第4章线性方程组习题.docx

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第4章线性方程组习题

第4章线性方程组

一、知识结构分析

（1）线性方程组求解和线性相关性，矩阵的秩和矩阵的变换之间的关系。

线性方程组一章的内容是线性代数发展的渊源，正是线性方程组的求解研究导致了向量线性相关性的研究，就是确定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的问题。

这些问题可通过矩阵的秩和子式的计算来确定。

第三章的内容，无论是线性相关性还是矩阵的秩，都是和方程组求解密切相关，要通过知识结构的联系，使学生整体掌握知识体系。

矩阵的初等行变换应是初等变换的重点，它对应与方程的恒等变换（保持同解）。

行阶梯型矩阵对应的方程组可通过把自由未知量移到右边，再通过回代求解。

而行最简形不用回代可直接写出解的表示式。

如果仅求矩阵的秩或确定向量组的最大无关组，把矩阵化简到阶梯型即可。

（2）方程组的解结构和相应的行向量组或列向量组的相关性分析是该理论的难点，齐次方程组有非零解与对应的行向量组或列向量组线性相关性有对应关系，非齐次方程组有解和向量的表示有一种对应关系，要学会灵活的应用这些关系来分析问题。

二、重点难点分析与教材处理：

（1）齐次方程组解的结构部分要结合向量空间，向量空间的基与向量组的最大无关组的回顾，加深上章基本概念的理解。

（2）齐次方程组的矩阵表示和向量表示要阐明有非零解与列向量组线性相关性的关系。

（3）方程求解的变换化简对应的行最简型，结合初等变换的内容使对初等变换的理解更具体。

（4）方程组通解的两种表示方法，用基础解系表示的间接方法和用自由未知量表示的直接方法。

（5）解空间用基础解系联系向量空间用基表示的关系，阐明向量空间和向量组的不同。

（6）非齐次方程组的矩阵和向量表示与向量组线性相关性的关系，增广矩阵和系数矩阵的列向量组之间的关系。

（7）含有参数的方法的参数识别，即方程组的反问题，了解正问题的和反问题的初步概念。

三、常见的问题和易犯的错误

（1）带参数的矩阵化简忽略带参数的分母为零的讨论。

（2）不能掌握方程化简分析的一般步骤。

四、参考资料与数学实验

五、学习指导与提示

1．1．  求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：

（1）

解：

对系数矩阵做初等行变换（相当于对方程做化简）

，化简后的方程组为

分别取和代入方程组求解得到

基础解系为，通解为

或者直接写出通解为

基础解系为

（2）

解：

对系数矩阵做初等变换

因此，只有零解。

2．2．  求解下列非齐次线性方程组：

（1）

（1）    ，

（2）

解：

对增广矩阵做初等行变换

，，方程组无解

3．3．  讨论取什么值时下列方程组有解，并求解：

（1），

解：

法一、对增广矩阵作行变换，把方程组化简

若，则方程组化简为，其解为

若，则有

若，，此时无解

如，即方程组有唯一解

法二（分析）根据Gramer法则，如果系数行列式非零，则有唯一解，对于行列式等于零的情况再分析是无解还是多解

系数行列式为

因此方程组有唯一解，其解为

易知时方程组无解，时，方程组有无穷多解，其解为

（2）

解：

对增广矩阵作行变换

当时，无解。

当时

若，则有唯一解

时，无解

（3）

解：

方法一、系数行列式为

根据Gramer法则可知，当时，，方程组有唯一解。

其解为

当时，增广矩阵为

，方程组无解。

当时，

方程组无解

4．4．  设

问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？

并在有解时求其通解。

分析：

求系数行列式，如果则有唯一解。

对于的情况分别讨论，这种方法思路清晰，但计算量大。

另一种方法是用初等变换化简方程，但要注意分母为零的情况。

解：

法一、系数行列式为

，因此当时，方程组有唯一解

当时

方程组无解。

当时

通解为

，其中为任意实数。

5．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且

求该方程组的通解。

解：

四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,对应的齐次方程组的基础解系只含有一个解向量，故只需求出一个特解和对应的齐次方程的一个非零解。

为非齐次方程组的特解，也是非齐次方程组的解，因此

因此通解为

其中为任意实数。

6.设，，证明这个方程组有解的充分必要条件是

解：

对方程组的增广矩阵做初等变换

由非齐次方程组解的判定定理知，方程组有解的充分必要条件是，即

7．证明：

与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。

证明：

设是与基础解系等价的线性无关的向量组，因为可用基础解系线性表示，故是齐次方程组的解。

由条件知，它们是线性无关的。

由任一解可由基础解系线性表示，由等价性可知，可由线性表示，因此是基础解系。

注：

实际上基础解系所含解向量的个数均为。

8．设A，B都是n阶方阵，且AB=0，证明。

证明：

考虑矩阵方程与方程组解的关系，将按列分块，即考虑B的列向量

可表示为

即，也就是说是方程的解。

（1）如果的秩，则知只有零解，而又是的解，故知，即，，结论成立。

（2）如果，则的基础解系含有个解向量，设为，又为的解，故向量组可由基础解系线性表示，由定理知

即，故

9．设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次方程组的一个基础解系。

证明：

（1）线性无关;

（2）线性无关。

证明：

（1）设

用去左乘方程两端，有

因此，，代入上式得到

因是线性无关的，因此，

即线性无关;

（2）

（2）    类似的考虑，即

用去左乘方程两端得到，代入上式，由的线性无关性可知，因而，

故线性无关。

10．设是非齐次线性方程组的s个解，为实数，满足，证明：

也是它的解。

证明：

将表示式代入则有

故是方程组的解。

11．设非齐次方程组的系数矩阵秩为r,是它的个线性无关的解（由题9知它确有n-r+1个线性无关的解）。

试证它的任一解可表示为

（其中）

证明：

显然为对应的齐次方程组的解。

首先证明是线性无关的。

设，即

因为是线性无关的，因此，即

是线性无关的，构成齐次方程组的基础解系，故非齐次方程组的任一解可表示为

即

记，则任一解可表示为

其中

四、参考资料与数学实验