级数学竞赛培优讲义无答案.docx

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八年级数学竞赛培优讲义无答案

1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】

1.把下列各式因式分解

（1）

（2）

分析：

（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：

当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：

2.利用提公因式法简化计算过程

例：

计算

分析：

算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：

原式

3.在多项式恒等变形中的应用

例：

不解方程组，求代数式的值。

分析：

不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。

解：

把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。

4.在代数证明题中的应用

例：

证明：

对于任意自然数n，一定是10的倍数。

分析：

首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

对任意自然数n，和都是10的倍数。

一定是10的倍数

5、中考点拨：

例1。

因式分解

解：

说明：

因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2．分解因式：

解：

说明：

在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：

例1.计算：

精析与解答：

设，则

说明：

此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。

其中2019、2019重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2.已知：

（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。

分析：

常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。

注意到是及的因式。

因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

解：

是及的公因式

也是多项式的二次因式

而

b、c为整数

得：

说明：

这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求得。

例3.设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。

解：

都是大于1的自然数

是合数

说明：

在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。

只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】

1.分解因式：

（1）

（2）（n为正整数）

（3）

2.计算：

的结果是（）

A.B.C.D.

3.已知x、y都是正整数，且，求x、y。

4.证明：

能被45整除。

5.化简：

，且当时，求原式的值。

2、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：

平方差公式

完全平方公式

立方和、立方差公式

补充：

欧拉公式：

特别地：

（1）当时，有

（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1.把分解因式的结果是（）

A.B.

C.D.

分析：

。

再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。

说明：

解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：

已知多项式有一个因式是，求的值。

分析：

由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。

解：

根据已知条件，设

则

由此可得

由

（1）得

把代入

（2），得

把代入（3），得

3.在几何题中的应用。

例：

已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

分析：

因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：

为等边三角形。

4.在代数证明题中应用

例：

两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：

先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：

设这两个连续奇数分别为（为整数）

则

由此可见，一定是8的倍数。

5、中考点拨：

例1：

因式分解：

________。

解：

说明：

因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：

分解因式：

_________。

解：

说明：

先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：

例1.已知：

，

求的值。

解：

原式

说明：

本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知，

求证：

证明：

把代入上式，

可得，即或或

若，则，

若或，同理也有

说明：

利用补充公式确定的值，命题得证。

例3.若，求的值。

解：

且

又

两式相减得

所以

说明：

按常规需求出的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】

1.分解因式：

（1）

（2）

（3）

2.已知：

，求的值。

3.若是三角形的三条边，求证：

4.已知：

，求的值。

5.已知是不全相等的实数，且，试求

（1）的值；

（2）的值。

4、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】

1.在数学计算、化简、证明题中的应用

例1.把多项式分解因式，所得的结果为（）

分析：

先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：

原式

故选择C

例2.分解因式

分析：

这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：

解法2：

2.在几何学中的应用

例：

已知三条线段长分别为a、b、c，且满足

证明：

以a、b、c为三边能构成三角形

分析：

构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”

证明：

3.在方程中的应用

例：

求方程的整数解

分析：

这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解

解：

4、中考点拨

例1.分解因式：

_____________。

解：

说明：

观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：

____________

解：

说明：

前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3.分解因式：

____________

解：

说明：

分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：

例1.分解因式：

解：

说明：

观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。

例2.已知：

，求ab+cd的值。

解：

ab+cd=

说明：

首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。

例3.分解因式：

分析：

此题无法用常规思路分解，需拆添项。

观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。

解一（拆项）：

解二（添项）：

说明：

拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？

【实战模拟】

1.填空题：

2.已知：

3.分解因式：

4.已知：

，试求A的表达式。

5.证明：

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。

这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1.在方程、不等式中的应用

例1.已知：

，求x的取值范围。

分析：

本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解：

例2.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。

分析：

应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。

解：

（1）设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行对比，得：

解得：

此时，原式

（2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行对比，得：

解得：

此时，原式

2.在几何学中的应用

例.已知：

长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

，求长方形的面积。

分析：

要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

解：

或

又

解得：

或

∴长方形的面积为15cm2或

3、在代数证明题中的应用

例.证明：

若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。

分析：

要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。

证明一：

∵是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）

∴是7的倍数

而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。

证明二：

∵是7的倍数，设（m是整数）

则

又∵

∵x，m是整数，∴也是整数

所以，是49的倍数。

4、中考点拨

例1.把分解因式的结果是________________。

解：

说明：

多项式有公因式，提取后又